Quantisierung der Eichtheorie mit minimaler Kopplung

Ich habe eine Frage zur Quantisierung der Eichtheorie mit minimalem Kopplungsterm. Was ich verstehe ist, dass, wenn man eine Aktion erhält

$$S=-\int d^4 x \frac{1}{4}F^2 \tag1$$ Da diese Aktion einen verschwindenden kanonischen Impuls hat$\Pi_0^a \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_0 A_0^a}=0$, kann man die Faddeev-Popov-Methode verwenden, um eine physikalisch äquivalente Aktion zu finden $$\int d^4 x -\frac{1}{4}F^2 -\partial_\mu \overline{c}\partial^\mu c + \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2 \tag2$$ Dann können Sie mit der üblichen Quantisierung fortfahren, da diese Aktion einen nicht verschwindenden kanonischen Impuls hat. Meine Frage ist : Wenn wir stattdessen eine Aktion der Form erhalten $$S=\int d^4 x -\frac{1}{4}F^2 +|D\phi|^2 -V(|\phi|^2)\tag3$$ Wo$\phi$ist ein Skalarfeld und$D_\mu\phi = \partial_\mu \phi + i A^a_\mu \tau^a \phi$Wo$\tau^a$sind Generatoren der Messgerätegruppe. Dann brauchen wir die Faddeev-Popov-Methode, um die Aktion neu zu schreiben$(1)$als Aktion$(2)$? Weil Handeln$(3)$hat einen nicht verschwindenden kanonischen Impuls$\Pi_0^a \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_0 A_0^a}$kommt sowieso vom minimalen Kopplungsterm. $$\int |D\phi|^2 = \int |\partial \phi|^2 + i (\phi^\dagger A\partial \phi-\partial\phi^\dagger A \phi)+\phi^\dagger A^2 \phi = \int |\partial \phi|^2 + i (-2\partial\phi^\dagger A \phi - \phi^\dagger \partial_\mu A^\mu \phi)+\phi^\dagger A^2 \phi$$ Also kanonisches Momentum ist$\Pi^{a}_0 = \phi^\dagger \tau^a\phi$?