Berechtigung des U(1)U(1)U(1)-Eichmaßes für Elektromagnetismus?

Letztendlich ist der physikalische Grund dafür, dass es funktioniert. Es gibt eine ziemlich natürliche Argumentationslinie, die zu diesem Verfahren führt - das ist kein Beweis, weil es in der Physik keine Beweise gibt, aber es ist eine suggestive Motivation. Ich werde diese Argumentation durchgehen und die Erzählung mit einigen Ausarbeitungen unterbrechen, die hilfreich sein können.

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Wenn Sie eine lokale Symmetrie unter der Wirkung einer Lie-Gruppe auferlegen$G$, dann werden Sie sofort auf die Notwendigkeit einer Verbindung geführt, die durch eine Einsform dargestellt werden kann$\mathbf A$die ihre Werte in der Lie-Algebra annimmt$\frak g$verbunden sein mit$G$, und eine kovariante Ableitung$D = \partial + A$.

Lassen$\Psi : \mathbb R^3\mapsto \mathbb C^n$Bohne$n$-Komponentenwellenfunktion. Wir wählen eine Basis$\{\hat e_1,\hat e_2,\ldots,\hat e_n\}$für$\mathbb C^n$und drücken Sie unsere Wellenfunktion in Komponentenform aus$\Psi = \psi^a \hat e_a$. Lassen wir zu, dass die Basis ortsabhängig ist, so ergibt sich die Differentiation der Wellenfunktion

$$\partial_{\color{red}{\mu}} \Psi = (\partial_\color{red}{\mu} \psi^a)\hat e_a + \psi^a\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a)$$ wobei ich den roten, griechischen Index verwende, um den räumlichen Index zu bezeichnen, und lateinische Super/Subskripte, um den zu bezeichnen$\mathbb C^n$Indizes. Der Ausdruck$\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a)$wird ein Element von sein$\mathbb C^n$, also können wir es auf lokaler Basis ausdrücken als$\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a) = {A_\color{red}{\mu}}^b_{\ \ a} \hat e_b$. Wenn Sie dies wieder einstecken und die Indizes neu benennen, erhalten Sie Ergebnisse $$\partial_\color{red}{\mu} \Psi = (\partial_\color{red}{\mu} \psi^a + {A_\color{red}{\mu}}^a_{\ \ b} \psi^b)\hat e_a$$ Dies motiviert die Definition$D_\color{red}{\mu} \equiv \partial_\color{red}{\mu} + A_\color{red}{\mu}$(wobei für jeden$\color{red}{\mu}$,$A_\color{red}{\mu}$wird als interpretiert$n\times n$komplexe Matrix), also$\partial_\color{red}{\mu} \Psi = (D_\color{red}{\mu}\psi)^a \hat e_a$. Unter Basiswechsel über einige$\Omega \in G$,$\psi^a \mapsto \Omega^a_{\ \ b} \psi^b$Und$\hat e_a \mapsto (\Omega^{-1})^b_{\ \ a} \hat e_b$um den Wert zu erhalten$\Psi$selbst. Hinweis: Von hier an lasse ich den räumlichen Index fallen, weil er einfach da sitzt und mitfährt. Wenn du willst, kannst du es immer wieder reinstecken.

Übung für den Leser : Verwendung der Definition$\partial(\hat e_a) = A^b_{\ \ a}\hat e_b$, zeigen, dass unter Basiswechsel$A \mapsto \Omega(A + \partial) \Omega^{-1}$. Argumentieren Sie weiter, dass wenn$\Omega = e^\theta$für einige$\theta \in \frak{g}$, Konsistenz erfordert das$A \in \frak{g}$.

Wir fragen nun, ob diese Verbindung eine physikalische Bedeutung hat. Wenn es durch entsprechende Änderung der Spurweite einheitlich auf Null gesetzt werden kann, können wir alle unsere Berechnungen in dieser Spurweite durchführen; Da alle Messgeräte physikalisch äquivalent sind, impliziert dies dies$A$kann keine körperlichen Wirkungen zeigen. Das Setzen der Verbindung auf Null bedeutet das$\Omega(A + \partial)\Omega^{-1} = 0 \iff A = -(\partial \Omega^{-1})\Omega = \Omega^{-1} \partial \Omega$für einige$\Omega \in G$.

Übung für den Leser : Zeigen Sie, dass wenn$A_\mu = \Omega^{-1} \partial_\mu \Omega$, Dann

$$(dA)_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = -[A_\mu,A_\nu]$$ also die$\frak{g}$-bewertet(!) 2-Form$F$mit Komponenten$F_{\mu\nu} \equiv (dA)_{\mu\nu} + [A_\mu,A_\nu] = 0$. Zeigen Sie außerdem, dass bei Spurwechsel$F \mapsto \Omega F \Omega^{-1}$.

Dass die Verbindung auf Null gesetzt werden kann, impliziert dies$F$(genannt die Krümmungsform von$A$) verschwindet. Das Gegenteil gilt auch (zumindest lokal), aber das ist erheblich schwieriger zu zeigen.

Wenn$F$ nicht verschwindet, dann brauchen wir einen Weg, um zu bestimmen, was es sein soll. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, einen Skalar (Dichte) daraus zu machen$\mathbf F$und verwenden Sie es als Lagrange-Dichte. Erinnere dich daran$F$hat zwei räumliche Indizes, die beachtet werden müssen. Allgemein$^\dagger$, der einfachste Skalar, aus dem man machen kann$\mathbf F$Ist$-\frac{1}{4}\operatorname{Tr}(F^2)$, Wo$F^2=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$und der numerische Faktor wird aus herkömmlichen Gründen hinzugefügt.

Beachten Sie, dass$g^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$verschwindet identisch, also ist das nicht gut. Jedoch,$F^2 \equiv g^{\mu\alpha}g^{\nu \beta} F_{\mu \nu} F_{\alpha \beta}$nicht. Aber wir müssen vorsichtig sein - jeder$F_{\mu\nu}$ist eine Matrix . Korrekt geschrieben mit allen relevanten Indizes,

$$F^2 = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\left( F^a_{\ \ b}\right)_{\mu\nu} \left( F^b_{\ \ c}\right)_{\alpha\beta} = (F^2)^a_{\ \ c}$$ Wir müssen diese Vektorraumindizes noch loswerden, damit wir sie einfach nachverfolgen können, um einen echten Skalar zu erhalten: $$\operatorname{Tr}(F^2) = (F^2)^a_{\ \ a} = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\left( F^a_{\ \ b}\right)_{\mu\nu} \left( F^b_{\ \ a}\right)_{\alpha\beta}$$

Die Forderung, dass die Lagrange-Funktion eichinvariant ist, schließt Begriffe wie aus$A_\mu A^\mu$, was die geben würde$A$Felder eine Masse; folglich sind alle so gewonnenen Hilfsfelder masselos.

Letztendlich ergibt sich die Kopplung an die Materie in der Theorie natürlich aus dem Vorhandensein des Zusammenhangs in der kovarianten Ableitung. Die Dynamik ergibt sich aus der Verwendung des einfachsten eichinvarianten Skalars als Lagrange-Dichte.

Frage 1. Was ist der physikalische Grund, warum wir a verlangen sollten$U(1)$-Eichsymmetrie für die Wellenfunktion eines geladenen Fermions vorhanden sein?

Es gibt keinen besonderen Grund, warum wir das tun sollten – außer dass, wenn wir es tun , uns der Elektromagnetismus in den Schoß fällt. Wenn wir das Verfahren mit verschiedenen Eichgruppen wiederholen, kommen wir zu unterschiedlichen Theorien, von denen einige sich in der Realität zu manifestieren scheinen und andere nicht.

Frage 2. Nachdem wir diese Eichsymmetrie dem Dirac-Lagrange-Operator auferlegt haben, was ist die physikalische Rechtfertigung dafür, dass wir den Term der Verbindungsform 1 genau das Vektorpotential sein lassen sollten$A_\mu$, und nicht andere Begriffe aus dem Elektromagnetismus (z. B.$F_{\mu\nu}A^\nu$)?

Ich glaube, das bilde ich mir ein$U(1)$Symmetrie wird auferlegt und anschließend mit Elektromagnetismus verheiratet, aber das ist nicht ganz richtig.$U(1)$Symmetrie wird auferlegt und wird dann zu Elektromagnetismus. Es ist nicht so, dass wir nach einer Verbindung 1-Form suchen und entscheiden, dass es das Vektorpotential sein sollte; Wenn Sie dem obigen Verfahren folgen, gehorcht die Verbindung 1-Form automatisch den Maxwell-Gleichungen und übt eine Lorentz-Kraft auf geladene Materie aus.

Mit anderen Worten, Sie können es nennen, wie Sie möchten, aber die Auferlegung eines Einheimischen$U(1)$Symmetrie erfordert die Einführung eines Hilfsfeldes, das sich genau wie das elektromagnetische 4-Potential verhält und genau die gleiche Wirkung auf Materie hat. Wenn es geht wie eine Ente und quakt wie eine Ente...

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$^\dagger$Eine lustige Ausnahme von dieser Regel ist, wenn die Dimension des zugrunde liegenden Raums und die Dimension des Vektorraums darauf liegen$G$Handlungen sind die gleichen; dann laufen der griechische und der lateinische Index über genau dieselben Werte. Dies ist wahr, wenn wir darüber nachdenken$d$-dimensionale Raumzeit und ihre$d$-dimensionale Tangentialräume, zum Beispiel.

In diesem Fall können wir im Ausdruck einen lateinischen Index mit einem griechischen Index kontrahieren$(F^a_{\ \ b})_{\mu\nu}$, und kontrahieren Sie dann das Ergebnis mit der Metrik. Der einzige nicht triviale Weg, dies zu tun, ist

$$g^{\mu \nu} (F^a_{\ \ \mu})_{a \nu}$$

Dieser Begriff ist linear in$F$eher als quadratisch und erscheint in der allgemeinen Relativitätstheorie; die Verbindung ist die Christoffel-Verbindung,$F$der Riemann-Krümmungstensor ist und der oben erhaltene Skalar der Ricci-Skalar ist.