Form des klassischen EM-Lagranges

Question

Form des klassischen EM-Lagranges

Benutzer21433

Ich weiß also, dass für ein elektromagnetisches Feld im Vakuum die Lagrange-Funktion ist

L = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v},

$\mathcal L=-\frac 1 4 F^{\mu\nu} F_{\mu\nu},$ Das Standardmodell sagt mir das. Was ich wissen möchte, ist, ob es ein elementares Argument (vielleicht basierend auf Symmetrie) gibt, warum es diese Form hat. Ich habe dazu einiges gesucht/gelesen, aber immer nur Autoren gefunden, die direkt auf den Ausdruck springen und manchmal etwas sagen, dass es das "einfachste" ist.

Frobenius

Verwandte: Ableitung der Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld .

Antworten (6)

Form des klassischen EM-Lagranges

Verwandte: Ableitung der Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld .

luksen · Answer 1

Der Lagrange-Operator für Elektromagnetismus folgt eindeutig aus der Forderung nach Renormalisierbarkeit und Eichinvarianz (plus Paritätszeitumkehr).

U(1) Gauge-Invarianz

wenn Sie verlangen, dass Ihr Lagrange unter Symmetrieoperationen der Einheitsgruppe U (1) lokal unveränderlich ist

ϕ \to e^{ich a (x)} ϕ

$\phi\to e^{i\alpha(x)}\phi$

alle Derivate $\partial_\mu$ müssen durch die kovariante Ableitung ersetzt werden $D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu$ , wobei zur Erhaltung der lokalen Invarianz das Eichfeld eingeführt wird. Grob gesagt ist dies notwendig, um Felder an verschiedenen räumlichen Punkten vergleichbar zu machen, da zwei Punkte eine beliebige Phasendifferenz haben können, da wir sie einstellen können $\alpha(x)$ wie wir wollen, muss etwas diesen Unterschied kompensieren, bevor wir Felder vergleichen können, was die Differenzierung im Grunde tut. Dies ähnelt dem Paralleltransport in der Allgemeinen Relativitätstheorie (das mathematische Schlüsselwort ist Verbindung siehe Wiki: Verbindung (Wiki) Das Eichfeld $A_\mu$ verwandelt sich als $A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)$ .

Nun stellt sich die Frage, welche Art von Lagrangians wir mit dieser Anforderung bauen können. Für Materiefelder (dh Nicht-Eichfelder) ist es einfach, eichinvariante Größen zu konstruieren, indem man einfach die Ableitungen durch die kovarianten Ableitungen ersetzt, dh

\bar{ψ} \partial_{μ} γ^{μ} ψ \to \bar{ψ} D_{μ} γ^{μ} ψ

$\bar{\psi}\partial_\mu\gamma^\mu\psi\to \bar{\psi}D_\mu\gamma^\mu\psi$ ,

dies ergibt kinetische Terme für das Feld (den Teil mit der normalen Ableitung) und Wechselwirkungsterme zwischen Materiefeldern und dem Eichfeld.

Nur Gauge-Field-Begriffe

Die verbleibende Frage ist, wie Terme konstruiert werden, die nur das Eichfeld und keine Materiefelder beinhalten (dh die 'quellenfreien' Terme, um die es in Ihrer Frage geht). Dazu müssen wir eichinvariante Keime von konstruieren $A_\mu$ .

Einmal $\alpha(x)$ ausgewählt ist, können wir uns vorstellen, von einem Punkt aus zu beginnen und auf einer Schleife zurück zu demselben Punkt zu gehen (dies wird als Wilson-Schleife (Wiki) bezeichnet ). Dies muss zwangsläufig eichinvariant sein, da wir jede Phase, die wir auf dem Weg aufgreifen, auch auf dem Rückweg verlieren müssen. Es stellt sich heraus, dass dies genau der Begriff ist $F_{\mu\nu}$ , dh die Feldstärke. (Die Rechnung ist etwas länger, siehe Peskin & Schroeder Seite 484). Eigentlich gilt dies nur für abelsche Symmetrien wie U(1), für nicht-abelsche Symmetrien wie SU(3) erhalten wir einige Wechselwirkungsterme zwischen den Eichfeldern, weshalb Licht nicht mit sich selbst wechselwirkt, aber Gluonen.

Bilineare Massenterme wie z $A_\mu A^\mu$ sind nicht eichinvariant (am Ende ist dies die Notwendigkeit für den Higgs-Mechanismus)

Renormierbarkeit

Wenn wir wünschen, dass unsere Theorie renormierbar ist, können wir nur Terme bis zur Massendimension 4 in die Lagrangefunktion aufnehmen. Wenn wir nun alle Terme bis zur Massendimension 4 auflisten, erhalten wir

L = \cdot \bar{ψ} D_{μ} ψ - m \bar{ψ} ψ - b \cdot F_{μ v} F^{μ v} + d \cdot ϵ^{a β γ δ} F_{a β} F_{γ δ}

$\mathcal{L} = \cdot\bar{\psi}D_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + d\cdot \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}$

der letzte Term beinhaltet den antisymmetrischen Tensor $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ und ist daher nicht zeit- und paritätsinvariant.

Beachten Sie, dass wir hier keine linearen Terme aufgenommen haben, da wir sowieso um ein lokales Minimum expandieren werden, sodass der lineare Term verschwindet.

Fazit

wenn wir U(1) Eichinvarianz und Renormierbarkeit (Massendimension bis zu 4) und Zeit- und Paritätsinvarianz benötigen, erhalten wir nur

L = \cdot \bar{ψ} D_{μ} ψ - m \bar{ψ} ψ - b \cdot F_{μ v} F^{μ v}

$\mathcal{L} = \cdot\bar{\psi}D_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

Im quellenfreien Fall ist dies der Fall

L = - b \cdot F_{μ v} F^{μ v}

$\mathcal{L} = - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

der Gesamtfaktor $\frac{1}{4}$ ist nicht wichtig.

QMechaniker · Answer 2

Der Maxwell-Term

\begin{matrix} (1) & L_{M a x w e l l} = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}_{\rm Maxwell}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

entsteht natürlich aus vielen Gründen.

1) Reine EM ohne Materie. Es gibt eine sehr kurze Liste spezieller relativistischer renormierbarer Terme, die man in eine lokale Lagrange-Dichte ohne Zeitableitungen höherer Ordnung einfügen kann und die eichinvariant ist (bis zu den Randtermen). In der engeren Auswahl dieser Kandidaten ist die Lagrange-Dichte (1) die einzige (Modulo eines Gesamtnormalisierungsfaktors und Modulo-Grenzterme), die zu Maxwell-Gleichungen (ohne Quellterme) führt. Die Lagrange-Dichte von Born-infeld ist ein Beispiel für einen nicht-lokalen Kandidaten.

2) EM an Materie gekoppelt. Zusätzliche Bedingungen treten auf, wenn man versucht, EM an Punktladungen zu koppeln. Man kann argumentieren, dass der relativistische Lagrangian für $n$ Punktgebühren $q_1, \ldots, q_n$ , an Positionen ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n$ , in einem EM-Hintergrund wird als angegeben

\begin{matrix} (2) & L = - \sum_{ich = 1}^{n} (\frac{m_{0 ich} c^{2}}{γ (v_{ich})} + q_{ich} {ϕ (r_{ich}) - v_{ich} \cdot EIN (r_{ich})}) . \end{matrix}

$\tag{2} L ~=~ -\sum_{i=1}^n \left(\frac{m_{0i}c^2}{\gamma({\bf v}_i)} +q_i\{\phi({\bf r}_i) - {\bf v}_i\cdot {\bf A}({\bf r}_i)\} \right).$

Siehe auch diese Phys.SE-Antwort. Diese Lagrangefunktion (2) gibt zB die Lorentzkraft korrekt wieder . Aus Gl. (2) Es ist nur ein kleiner Schritt, um zu dem Schluss zu kommen, dass der Interaktionsterm ${\cal L}_{\rm int}$ zwischen EM und Materie [in der $(-,+,+,+)$ Vorzeichenkonvention] hat die Form

\begin{matrix} (3) & L_{ich n t} = J^{μ} {EIN}_{μ} . \end{matrix}

$\tag{3} {\cal L}_{\rm int}~=~J^{\mu}A_{\mu}.$

Denken Sie auch daran, dass Maxwells Gleichungen mit Quellen sind

\begin{matrix} (4) & d_{v} F^{v μ} = - J^{μ} . \end{matrix}

$\tag{4} d_{\nu} F^{\nu\mu}~=~-J^{\mu}.$

Wenn die Aktion

\begin{matrix} (5) & S [EIN] = \int d^{4} x L \end{matrix}

$\tag{5} S[A]~=~\int\! d^4x~ {\cal L}$

soll abwechslungsreich sein bzgl. das $4$ -Messpotential $A_{\mu}$ , dh die $4$ -Messpotential $A_{\mu}$ sind die fundamentalen Variablen der Theorie, und darüber hinaus die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen

\begin{matrix} (6) & 0 = \frac{δ S}{δ {EIN}_{μ}} \overset{?}{=} d_{v} F^{v μ} + J^{μ} \end{matrix}

$\tag{6} 0~=~\frac{\delta S}{\delta A_{\mu}} ~\stackrel{?}{=}~d_{\nu} F^{\nu\mu}+J^{\mu}$

die Maxwell-Gleichungen (4) wiedergeben sollen, wird schnell klar, dass

\begin{matrix} (7) & L = L_{M a x w e l l} + L_{ich n t} \end{matrix}

$\tag{7} {\cal L}~=~{\cal L}_{\rm Maxwell}+{\cal L}_{\rm int}$

ist die geeignete Lagrange-Dichte für EM mit Hintergrundquellen $J^{\mu}$ .

3) Für eine Diskussion über die Formulierung von EM ohne die $4$ -Messpotential $A_{\mu}$ , siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

David Bar Mosche · Answer 3

Die wirtschaftlichste Herleitung der Maxwell-Gleichungen (dh abhängig von der geringsten Anzahl von Postulaten) ist heute unter dem Namen "Feynmans Beweis der Maxwell-Gleichungen" bekannt. Dieser „Beweis“ wurde 1948 von Feynman entdeckt, aber nicht veröffentlicht, weil Feynman nicht glaubte, dass er zu einer neuen Physik führt. Erst 1989 nach Feynmans Tod wurde sein Beweis von Dyson veröffentlicht, siehe den Artikel von Dyson .

Nach der Veröffentlichung durch Dyson wurde festgestellt, dass der Feynman-Beweis sehr tiefe Ideen in der Poisson-Geometrie enthält . Ebenso wie ihre Verallgemeinerung auf den nicht-Abelschen Fall führt zu den Wong-Gleichungen, die die Bewegung eines Punktteilchens in einem externen Yang-Mills-Feld beschreiben (siehe die folgende Darstellung von: Montesinos und Abdel Perez-Lorenzana), was wiederum ist im Zusammenhang mit der Kaluza-Klein-Theorie. Es erklärt verschiedene mechanische Ideen, zum Beispiel das Phänomen der fallenden Katze . Das ganze Thema ist heute unter dem Namen Sub-Riemannsche Geometrie bekannt.

Die Postulate des Beweises von Feynman lauten wie folgt:

Die Position und Geschwindigkeit des Teilchens erfüllen die kanonische Poisson-Klammer-Beziehung mit der Position.
Die Beschleunigung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld ist nur eine Funktion von Position und Geschwindigkeit.

Nur unter diesen Annahmen bewies Feynman (siehe Artikel von Dyson für Details), dass die elektromagnetische Kraft das Lorentz-Gesetz erfüllen muss und das elektromagnetische Feld die homogenen Maxwell-Gleichungen erfüllen muss.

Asphir Dom · Answer 4

Ja, das Symmetrie-Argument ist korrekt - es muss unter lokalen Eichtransformationen unveränderlich sein.

Das macht Sinn, aber es ist nicht klar, dass es nicht auch andere Lagrange-Funktionalitäten geben könnte, die ebenfalls invariant sind.

Frech · Answer 5

Frech

Variiert man es bezüglich des Viererpotentials, erhält man die Maxwellschen Gleichungen. Das ist wirklich die einzige Antwort darauf, warum irgendein klassischer Lagrangian die Form hat, die er hat – weil er die richtigen Feldgleichungen liefert.

Benutzer21433

Aber natürlich gibt es andere Lagrangianer, die dasselbe tun. Und das reicht nicht als Ableitung, angenommen, Sie kannten die Maxwell-Gleichungen vorher nicht.

Nikolaj-K

@SeanD: Was ist es denn, was du vorher weißt? Es gibt einige unveränderliche Größen , soweit es um Lagrange geht, natürlich kann es klassischerweise mehr als eine geben, die den Feldgleichungen entspricht. Ein bemerkenswertes Merkmal von

F^{2}

$F^2$ ist, dass es gleich der Energiedichte ist

u \propto E^{2} + B^{2} \propto (\vec{\nabla} ϕ)^{2} + . . .

$u\propto E^2+B^2\propto (\vec\nabla\phi)^2+...$ , oder die Arbeit, die elektrischen Ladungen an einer Stelle zu sammeln.

meine2cts · Answer 6

Der Standard-Lagrange ist die einzige Form, die

a) gibt die richtigen Bewegungsgleichungen an

b) ist eine Lorentz-Skalardichte

c) ist eichinvariant.

Voraussetzung a) ist offensichtlich. b) ist erforderlich, damit das Aktionsintegral Lorentz-invariant ist. In meiner als Eur. Phys. JD, vol. 8, p 9-12 (2000) zeige ich, dass c) nicht erforderlich ist.

Beachten Sie, dass die Quantisierung der Theorie den Gupta-Bleuler-Formalismus erfordert, der infinitesimale Eichbruchterme beinhaltet . Dies löst das Problem, dass das Lorenz- oder irgendein anderes Messgerät nicht in Operatorform auferlegt werden kann. Dies steht im Widerspruch zu c), obwohl das Endergebnis nicht genau davon abhängt, wie die Eichinvarianz gebrochen wird. Die Zähmung der Infrarotdivergenzen erfordert eine infinitesimale Photonenmasse, die auch die Eichinvarianzbedingung c) durchbricht (Itzykson&Zuber, S. 172).

Form des klassischen EM-Lagranges

Benutzer21433

Frobenius

Antworten (6)

luksen

U(1) Gauge-Invarianz

Nur Gauge-Field-Begriffe

Renormierbarkeit

Fazit

QMechaniker

David Bar Mosche

Asphir Dom

Benutzer21433

Frech

Benutzer21433

Nikolaj-K

meine2cts

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