Abstrakt
Im Folgenden werden wir beweisen, dass es eine kompatible Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld im leeren Raum gibt
Lich m=ϵ0⋅|| E ||2−C2|| B ||22− ρ ϕ + j ⋅ EIN(045)
das heißt, die Euler-Langrange-Gleichungen, die aus dieser Lagrange-Funktion hervorgehen, sind die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld.
Diese Lagrange-Dichte wird durch ein Trial-and-Error- Verfahren (1) abgeleitet , nicht durch Raten.
1. Einleitung
Die Maxwellschen Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes im leeren Raum sind
∇ × E∇ × B∇ ⋅E _∇ ⋅ B= −∂B∂T=μ0j +1C2∂E∂T=ρϵ0= 0(001a)(001b)(001c)(001d)
Wo
E =
elektrischer Feldstärkevektor,
B =
magnetischer Flussdichtevektor,
ρ =
elektrische Ladungsdichte,
j =
elektrischer Stromdichtevektor. Alle Größen sind Funktionen der drei Raumkoordinaten
(X1,X2,X3) ≡ ( x , y, z)
und Zeit
t ≡X4
.
Aus Gleichung (001d) der MagnetflussvektorB
kann als Kräuselung eines Vektorpotentials ausgedrückt werdenA
B =∇× A(002)
und aus (002) ergibt Gleichung (001a).
∇ × ( E +∂A∂T) =0(003)
daher kann der Klammerterm als Gradient einer Skalarfunktion ausgedrückt werden
E +∂A∂T= − ∇ϕ _
das ist
E =−∇ϕ−∂A∂T(004)
Also die sechs skalaren Variablen, die Komponenten von Vektoren
E
Und
B
, können als Funktionen von 4 Skalarvariablen, dem Skalarpotential, ausgedrückt werden
ϕ
und drei Komponenten des Vektorpotentials
A
.
Einfügen der Ausdrücke vonE
UndB
, Gleichungen (002) bzw. (004), in den Gleichungen (001b) und (001c) haben wir
∇ × ( ∇ × EIN ) =μ0j +1C2∂∂T( − ∇ ϕ −∂A∂T)(005)
Und
−∇2ϕ −∂∂T( ∇ ⋅ EIN ) =ρϵ0(006)
Angesichts dessen
∇ × ( ∇ × EIN ) = ∇ ( ∇ ⋅ EIN ) −∇2A(007)
Gleichung (005) ergibt
1C2∂2A∂T2−∇2EIN +∇ ( ∇ ⋅ EIN +1C2∂ϕ∂T) =μ0J(008)
2. Die Euler-Lagrange-Gleichungen des EM-Felds
Unsere Hauptaufgabe besteht nun darin, eine Lagrange-Dichte zu findenL
, Funktion der vier ''Feldkoordinaten'' und ihrer Ableitungen 1. Ordnung
L = L (ηȷ,η⋅ȷ, ∇ηȷ)( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(009)
so dass die vier skalaren elektromagnetischen Feldgleichungen (006) und (008) aus den Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden
∂∂T⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂L∂(∂ηȷ∂T)⎤⎦⎥⎥⎥⎥+∑k = 1k = 3∂∂Xk⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂L∂(∂ηȷ∂Xk)⎤⎦⎥⎥⎥⎥−∂L∂ηȷ= 0,( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(010)
vereinfacht in der Notation zu
∂∂T(∂L∂η⋅ȷ) +∇⋅ [∂L∂( ∇ηȷ)] −∂L∂ηȷ= 0 ,( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(011)
Hier die Lagrange-DichteL
ist eine Funktion von
- die vier ''Feldkoordinaten''
η1η2η3η4=A1(X1,X2,X3, t )=A2(X1,X2,X3, t )=A3(X1,X2,X3, t )=ϕ (X1,X2,X3, t )(012.1)(012.2)(012.3)(012.4)
- ihre zeitlichen Ableitungen
η⋅1η⋅2η⋅3η⋅4≡∂η1∂T=∂A1∂T≡A⋅1≡∂η2∂T=∂A2∂T≡A⋅2≡∂η3∂T=∂A3∂T≡A⋅3≡∂η4∂T=∂ϕ∂T≡ϕ⋅(013.1)(013.2)(013.3)(013.4)
Und
- ihre Steigungen
∇η1= ∇A1,∇η2= ∇A2,∇η3= ∇A3,∇η4= ∇ϕ _(014)
Wir drücken die Gleichungen (006) und (008) in Formen aus, die den Lagrange-Gleichungen (011) ähnlich sind.
∂∂T( ∇ ⋅ EIN ) + ∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) − ( −ρϵ0) =0(015)
Und
∂∂T(∂Ak∂T+∂ϕ∂Xk) +∇⋅ [C2(∂A∂Xk− ∇Ak) ] −Jkϵ0= 0(016)
Die Lagrange-Gleichung (011) für
ȷ = 4
, das ist für
η4= ϕ
, Ist
∂∂T(∂L∂ϕ⋅) +∇⋅ [∂L∂( ∇ϕ ) _] −∂L∂ϕ= 0(017)
Beim Vergleich der Gleichungen (015) und (017) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn
∂L∂ϕ⋅= ∇ ⋅ A,∂L∂( ∇ϕ ) _= ∇ϕ _,∂L∂ϕ= −ρϵ0(018)
so dass die Lagrange-Dichte
L
müssen jeweils die Begriffe enthalten
La1≡ ( ∇ ⋅ EIN )ϕ⋅,La2≡12∥ ∇ϕ _∥2,La3≡ −ρ ϕϵ0(019)
und damit ihre Summe
La=La1+La2+La3= ( ∇ ⋅ EIN )ϕ⋅+12∥ ∇ϕ _∥2−ρ ϕϵ0(020)
Wir nehmen an, dass eine geeignete Lagrange-DichteL
wäre von der Form
L =La+Lβ(021)
und da
La
Gleichung (015) erzeugt, erwarten wir
Lβ
, zu bestimmen, wird Gleichungen (016) erzeugen. Diese Erwartung wäre richtig, wenn die Gleichungen (015) und (016) entkoppelt wären, zB wenn die erste enthält
ϕ
-Begriffe nur und die zweite
A
-Bedingungen nur. Aber hier ist das nicht der Fall:
La
als enthaltend
A
-Terme würden an der Erstellung von Gleichungen (016) und darüber hinaus teilnehmen
Lβ
an der Erzeugung von Gleichung (015) teilnehmen und möglicherweise gegenseitig die Erzeugung der Gleichungen zerstören würden, wie wir es erwartet hatten. Aber hier folgen wir einem Trial-and-Error-Verfahren, das zur richtigen Antwort führt, wie wir im Folgenden sehen werden.
Nun werden die Lagrange-Gleichungen (011) fürȷ = k = 1 , 2 , 3
, das ist fürηk=Ak
, Sind
∂∂T(∂L∂A⋅k) +∇⋅ [∂L∂( ∇Ak)] −∂L∂Ak= 0(022)
Beim Vergleich der Gleichungen (016) und (022) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn
∂L∂A⋅k=A⋅k+∂ϕ∂Xk,∂L∂( ∇Ak)=C2(∂A∂Xk− ∇Ak),∂L∂Ak=Jkϵ0(023)
Aus der ersten der Gleichungen (023) dieLβ
Teil der Lagrange-DichteL
muss die Bedingungen enthalten
12∥∥A⋅k∥∥2+∂ϕ∂XkA⋅k,k = 1 , 2 , 3(024)
und so ihre Summe in Bezug auf
k
Lβ1≡12∥∥A˙∥∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙(025)
Aus der 2. der Gleichungen (023) dieLβ
Teil der Lagrange-DichteL
muss die Bedingungen enthalten
12C2[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2],k = 1 , 2 , 3(026)
und so ihre Summe in Bezug auf
k
Lβ2≡12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2](027)
Aus der 3. Gleichung (023) die
Lβ
Teil der Lagrange-Dichte
L
muss die Bedingungen enthalten
JkAkϵ0,k = 1 , 2 , 3(028)
und so ihre Summe in Bezug auf
k
Lβ3≡j ⋅ Aϵ0(029)
Aus den Gleichungen (025), (027) und (029) werden dieLβ
Teil der Lagrange-DichteL
Ist
Lβ=Lβ1+Lβ2+Lβ3=12∥∥A˙∥∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0(030)
Schließlich aus den Ausdrücken (020) und (030) für die DichtenLa,Lβ
die Lagrange-DichteL =La+Lβ
Ist
L=La+Lβ= ( ∇ ⋅ EIN )ϕ⋅+12∥ ∇ϕ _∥2−ρ ϕϵ0+12∥∥A˙∥∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0(das ist eine falsche Lagrange-Dichte)(031)
3. Error-Trial-Enderfolg
Einsetzen dieses Lagrange-Dichteausdrucks in die Lagrange-Gleichung bzglϕ
, also Gleichung (017), ergibt nicht Gleichung (006), sondern
−∇2ϕ −∂∂T( 2 ∇ ⋅ EIN ) =ρϵ0,( falsch )(032)
Das Erscheinen eines Extras
( ∇ ⋅ EIN )
liegt an der Laufzeit
( ∇ ϕ ⋅A˙)
von
Lβ
und deshalb ist die durch Gleichung (031) gegebene Lagrange-Dichte nicht angemessen.
Um dieses Problem zu lösen, müssen wir (015), also (006), wie folgt aus einem anderen Blickwinkel betrachten
∇ ⋅ ( ∇ϕ + _A˙) - ( -ρϵ0) =0(033)
Beim Vergleich der Gleichungen (033) und (017) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn wir anstelle von (018) haben
∂L∂ϕ⋅= 0,∂L∂( ∇ϕ ) _= ∇ ϕ +A˙,∂L∂ϕ= −ρϵ0(034)
also anstelle von (019) bzw. (020) die Gleichungen
L'a1≡ 0,L'a2≡12∥ ∇ϕ _∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙,L'a3=La3≡ −ρ ϕϵ0(035)
L'a=L'a1+L'a2+L'a3=12∥ ∇ϕ _∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙−ρ ϕϵ0(036)
Jetzt ist es notwendig, wegzulassen
Lβ1
, Gleichung (025), der zweite Term
( ∇ ϕ ⋅A˙)
da es in erscheint
L'a2
, siehe die zweite der obigen Gleichungen (035).
Also haben wir anstelle von (025)
L'β1≡12∥∥A˙∥∥2(037)
während
Lβ2,Lβ3
bleiben wie in den Gleichungen (027) und (029) unverändert
L'β2L'β3=Lβ2≡12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2]=Lβ3≡j ⋅ Aϵ0(038)(039)
Anstelle von (030)
L'β=L'β1+L'β2+L'β3=12∥∥A˙∥∥2+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0(040)
und schließlich für die neue Lagrange-Dichte, die wir anstelle von (031) haben
L'=L'a+L'β=12∥ ∇ϕ _∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙−ρ ϕϵ0+12∥∥A˙∥∥2+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0(041)
DichteL'
von (041) erhält man aus der DichteL
von (031), wenn wir den Term weglassen( ∇ ⋅ EIN )ϕ⋅
. SoL'
ist unabhängig von ϕ⋅
.
In den folgenden Gleichungen gruppiert die Klammer über den linken 3 Termen diesen Teil der DichteL'
die wesentlich an der Erzeugung der elektromagnetischen Gleichung (006) aus der Lagrange-Gleichung bzgl. beteiligt istϕ
, Gleichung (017), während die Klammer unter den rechten 4 Termen diesen Teil der Dichte gruppiertL'
das ist wesentlich an der Erzeugung der elektromagnetischen Gleichungen (008) aus den Lagrange-Gleichungen bzgl. beteiligtA1,A2,A3
, Gleichung (022).
L'=12∥ ∇ϕ _∥2−ρ ϕϵ0+ ∇ϕ⋅ _ _A˙bezüglich ϕ+12∥∥A˙∥∥2+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0
L'=12∥ ∇ϕ _∥2−ρ ϕϵ0+∇ϕ⋅ _ _A˙+12∥∥A˙∥∥2+12C2∑k = 1k = 3[∂A∂Xk⋅∇ _Ak− ∥ ∇Ak∥2] +j ⋅ Aϵ0bezüglich A
Beachten Sie den gemeinsamen Begriff( ∇ ϕ ⋅A˙)
.
Neuordnung der Terme im Ausdruck (041) der DichteL'
wir haben
L'=12∥∥A˙∥∥2+12∥ ∇ϕ _∥2+ ∇ϕ⋅ _ _A˙12∥∥− ∇ ϕ −∂A∂T∥∥2−12C2∑k = 1k = 3[ ∥ ∇Ak∥2−∂A∂Xk⋅∇ _Ak]∥ ∇ × EIN ∥2+1ϵ0( − ρ ϕ + j ⋅ EIN )
− − − − − − − − − − − − − − − − −(042)
das ist
L'=12∣∣∣∣∣∣− ∇ ϕ −∂A∂T∣∣∣∣∣∣2−12C2|| ∇ × EIN ||2+1ϵ0( − ρ ϕ + j ⋅ EIN )(043)
oder
L'=|| E ||2−C2|| B ||22+1ϵ0( − ρ ϕ + j ⋅ EIN )(044)
Nun, wenn die DichteL'
muss Energiedimensionen pro Volumeneinheit haben, die wir definierenLich m=ϵ0L'
So
Lich m=ϵ0⋅|| E ||2−C2|| B ||22− ρ ϕ + j ⋅ EIN(045)
daran denken
∥ E ∥2∥ B ∥2=∥∥∥− ∇ ϕ −∂A∂T∥∥∥2=∥∥A˙∥∥2+ ∥ ∇ϕ _∥2+ 2 ( ∇ ϕ ⋅A˙)=∥ ∇ × EIN ∥2=∑k = 1k = 3[ ∥ ∇Ak∥2−∂A∂Xk⋅∇ _Ak](046a)(046b)
Der Skalar(|| E ||2−C2|| B ||2)
ist eine der beiden Lorentz-Invarianten (2) des Körpers (die andere istE ⋅ B
) im Wesentlichen gleich einer konstanten ZeitenEμ νEμ ν
, WoEμ ν
der Tensor des antisymmetrischen Feldes (2) .
Andererseits der Skalar( − ρ ϕ + j ⋅ EIN )
ist im Wesentlichen das innere ProduktJμAμ
im Minkowski-Raum von zwei 4-Vektoren: die 4-StromdichteJμ= ( c ρ , j )
und das 4-PotenzialAμ= ( ϕ / c , EIN )
, ebenfalls ein Lorentz-invarianter Skalar.
Also die Lagrange-DichteLich m
in Gleichung (045) ist Lorentz-invariant.
(1) Durch ein Trial-and-Error-Verfahren fand ich den Lagrange-Operator in einem schwierigeren und komplizierteren Fall: siehe meine Antwort als user82794 hier Erhalten Sie den Lagrange-Operator aus dem System der gekoppelten Gleichung
(2) In Anlehnung an W. Rindler in "Introduction to Special Relativity" Ed.1982 wird dieser Tensor in Gleichung (38.15) abgeleitet
Eμ ν=⎡⎣⎢⎢⎢0−E1−E2−E3E10CB3- cB2E2- cB30CB1E3CB2- cB10⎤⎦⎥⎥⎥SoEμ ν=⎡⎣⎢⎢⎢0E1E2E3−E10CB3- cB2−E2- cB30CB1−E3CB2- cB10⎤⎦⎥⎥⎥(38.15)
was durch die (Dualität) Ersetzungen
E →−cB _
Und
cB → E _
Erträge
Bμ ν=⎡⎣⎢⎢⎢0CB1CB2CB3- cB10CE3−E2- cB2−E30E1- cB3E2−E10⎤⎦⎥⎥⎥SoBμ ν=⎡⎣⎢⎢⎢0- cB1- cB2- cB3CB10CE3−E2CB2−E30E1CB3E2−E10⎤⎦⎥⎥⎥(39.05)
Die beiden Invarianten vonEμ ν
-an ihrer Entstehungsweise sofort als solche erkennbar - lassen sich wie folgt ausdrücken:
XY=12Eμ νEμ ν= −12Bμ νBμ ν=C2|| B ||2−|| E ||2=14Bμ νEμ ν= c B ⋅ E(39.06)(39.07)
Benutzer1504
QMechaniker