Lagrange des EM-Felds: Warum hat der Begriff BBB-Feld im Lagrange ein Minuszeichen davor?

ich weiß, dass L = T − U und das im nichtrelativistischen Fall

(1) L = 1 2 M v 2 − Q ϕ ( R , T ) + Q v → ⋅ A → ( R , T ) .

Mein Dozent hat die folgende Form der Lagrange-Dichte verwendet, um die Maxwell-Gleichungen abzuleiten:

(2) L = J → ( R , T ) A → ( R , T ) − ρ → ( R , T ) ϕ → ( R , T ) + ϵ 2 E → 2 ( R , T ) − 1 2 μ B → 2 ( R , T ) .

Vergleicht man die beiden Gleichungen für L , kann ich sehen, dass der KE-Term in der ersten Gleichung die Energiedichte des EM-Felds ersetzt. Was ich nicht verstehe ist, warum die B -Feldterm im Lagrange (2) ein Minuszeichen davor hat?

Kann mir bitte jemand etwas Licht ins Dunkel bringen?

PS - Ich habe die verwandten Beiträge überprüft und keiner von ihnen spricht mein Problem an.

Wenn es ein Pluszeichen hätte, würde das Minimieren der Aktion bedeuten, dass sowohl E als auch B gleich Null sind.
Wenn L dort ein Pluszeichen hätte, dann würde sich eine von Maxwells Gleichungen mit dem falschen Vorzeichen bei herausstellen μ : − 1 μ ∇ → × B → = J → + ϵ ∂ ∂ T E →
@Javier Diese Aussage ignoriert, dass die Variation Randbedingungen als zusätzliche Eingabe erfordert (dieselbe Logik scheint darauf hinzudeuten, dass die klassischen Lösungen des Elektromagnetismus ein unendliches Magnetfeld und ein verschwindendes elektrisches Feld haben). In der Tat, wenn das Minuszeichen weg ist, ist die verbleibende Wirkung der euklidische Elektromagnetismus, der eine perfekt definierte Feldtheorie ist.

Antworten (3)

Im Messgerät ϕ = 0 , Die E Begriff ist 1 2 A ˙ 2 , das ist kinetische Energie, und die B Begriff ist ( ∇ × A ) 2 , die potentielle Energie ist und daher ein Minuszeichen erhält.

Warum haben sie diese Form des Lagrange gewählt? Gibt es keinen tieferen Sinn? Die meiste Literatur, auf die ich stoße, gibt dies nur an, ohne eine Erklärung zu geben. Die Literatur, die die Form der Lagrangian für ein Teilchen in einem EM-Feld ableitet, leitet die erste Gleichung ab, die ich oben aufgeführt habe. Meine Frage ist noch unbeantwortet......
Wenn Sie möchten, dass Ihr Lagrange Lorentz-invariant ist, ist dies meiner Meinung nach die einzige Option L = − 1 4 F μ v F μ v , Wo F μ v = ∂ μ A v − ∂ v A μ , Und A μ = ( ϕ , A → ) . Wenn Sie das erweitern, erhalten Sie die Lagrange-Funktion oben. Überprüfen Sie für ein nicht-relativistisches Argument, ob es Ihnen die Maxwell-Gleichungen korrekt als Bewegungsgleichungen liefert. Jeder andere Lagrange würde das nicht tun.

Der einzige Grund, warum Lagrangians das sind, was sie sind, ist, weil sie die richtigen Bewegungsgleichungen liefern.

Außerdem möchten Sie vielleicht fordern, dass bestimmte Symmetrien erhalten bleiben, aber dazu gehört nicht viel mehr. Tatsächlich kann man beweisen, dass es für viele Systeme unendlich viele (verschiedene) äquivalente Lagrange-Operatoren gibt, die dieselben Bewegungsgleichungen aufwerfen (so dass Sie eine davon auswählen können).

Zur Verdeutlichung ist der erste Lagrange-Operator, den Sie angegeben haben, der Lagrange-Operator, der ein nicht relativistisches Punktteilchen beschreibt, das sich in einem festen Hintergrundpotential bewegt ( ϕ , A ) . Die zweite Lagrange-Funktion beschreibt die Dynamik des elektromagnetischen Feldes in Gegenwart einer festen Hintergrundquelle ( ρ , J ) .

Nun, die kurze Antwort auf die Frage, warum das Minuszeichen vorhanden ist, lautet, dass die erhaltenen Gleichungen ohne es keine Maxwell-Gleichungen sind.

Eine etwas längere Antwort ist, dass das Minuszeichen existiert, um die relativistische Invarianz sicherzustellen. Unter einer Lorentz-Transformation transformieren sich die elektromagnetischen Felder wie

E ⊥ → γ ( E ⊥ + v × B ) , B ⊥ → γ ( B ⊥ − 1 C 2 v × E ) ,

Wo ⊥ bezeichnet die Komponente des Feldes senkrecht zur Ladegeschwindigkeit v . Unter dieser Transformation haben wir

ϵ 0 2 E 2 − 1 2 μ 0 B 2 = ( ϵ 0 2 E ∥ 2 − 1 2 μ 0 B ∥ 2 ) + γ 2 ϵ 0 2 ( E ⊥ + v × B ) 2 − γ 2 μ 0 ( B ⊥ − 1 C 2 v × E ) 2 .

Wenn wir vorsichtig mit unseren produktübergreifenden Identitäten umgehen, können wir das zeigen

( E ⊥ + v × B ) 2 = E ⊥ 2 + v 2 B 2 − ( v ⋅ B ) 2 + 2 E ⋅ ( v × B )
( B ⊥ − 1 C 2 v × E ) = B ⊥ 2 + 1 C 4 v 2 E 2 − 1 C 4 ( v ⋅ E ) 2 − 2 C 2 B ⋅ ( v × E ) .

Wenn man dies direkt in die Transformation der Lagrange-Funktion einfügt, zeigt sich, dass die γ Faktoren heben sich auf, und die Lagrange-Funktion ist relativistisch invariant.

Die längste Antwort erfordert die Sprache der Differentialformen, um sie wirklich zu verstehen. Wenn A ist die elektromagnetische 1-Form, und F = D A ist seine entsprechende Feldstärke, die kanonische Wirkung dafür U ( 1 ) Eichtheorie ist gegeben durch

S = − 1 2 ∫ M F ∧ ⋆ F .

Um dies nun in Bezug auf das elektrische und magnetische Feld auszudrücken, stellen wir fest, dass wir eine orthonormale Basis haben { D X μ } von Ω 1 ( M ) (das Leerzeichen von Eins-Formen auf M ), können wir ein elektrisches Feld in einer Form definieren

E = E 1 D X 1 + E 2 D X 2 + E 3 D X 3 .

Als nächstes können wir eine Magnetfeld-2-Form definieren

B = B 1 D X 2 ∧ D X 3 + B 2 D X 3 ∧ D X 1 + B 3 D X 1 ∧ D X 2 .

In Bezug auf diese Variablen wird die Feldstärke zerlegt als

F = B + E ∧ D X 0 .

Jetzt beim Auswerten F ∧ ⋆ F , der Hodge-Stern von E ∧ D X 0 wird ein zusätzliches Minuszeichen relativ zu haben B Begriff, der vom Minuszeichen im metrischen Tensor kommt G = diag ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Dies ist der mathematische Ursprung des Minuszeichens.

Zusammenfassend gibt es drei Antworten auf diese Frage, mit drei unterschiedlichen Ebenen der intuitiven Befriedigung:

  • Das Minuszeichen soll sicherstellen, dass die erhaltenen Bewegungsgleichungen Maxwell-Gleichungen sind (nicht so befriedigend).
  • Das Minuszeichen ist da, um eine relativistische Invarianz der Aktion sicherzustellen (etwas befriedigend).
  • Das Minuszeichen kommt vom Minuszeichen im Metriktensor des Minkowski-Raums (sehr befriedigend).
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