Wie ist Magnetismus ein Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie?

Magnetismus ist nicht nur ein relativistischer Effekt.

Der entscheidende Punkt, auf den die Leute hinweisen wollen, wenn sie darüber sprechen, ist das elektrische Feld$E$und Magnetfeld$B$sind keine relativistisch invarianten Größen: verschiedene Beobachter messen unterschiedliche Werte von ihnen. Das einfachste Beispiel ist eine einzelne elektrische Ladung; In seinem Ruhesystem gibt es kein Magnetfeld, aber es erzeugt ein Magnetfeld in einem System, in dem es sich bewegt.

Im Fall der einmaligen Ladung gibt es einen Rahmen, in dem kein Magnetfeld vorhanden ist. In einem komplizierteren System wie zwei sich aufeinander zu bewegenden Ladungen oder einem Permanentmagneten gibt es jedoch keine Rahmentransformation, die das Magnetfeld beseitigen kann.

Ich werde auf Ihre Frage antworten, indem ich Ihnen die konkrete Berechnung des Magnetfeldes gebe, das ein Beobachter sieht, wenn sich eine Punktladung mit einer Geschwindigkeit bewegt$v$, und der Einfachheit halber mache ich daraus einen geradlinigen Pfad.

Zunächst einmal wird das elektromagnetische Feld durch einen Rang angegeben$2$Tensor, der EM-Tensor$F^{\mu\nu}$. Ein Tensor zu sein, transformiert sich unter einer Lorentz-Transformation als

$$F^{\prime\mu\nu} = \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^{\prime\nu}}{\partial x^\beta} F^{\alpha\beta}$$

Nimmt man die einfachste Lorentz-Transformation, einen Schub entlang der$x$-Achse können Sie leicht erkennen, dass die Komponenten des elektrischen und magnetischen Felds im Rahmen sind$K^\prime$auf diese Weise mischen

$$E_x^\prime = E_x \qquad B_x^\prime = B_x\\ E_y^\prime = \gamma(E_y-\beta B_z) \qquad B_y^\prime = \gamma(B_y+\beta E_z)\\ E_z^\prime = \gamma(E_z+\beta B_y) \qquad B_z^\prime = \gamma(B_z-\beta E_y)$$

Daraus ergibt sich die aufschlussreiche Tatsache, dass Sie in einem Rahmen, in dem sich die Ladung bewegt, sowohl ein magnetisches als auch ein elektrisches Feld messen. Nehmen Sie in der Tat an, dass die Ladung$q$, im Rahmen zentriert$K^\prime$, bewegt sich entlang der$x$-Achse mit einer Geschwindigkeit$v$, und der Abstand der engsten Annäherung an den Beobachter ist$b$. Nehmen Sie außerdem an, dass die beiden Frames zeitlich zusammenfallen$t=t^\prime=0$. Nennen Sie den Punkt, an dem der Beobachter die Felder in seinem Rahmen misst$P$die Koordinaten im bewegten Rahmen hat

$$P^\prime = (-vt^\prime, b, 0)$$ und es ist auf Distanz $$r^\prime = \sqrt{b^2+(vt^\prime)^2}$$ Das elektrische Feld im Rahmen der Ladung ist eindeutig

$$E_x^\prime = -\frac{qvt^\prime}{r^{\prime 3}}\qquad E_y^\prime = \frac{qb}{r^{\prime 3}} \qquad E_z^\prime = 0$$

Das Magnetfeld ist überall Null. Mithilfe der Lorentz-Transformation können wir diese Felder in die Koordinate des Rahmens schreiben$K$

$$E_x^\prime = -\frac{q\gamma vt}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\ E_y^\prime = \frac{qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$$

Dann verwenden wir die gefundene Feldtransformation, bevor wir unser Suchergebnis erhalten

$$E_x = E_x^\prime = -\frac{q\gamma vt}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}\\ E_y = \gamma E_y^\prime = \frac{\gamma qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}\\ \color{red}{B_z = \gamma\beta E_y^\prime = \beta E_y} = \frac{\beta\gamma qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$$

Und los geht's

Eine Person in einem Rahmen$K$in Ruhe gegenüber einer gleichförmig bewegten Ladung, deren Rahmen ist$K^\prime$, wird sowohl ein magnetisches als auch ein elektrisches Feld messen.

Eine eingehendere Behandlung des Themas findet sich natürlich in Jacksons Buch!

Wenn Sie sich die klassische Beziehung der Lorentzkraft ansehen, werden Sie feststellen, dass die Lorentzkraft geschwindigkeitsabhängig ist. Ein einfaches Beispiel ist ein Protonenstrahl bzw$\alpha$Teilchenstrahl. In einem stationären Rahmen (oder Laborrahmen) bewegt sich der Strahl sehr schnell, daher gibt es eine enorme magnetische Kraft, die den Strahl zusammenhält. Aber im Rahmen der$\alpha$Teilchen sollten die elektrischen Kräfte dominieren und sie sollten auseinanderfliegen. Dies war das Paradoxon, das Einstein zur Relativitätstheorie führte.

Es gebe eine Lorentz-Transformation$\textbf{x}\rightarrow\textbf{x'}$. Wo$\textbf{x}$ist die Raumzeitkoordinaten des Laborrahmens und$\textbf{x'}$die Raumzeitkoordinaten eines Rahmens sind, der sich mit dem Teilchenstrahl bewegt. Die Transformation kann ausgedrückt werden als

$$x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$$ Das elektromagnetische Viererpotential wird sich ebenfalls gemäß der Lorentz-Transformation transformieren. $$A'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu} A^{\nu}$$ Daraus lassen sich die elektrischen und magnetischen Felder bestimmen. Wenn diese Transformation berücksichtigt wird, sind die Nettokräfte gleich, da die Felder jetzt Lorentz-invariant sind.

Hoffe das hilft.