Sind Magnetfelder nur modifizierte relativistische elektrische Felder?

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In obiger Abbildung-02 ein Inertialsystem$\:\mathrm S'\:$bezüglich des Inertialsystems verschoben wird$\:\mathrm S\:$mit konstanter Geschwindigkeit

$$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}=\left(\upsilon_{1},\upsilon_{2},\upsilon_{3}\right)=\left(\upsilon \mathrm n_{1},\upsilon \mathrm n_{2},\upsilon \mathrm n_{3}\right)=\upsilon \mathbf n\,, \qquad \upsilon \in \left(-c,c\right) \tag{01} \end{equation}$$ Die Lorentz-Transformation ist $$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}t \tag{02a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{02b} \end{align}$$ in differentieller Form $$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathrm d\mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma\boldsymbol{\upsilon}\mathrm dt \tag{03a}\\ \mathrm d t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(\mathrm d t-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{03b} \end{align}$$ und in Matrixform $$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ c t^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ c t\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}} \end{bmatrix} =\mathrm L\mathbf{X} \tag{04} \end{equation}$$ Wo $\:\mathrm L\:$die reelle Symmetrie $\:4\times 4\:$Matrix $$\begin{equation} \mathrm L \equiv \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \tag{05} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} = \begin{bmatrix} \mathrm n_{1}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{2}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm n_{1} & \mathrm n_{2} & \mathrm n_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm n_{1}^{2} & \mathrm n_{1}\mathrm n_{2} & \mathrm n_{1}\mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{2}\mathrm n_{1} & \mathrm n_{2}^{2} & \mathrm n_{2}\mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{3}\mathrm n_{1} & \mathrm n_{3}\mathrm n_{2} & \mathrm n_{3}^{2}\vphantom{\dfrac{}{}} \end{bmatrix} \tag{06} \end{equation}$$
eine Matrix, die die vektorielle Projektion auf die Richtung darstellt $\:\mathbf{n}$.

Das elektromagnetische Feld ist eine Einheit und dies wird deutlicher, wenn wir uns seine Transformation ansehen. Für die Lorentz-Transformation (02) also die Vektoren$\:\mathbf{E}\:$Und$\:\mathbf{B}\:$werden wie folgt transformiert

$$\begin{align} \mathbf{E}' & =\gamma \mathbf{E}\!-\!\left(\gamma\!-\!1\right)\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathbf{n}+\,\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{07a}\\ \mathbf{B}' & = \gamma \mathbf{B}\!-\!\left(\gamma\!-\!1\right)\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathbf{n}\!-\!\dfrac{\gamma}{c^{2}}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{07b} \end{align}$$ Lassen Sie nun den Lorentz-Vektor auf ein geladenes Punktteilchen erzwingen $\:q\:$mit Geschwindigkeit bewegen $\:\mathbf{u}\:$gegenüber $\:\mathrm S\:$ $$\begin{equation} \mathbf{f} = q\left(\mathbf{E}+\mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{08} \end{equation}$$ Diese Lorentz-Kraft 3-Vektor bzgl $\:\mathrm S'\:$Ist $$\begin{equation} \mathbf{f'} = q\left(\mathbf{E'}+\mathbf{u'}\boldsymbol{\times}\mathbf{B'}\right) \tag{09} \end{equation}$$ Beachten Sie, dass der Wert der Gebühr $\:q\:$eines Punktteilchens ist nach Hypothese in allen Inertialsystemen gleich (eine skalare Invariante), während die Geschwindigkeit 3-Vektor ist $\:\mathbf{u}\:$wird wie folgt transformiert $$\begin{equation} \mathbf{u}^{\boldsymbol{\prime}} = \dfrac{\mathbf{u}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}}{\gamma \left(1-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}}{c^{2}}\right)} \tag{10} \end{equation}$$ Gleichung bewiesen durch Dividieren der Gleichungen (03a), (03b) nebeneinander und Setzen $\:\mathbf{u}\equiv \mathrm d\mathbf{x}/\mathrm d t\:$, $\:\mathbf{u'}\equiv \mathrm d\mathbf{x'}/\mathrm d t'$.

Nun, wenn wir in (09) ersetzen$\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{u'}\:$durch ihre Ausdrücke (07a), (07b) bzw. (10), dann erhalten wir die folgende Beziehung zwischen den Kraft-3-Vektoren

$$\begin{equation} \mathbf{f}^{\boldsymbol{\prime}} = \dfrac{\mathbf{f}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{f})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}\left(\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c^{2}}\right)}{\gamma \left(1-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c^{2}}\right)} \tag{11} \end{equation}$$ wobei die Größen des elektromagnetischen Feldes $\:\color{red}{\bf DISAPPEARED !!!}$

Aus diesem Grund wurde in den Anfangsjahren der Speziellen Relativitätstheorie angenommen, dass die Transformation (11) für jede Kraft gültig ist, die mindestens vom gleichen Typ wie die Lorentzkraft ist (genauer gesagt für jede Kraft, die die Ruhemasse des Teilchens nicht ändert).
Auf dem gleichen Weg, auf dem wir aus (10) den Geschwindigkeits-4-Vektor konstruieren$\:\mathbf{U}\:$

$$\begin{equation} \mathbf{U} =\left(\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}, \gamma_{\mathrm u}c\right) \tag{12} \end{equation}$$ wir konstruieren auch aus (11) den Kraft-4-Vektor $\:\mathbf{F}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{F} =\left(\gamma_{\mathrm u}\mathbf{f}, \gamma_{\mathrm u}\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c}\right) \tag{13} \end{equation}$$ Lorentz verwandelt $$\begin{equation} \mathbf{F'} = \mathrm L \mathbf{F} \tag{14} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \mathbf{F}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \gamma_{\mathrm u'}\mathbf{f'}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ \gamma_{\mathrm u'}\dfrac{\mathbf{f'}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u'}}{c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{\mathrm u}\mathbf{f}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ \gamma_{\mathrm u}\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c} \end{bmatrix} =\mathrm L\mathbf{F} \tag{15} \end{equation}$$