Warum ist die Lorentz-Kraft rahmenunabhängig?

Der Lorentz-Kraft- 3-Vektor ist nur unter einer Galilei-Transformation rahmenunabhängig . Angenommen, Sie übersetzen in einen neuen Frame, der sich bewegt$\mathbf{V}_{o}$relativ zum ursprünglichen Frame, dann wären die transformierten Vektoren:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \tag{0a} \\ \mathbf{B}' & = \mathbf{B} \tag{0b} \\ \mathbf{v}' & = \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \tag{0c} \end{align}$$ Wenn wir diese dann in die Lorentzkraft einsetzen, finden wir: $$\begin{align} \mathbf{F}' & = q \left[ \mathbf{E}' + \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \right] \tag{1a} \\ & = q \left[ \left( \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \right) \times \mathbf{B} \right] \tag{1b} \\ & = q \left[ \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right] \tag{1c} \end{align}$$

Unter einer richtigen Lorentz-Transformation ist der 3-Vektor und 4-Vektor der Lorentz-Kraft nicht frameunabhängig. Die 3-Vektoren des elektrischen und magnetischen Felds (jetzt in cgs-Einheiten) transformieren sich wie folgt:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \gamma \left( \mathbf{E} + \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{E} \right) \tag{2a} \\ \mathbf{B}' & = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{B} \right) \tag{2b} \end{align}$$ während sich die 3-Vektor-Geschwindigkeit gemäß der Addition von Geschwindigkeiten und transformiert$\gamma$ist der Lorentzfaktor . Man sieht, dass sich die Gleichungen 2a und 2b im Grenzwert auf 0a und 0b reduzieren$V_{o} \ll c$Weil$\gamma \rightarrow 1$und der 2. Term in den Gleichungen 2a und 2b sind 2. Ordnung in$\tfrac{ V_{o} }{ c }$. Der$\tfrac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E}$fällt aus, wenn Sie zurück in SI-Einheiten konvertieren, weil$B \rightarrow c \ B$somit gibt es einen Faktor von$\tfrac{ V_{o} }{ c^{2} }$in diesem Begriff.

Die Gesetze, die elektromagnetische Phänomene beherrschen, sind bei der Galilei-Transformation nicht unveränderlich , sie sind stattdessen bei der Lorentz-Transformation unveränderlich .

Sobald dies festgestellt ist, können wir Ihre Frage angehen: Magnetfelder und elektrische Felder (und damit auch magnetische Kraft und elektrische Kraft) sind tatsächlich rahmenabhängig, wenn Sie den Bezugsrahmen mithilfe der Lorentz-Transformation ändern . Allerdings ist die kombinierte Wirkung von elektrischen und magnetischen Feldern (so auch die Lorentz-Kraft) unter der Lorentz-Transformation nicht rahmenabhängig . Aus diesem Grund sprechen wir gerne von elektromagnetischen Feldern und nicht getrennt von elektrischen und magnetischen Feldern.

Die Frage ist nun: Warum verwenden wir die Lorentz-Transformation anstelle der Standard-Galiläischen Transformation? Nun, wie ich oben erwähnt habe, sind die Gesetze des Elektromagnetismus unter der Galileischen Transformation nicht unveränderlich; Das bedeutet, dass wir Probleme bekommen, wenn wir die Verwendung der Lorentz-Transformation nicht akzeptieren. Zum Beispiel : Die Gesetze des Elektromagnetismus sagen voraus, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem konstant sein sollte, aber dies ist offensichtlich unter der Galileischen Transformation absurd.