Ausdrücken von B⃗ B→\vec{B} und E⃗ E→\vec{E} in Tensorkomponenten

Die elektrischen und magnetischen Felder$\vec{E}$Und$\vec{B}$können als Komponenten eines antisymmetrischen Tensors vom Rang 2 (eine 2-Form) angesehen werden, der als elektromagnetischer Feldtensor bezeichnet und normalerweise bezeichnet wird$F$. Wir definieren den elektromagnetischen Feldtensor durch die äußere Ableitung einer Form:$F=dA$. In Bezug auf die Komponenten sind dies:$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$für die Minkowski-Raumzeit. Das elektrische Feld in kartesischen Koordinaten kann dann ausgedrückt werden als$E_i = cF_{0i}$(Die Konvention hier ist, dass lateinische Buchstaben über raumähnliche Indizes laufen und griechische Buchstaben über alle 4 Raum-Zeit-Indizes laufen) und das Magnetfeld ist$B_i=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{jk}$Und$\epsilon_{ijk}$ist der (bis auf Händigkeit eindeutige) vollständig antisymmetrische Tensor vom Rang 3.

Der Lagrangian für ein freies klassisches elektromagnetisches Feld ist

Die Behauptung ist, dass diese beiden Beziehungen zu den freien Maxwell-Gleichungen führen, die Sie im OP ohne das Vorhandensein von Quellen gepostet haben (wenn Sie die Quelle wollen, paar$A_{\mu}$Zu$j^{\mu}$und füge den Begriff hinzu$\mathcal L$). Der Faktor von$-1/4$auf der Ebene des Lagrangians stellt die korrekte Normalisierung der OP-Gleichungen sicher. Das Obige ist die kovariante Form der Maxwell-Gleichungen, aber ich sehe, dass Sie beim erneuten Lesen Ihrer Frage die Komponenten von ableiten wollten$\mathbf E$Und$\mathbf B$aus den Maxwell-Gleichungen.

Aus Maxwells I und III sehen Sie, dass Sie schreiben können

Aus diesen Beziehungen können Sie die explizite Matrix von E- und B-Feldern ableiten:

Die spezielle Relativitätstheorie basiert auf zwei Postulaten: (i) die Gesetze der Physik haben in allen Trägheitsbezugssystemen die gleiche mathematische Struktur; und (ii) die gemessene Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gleich ist$c$in allen Inertialsystemen. Diese beiden Postulate sind die Grundlage unserer derzeit besten Beschreibung der Raumzeit, wann immer die Schwerkraft außer Acht gelassen werden kann.

Die Maxwellschen Gleichungen stehen natürlich im Einklang mit den obigen Postulaten, aber das ist nicht auf den ersten Blick ersichtlich, wenn sie in Vektorform (eigentlich 3d-Vektoren oder 3-Vektoren) geschrieben sind. Dies liegt daran, dass sich 3-Vektoren unter den Koordinatentransformationen, die verschiedene Inertialsysteme in der speziellen Relativitätstheorie, den sogenannten Lorentz-Transformationen, in Beziehung setzen, nicht richtig verhalten . Andererseits verhalten sich Vier-Komponenten-Vektoren oder einfach 4-Vektoren gut unter Lorentz-Transformationen. Ein 4-Vektor$\mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3)$verwandelt sich als$\mathbf{a}^\prime=\Lambda\, \mathbf{a}$, Wo

ist die Lorentz-Transformationsmatrix, die zwei Trägheitsreferenzrahmen mit relativer Geschwindigkeit in Beziehung setzt$v$entlang der$x$Achse, und wo wir die 4-Vektoren geschrieben haben$\mathbf{a}^\prime$Und$\mathbf{a}$als Säule$1\times 4$Matrizen zur Vereinfachung der Notation. Das Umwandlungsgesetz für$\mathbf{a}$kann in Indexschreibweise geschrieben werden als

Wo$a^\mu$ist der$\mu$-te Komponente des 4-Vektors$\mathbf{a}$Und$\Lambda^\mu{}_\nu$das Element der Lorentz-Transformationsmatrix$\Lambda$Bei der$\mu$-te Zeile und$\nu$-te Spalte.

Wichtige Beispiele für 4-Vektoren sind in unserem Fall der Ableitungsoperator$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3} \right) \equiv \left( \frac{\partial}{c\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$, der 4-Strom$J^\mu=(J^0,J^1,J^2,J^3)\equiv(c\rho,J_x,J_y,J_z)$, und das 4-Potenzial$A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3) \equiv \left(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)$. Diese Definitionen sind sehr natürlich, wenn Sie bemerken, dass die Lorentz-Transformation auf 4-Vektoren eine "zeitliche" und drei räumliche Komponenten mischt, daher suchen wir bei der Konstruktion eines 4-Vektors nach einer Größe, um in den "zeitlichen Slot" einzutreten, und nach drei für die " räumliche Schlitze".

Weiter, die Felder$\vec{E}$Und$\vec{B}$kann natürlich nicht Teil eines 4-Vektors sein, da jeder 3 Komponenten hat, während ein 4-Vektor 4 (zu viele) hat. Ein 4-Vektor kann als Spalte betrachtet werden$1\times 4$Matrix, also ist die nächste mathematische Struktur, die wir ausprobieren könnten, a$4\times 4$Matrix (Tensor zweiter Ordnung), hat aber 16 Komponenten. Andererseits antisymmetrisch $4\times 4$Matrix hat genau 6 linear unabhängige Elemente. Wenn wir eine solche Matrix nennen$F$, Dann$F^\text{T}=-F$oder, in Indexschreibweise,$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}.$Eine solche Matrix transformiert sich gut unter der Lorentz-Transformation:

Daher sieht man natürlich die Komponenten aus$\vec{E}$Und$\vec{B}$bildet eine solche Matrix. Aber wie genau? Das erste Postulat der Speziellen Relativitätstheorie verlangt, dass Maxwells Gleichungen in allen Systemen dieselbe Struktur haben, und sie haben diese Eigenschaft, aber um dies offensichtlich wahr zu machen, müssen wir sie in Form von 4-Vektoren und Tensoren zweiten Ranges umschreiben ($4\times 4$Matrizen) oder was auch immer sich unter Lorentz-Transformationen korrekt transformiert ( z . B. Tensoren höherer Ordnung). Lassen Sie uns versuchen, dies zuerst zu tun, indem wir das Gaußsche Gesetz beachten,

kann aus der Matrixgleichung erhalten werden

Die Ableitungszeilenmatrix (4-Vektor) mal die erste Spalte der$4\times 4$Matrix (Tensor zweiter Ordnung) ist gleich dem ersten Element der Linienmatrix auf der linken Seite der Gleichheit (die als Teil des 4-Stroms identifiziert wird), und das ergibt tatsächlich das Gaußsche Gesetz. Diese letzte Gleichung zeigt, wo sich die Komponenten von befinden$\vec{E}$in der Matrix$F$(was bisher nicht vollständig bekannt ist). Die Antisymmetrie von$F$erlegt die verschwindende Diagonale und die Komponenten auf$\vec{E}$oben in der ersten Zeile geschrieben.

Schauen wir uns das Gesetz von Ampère-Maxwell an:

Es ist$x$Komponente ist

und zu beziehen bei

Wenn die Ableitungsmatrix auf die zweite Spalte der wirkt$4\times 4$Matrix entspricht es dem zweiten Element der Linienmatrix auf der linken Seite der Gleichheit, was die ergibt$x$Bestandteil des Ampère-Maxwellschen Gesetzes. Das zeigt die Standorte von$B_y$Und$B_z$In$F$. Notiz$\rho$kommt jetzt mit einem Faktor von$\mu_o c$, statt der vorherigen$1/\varepsilon_0$, und der Grund ist, die Komponenten von zu kompensieren$\vec{E}$die jetzt geteilt werden durch$c$(erinnern$\mu_0 \varepsilon_0=1/c^2$). Mit analogen Verfahren für die$y$Und$z$Komponenten, schließen wir, dass die Gesetze von Gauß und Ampère-Maxwell tatsächlich als eine einzige Matrixgleichung geschrieben werden können:

Schließlich identifizieren wir die elektromagnetische Feldmatrix$F$die Transponierte des Obigen sein$4\times 4$Matrix,

Seine Elemente$F^{\mu\nu}$Sind$F^{01}=E_x/c$,$F^{02}=E_y/c$,$F^{03}=E_z/c$,$F^{12}=B_z$,$F^{13}=-B_y$, Und$F^{23}=B_x$. Die anderen Elemente ergeben sich aus seiner Antisymmetrie$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$.

Schließlich kann die Matrixgleichung, die die Gleichungen von Gauß und Ampère-Maxwell umfasst, in Indexnotation geschrieben werden als$\partial_\nu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\mu.$Da dies ausschließlich in Bezug auf 4-Vektoren und Tensoren zweiter Ordnung geschrieben wird, wird es in einem anderen Trägheitssystem geschrieben als$\partial^\prime_\nu F^\prime{}^{\mu\nu} = \mu_0 J^\prime{}^\mu$. Daher ist das erste Postulat der Speziellen Relativitätstheorie offensichtlich erfüllt.

Wir können die duale elektromagnetische Matrix definieren$G$Durch Ersetzen$\vec{E}$von$\vec{B}$, Und$\vec{B}$von$-\vec{E}/c$in der Matrix$F$. Diese Definition führt zu den anderen beiden Maxwell-Gleichungen,$\nabla \cdot \vec{B} = 0$Und$\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t,$wenn wir die Komponenten von überprüfen$\partial_\nu G^{\mu\nu} = 0.$

Das zweite Postulat der Speziellen Relativitätstheorie wird natürlich auch von der Elektrodynamik erfüllt. Im Vakuum,$\vec{E}$Und$\vec{B}$erfüllt die Wellengleichung,$\square \vec{E}=0$Und$\square \vec{E}=0$, Wo$\square\equiv\frac{1}{c^2}-\nabla^2$. Bezüglich$F$, wir haben$\square F^{\mu\nu}$. Weil$\square=\square^\prime$, breiten sich elektromagnetische Wellen mit Geschwindigkeit aus$c$in allen Inertialsystemen.

Endlich, sobald wir wissen, was die Elemente sind$F^{\mu\nu}$von$F$, ist es einfach zu überprüfen, ob die Elemente$F^{\mu\nu}$bezieht sich auf die Komponenten$A^\mu$des 4-Potentials durch$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, die nur die Beziehung zwischen Feldern und Potentialen angibt,$\vec{E}=-\nabla \phi -\partial \vec{A}/\partial t$Und$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}.$