Diese Art der Berechnung, insbesondere wenn die Geschwindigkeit der Elektronen aus der Sicht eines Beobachters nahe kommt$c$, muss unter Verwendung der speziellen Relativitätstheorie durchgeführt werden, in dem Sinne, dass die Transformation zwischen Referenzrahmen eher durch Lorentz- als durch Galileo-Transformationen bestimmt wird.

Wie Sie bereits erwähnt haben, können Sie den Ursprung Ihres Referenzrahmens an einer der Positionen des Elektrons platzieren (obwohl es für tatsächliche Berechnungen möglicherweise einfacher ist, in ein Massenmittelpunktsystem einzusteigen, um die Symmetrie der Situation zu nutzen). In diesem Bezugssystem sind als Anfangszustand beide Elektronen in Ruhe und somit ist nur das elektrostatische Potential vorhanden und somit kein Magnetfeld. Daher stoßen sich die Elektronen in dem gewählten Ruhesystem gegenseitig ab, was zu einer Divergenz ihrer Positionen führt.

Nun aus der Sicht eines anderen Bezugssystems, beispielsweise eines Beobachters in einem Labor, aus dessen Sicht die Elektronen eine Geschwindigkeit von haben$.99c$in sagen die$x$-Richtung, wie Sie in Ihrer Beschreibung erwähnen, ist tatsächlich ein Magnetfeld vorhanden. Nach der speziellen Relativitätstheorie schreibt man das aktuelle Feld im Ruhesystem der Elektronen (unter Verwendung der Vier-Vektor-Beschreibung des elektromagnetischen Potentials) auf und verwendet die entsprechende Lorentz-Transformation, um das elektromagnetische Potential im Bezugssystem des Beobachters zu erhalten. Die Lorentz-Transformation wird elektrisches und magnetisches Potential verwechseln, was zu der Interpretation führt, dass das magnetische Feld das elektrische Feld in einem anderen Bezugssystem ist, obwohl es genauer wäre, dies unter Verwendung des Vektorpotentials zu formulieren$A$als physische Einheit.

Ich hoffe, das klärt alle anderen Fragen, die Sie gestellt haben, da sie wirklich vom gewählten Bezugssystem abhängen und leicht herauszufinden sind, wenn Sie die Situation im Ruhesystem des Elektrons verstanden haben.

BEARBEITEN: Beachten Sie, dass ich nur die Ausgangssituation bespreche, dh ich vernachlässige, dass die Elektronen divergieren, was zu einer Relativgeschwindigkeit und damit zu einem Magnetfeld führt, das im Referenzrahmen eines der Elektronen vorhanden ist. Aber ich denke, Ihre Frage bezog sich auf die Ausgangssituation, in der die Elektronen relativ zueinander ruhen, und auf die Tatsache, dass sie sich "aus Sicht des Beobachters bewegen".

Lorentz-Transformationen

Angenommen, wir nennen den Laborrahmen den K-Rahmen und einen Rahmen, der sich mit Geschwindigkeit bewegt,$\mathbf{v}$, relativ zum K-Rahmen, der als K'-Rahmen bezeichnet wird. Dann können wir die elektromagnetischen Felder im K'-Frame in Form der K-Frame-Felder ausdrücken als:

1) Was ist der tatsächliche Wert ...?

Das$k$Faktor in diesem Artikel ist$\left( 4 \pi \varepsilon_{o} \right)^{-1} = 8.987552 \times 10^{9} \ m/F$, wo$\varepsilon_{o}$ist die Permittivität des freien Raums . Das$q^{2}$Wert ist nur die Elementarladung zum Quadrat =$2.56697 \times 10^{-38} \ C^{2}$. Deswegen,$k \ q^{2} = 2.307078 \times 10^{-28} \ V \ m \ C$und jetzt, wenn Sie durch teilen$1 \ cm = 10^{-2} \ m^{-1}$quadriert, dann$F_{E} = 2.307078 \times 10^{-24} \ N$.

Die Faktoren in$F_{B}$,$\mu_{o} \ q/4 \pi$, hat eine Größenordnung von$1.602218 \times 10^{-26} \ N \ s^{2} \ C^{-1}$, wo$\mu_{o}$ist die Durchlässigkeit des freien Raums .

Intuitiv sollte es nicht kleiner sein, aber es kann unmöglich größer als 1 werden, oder?

Die Größenordnung von$F_{B} = 4.7552 \times 10^{-14} \ N$, das ist ungefähr$10^{10}$mal größer als die Größenordnung von$F_{E}$.

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie denken, dass die magnetische Kraft die elektrische Kraft nicht überschreiten könnte, aber es hängt von der Situation ab.

2) Was passiert mit den Bahnen der Teilchen aufgrund des Einflusses des gegenseitigen Magnetfelds (Lorenzkraft), konvergieren sie?

Das hängt von der Situation ab. In Ihrem konkreten Beispiel sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass der Sonnenwind immer von einem magnetischen Hintergrundfeld durchdrungen ist und dass die Teilchen im Allgemeinen dem Magnetfeld folgen .

3) ihre Wege sollten auch divergieren, da die Abstoßung (Coulomb-Kraft) etwas stärker ist als die Anziehung (Biot-Savart)? Was ergibt sich aus dem Zusammenwirken all dieser Kräfte, was passiert mit den Teilchen? Ich habe versucht, eine Grafik zu erstellen. Ist es richtig? was sind die endgültigen werte?

Geladene Teilchen sind also fast nie isoliert. Im Sonnenwind (und fast allen Plasmen im Universum) werden die elektrostatischen Felder der Teilchen von entgegengesetzt geladenen Teilchen über eine durchschnittliche Entfernung, die als Debye-Länge bezeichnet wird, abgeschirmt . Daher wirken diese beiden Teilchen leider nicht wirklich wie zwei unabhängige Teilchen. Tatsächlich wirken sie höchstwahrscheinlich als Teil von Geschwindigkeitsverteilungen und zeigen ein kollektives Verhalten, das eher einem Fluid als nur zwei einzelnen Partikeln ähnelt.

4) Warum erzeugt das Magnetfeld eine Anziehung?

Es ist ähnlich dem Problem zweier paralleler stromführender Drähte. Das$\mathbf{j} \times \mathbf{B}$-Kraft (bezogen auf den Hall-Effekt ) des Stroms von Draht 1 unter dem Einfluss des Magnetfelds von Draht 2 erzeugt eine Kraft auf Draht 1, die auf Draht 2 gerichtet ist. Dasselbe gilt für Draht 2 aufgrund des Einflusses von Draht . Somit könnte man sagen, dass sich die beiden Drähte gegenseitig anziehen.

5) Zuletzt, aber am wichtigsten, habe ich gelesen, dass die magnetische Kraft durch die Relativitätstheorie als elektrisches Feld in einem anderen Rahmen interpretiert wird, ist das richtig? Aber hier befinden sich die beiden Elektronen im selben Rahmen, und in diesem Rahmen bewegen sie sich nicht (abgesehen von einer leichten Divergenz) und sie sollten keine magnetische Kraft spüren.

Siehe die Gleichungen 1a und 1b oben ...

6) Wie kann sich eine abstoßende Kraft in einem anderen Rahmen in eine anziehende verwandeln?

Eine Kraft ist keine Lorentz-Invariante . Das heißt, die Richtung und Größe einer Kraft kann sich in einem anderen Bezugssystem ändern. Kräfte entsprechen den sogenannten Lorentz-Transformationen . Kräfte können also in verschiedenen Referenzrahmen unterschiedlich erscheinen.

kann ein Beobachter C, der sich mit dem CM bewegt, folgern, dass sich alle (A, B, C) bewegen, auch wenn sie sich dessen nicht bewusst sind, und sogar die tatsächliche Geschwindigkeit herausfinden, mit der sie sich bewegen, indem er einfach beobachtet, dass der Wert der Abstoßung unterschiedlich ist von der von Coulomb vorhergesagten?

Nein, Bewegung kann man nicht ableiten. Denken Sie an das Fahren in einem Auto, Zug oder Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit. Ohne aus dem Fenster zu schauen, konnte man nicht feststellen, dass man sich bewegte. Sie können elektrische und magnetische Felder im Bezugssystem des Detektors messen. Ohne eine Messung in einem anderen Referenzrahmen können Sie nur die Messung im Messrahmen diskutieren. Sie können eine Lorentz-Transformation auf diese Messungen anwenden, um abzuleiten, was Sie in einem bestimmten Frame beobachten sollten, aber Sie können nicht allein auf der Grundlage von elektrischen und magnetischen Feldmessungen feststellen, dass Sie sich bewegen.

Beispiel Umkehrung

Verwenden wir der Einfachheit halber den nicht-relativistischen Grenzwert (d. h.$\gamma \rightarrow 1$) und nehme an:

Durch Lorentz-Transformationen und Geschwindigkeitsadditionen können wir zeigen, dass die relevanten 3-Vektoren im K'-Rahmen sind:

Um dann das Vorzeichen umzukehren$\hat{\mathbf{y}}$-Komponente von Gleichung 2b, die$\hat{\mathbf{y}}$-Komponente von Gleichung 3b muss erfüllen:

Es ist also prinzipiell möglich, dass sich das Vorzeichen einer Komponente der 3-Vektor-Kraft umkehrt.

Ein paar Anmerkungen vor der Berechnung:

• Im CM-Rahmen gibt es nur eine anziehende Kraft, während im gegebenen Rahmen sowohl eine anziehende als auch eine abstoßende Kraft vorhanden ist. Das ist nicht mysteriöser als die Tatsache, dass ein vertikales Objekt in meinem Rahmen für jemanden mit gedrehten Achsen geneigt aussehen kann. Wenn Sie vom CM-Rahmen zu Ihrem Rahmen gehen, wird das elektrische Feld auf genau die gleiche Weise in das magnetische Feld gemischt.
• Warum können Sie angesichts des oben Gesagten keine absolute Bewegung erkennen, indem Sie einfach messen, ob ein Magnetfeld vorhanden ist oder nicht? Du kannst nicht . Man kann immer nur die Lorentzkraft messen, die sowohl elektrische als auch magnetische Beiträge hat; Weitere Einzelheiten finden Sie hier .
• Auch wenn das Vorhandensein eines elektrischen oder magnetischen Felds Frame-abhängig ist, haben Sie Recht, dass die Partikelbahnen es nicht sind: Wenn sie sich schließlich in einem Frame treffen, tun sie das Gleiche besser in einem anderen Frame.

Lassen Sie uns zuerst die Berechnung im CM-Rahmen durchführen. Lasst den$x$und$y$Die Achsen sind wie in Ihren Bildern horizontal und vertikal und lassen die Objekte Masse haben$m$und aufladen$q$. Dann

Lassen Sie uns nun die gleiche Berechnung in Ihrem gegebenen Rahmen durchführen. Durch die Längenkontraktion wird das elektrische Feld um den Faktor erhöht$\gamma$, Also

Übrigens, wenn Sie sich unsere Berechnung von ansehen$a'_y$, können Sie sehen, dass das Verhältnis$F_B/F_E$ist genau$v^2/c^2$, für alle$v$, was deine erste Frage beantwortet. Aber beide Größen nehmen mit zu$v$, also bleibt die Summe gleich.

Der Beobachter, der sich mit dem CM bewegt, misst, dass die Abstoßungskraft der Elektronen gegeben ist$F=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$($d$ist ihr Abstand), kann er nur in seinem Bezugssystem (d.h. sich mit Geschwindigkeit bewegend) messen$v$) und kann diese Geschwindigkeit nicht ermitteln.

Das Relativitätsprinzip besagt, dass es kein Experiment gibt, das absolute Bewegungen bestimmen kann. Daher müssen sich alle Beobachter, unabhängig von der Relativbewegung, über das Ergebnis eines jeden Experiments einig sein. Aufgrund der Relativität der Messgeräte von Beobachtern können sie sich numerisch nicht auf die Messungen einigen. Durch die Anwendung der Relativitätsgesetze werden sie in der Lage sein, abzuleiten, welche Messungen die anderen machen, und sie werden sich auf Gesamtergebnisse wie "die Teilchen stoßen sich gegenseitig ab" einigen.

Ich würde Kapitel 12 von Griffiths 'Bachelor-Elektrodynamik-Buch lesen. Es ist eine gute Einführung in die gemeinsame Verwendung von SR und EM.

Mitbewegter Beobachter

Ein relativ zu den Elektronen ruhender Beobachter bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und in der gleichen Richtung wie die Elektronen. In diesem mitbewegten Bezugssystem erzeugen die Elektronen nur elektrische Felder. Es gibt kein Magnetfeld. Die Kraft zwischen den beiden Elektronen ist durch ihre Coulomb-Wechselwirkung gegeben. Die Ladungen stoßen sich ab, und die Nettokraft auf jede ist

Stationärer Beobachter

Ein stationärer Beobachter sieht, wie sich die beiden Elektronen mit Geschwindigkeit bewegen$v$, relativ zu sich selbst. Nennen wir die Bewegungsrichtung die$\hat{x}$Richtung. Dieser Beobachter wird sagen, dass die sich bewegenden Ladungen sowohl elektrische als auch magnetische Felder erzeugen. Dieser Beobachter bewegt sich relativ zu den Quellenladungen, sodass das elektrische Feld in diesem Rahmen modifiziert wird.

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass elektrische Feldlinien, die senkrecht zur Bewegung ($\hat{y}$oder$\hat{z}$Komponenten) werden durch die Lorentz-Kontraktion zusammengedrückt. Dadurch wird die vom stationären Beobachter gemessene Coulomb-Kraft größer als die vom Mitbewegten gemessene.

Der stationäre Beobachter sieht das elektrische Feld des einen am Ort des anderen

Der stationäre Beobachter sieht auch ein Magnetfeld, das von jedem Elektron aufgrund seiner Bewegung erzeugt wird. Das$B$-Feldstärke des einen am Ort des anderen ist

Wir können die Lorentzkraft mit der relativistischen Korrektur berechnen:

Die Nettokraft im stationären Rahmen ist somit:

Die beiden Teilchen bewegen sich in beiden mit der gleichen Geschwindigkeit voneinander weg. Sie können also keine absolute Bewegung unterscheiden, indem Sie die Geschwindigkeit der Trennung zweier Ladungen beobachten.