Wie beweisen wir, dass sich das 4-aktuelle jμjμj^\mu wie xμxμx^\mu unter der Lorentz-Transformation transformiert?

$\color{blue}{\textbf{ANSWER B}}\:$ (basierend auf der Kovarianz von Mawxell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen)

Seien die Größen

$$\begin{equation} \mathbf{E}=\left(E_x,E_y,E_z\right), \quad \mathbf{B}=\left(B_x,B_y,B_z\right), \quad \mathbf{j}=\left(j_x,j_y,j_z\right), \quad \rho \nonumber \end{equation}$$ Erfüllung der Maxwell-Gleichungen im leeren Raum in einem Inertialsystem $\:\mathrm S$: $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ Wenden wir die 1+1-dimensionale Lorentz-Transformation an: $$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ für die Konfiguration der Systeme $\:\mathrm S\:$ und $\:\mathrm S'\:$wie in Bild-01, dann die folgenden definierten gestrichenen Größen $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c}\\ B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c}\\ j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c}\\ \rho' & = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{align}$$ erfüllen die gestrichenen Maxwell-Gleichungen im System $\:\mathrm S'\:$ $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} & = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} & = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} & = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} & = 0 \tag{13} \end{align}$$ Vergleichen wir die Gleichungen (24),(18) mit (02), so schließen wir, dass der Ladungsstromdichtevektor $\:\mathbf{J}=\left(c\rho,\mathbf{j}\right)\:$ wird als Raum-Zeit-Positionsvektor transformiert $\:\mathbf{X}=\left(ct,\mathbf{x}\right)$.

So $\:\mathbf{J}\:$ ist ein 4-Vektor.

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Unter der Annahme der Kovarianz der Maxwell-Gleichungen können wir also beweisen, dass die Ladungs-4-Stromdichte ein Lorentz-4-Vektor ist, und basierend darauf beweisen wir die Ladungsinvarianz, siehe eine verwandte Antwort von mir hier: Warum Ladung Lorentz-invariant, aber relativistisch ist Masse nicht?

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Erhältlich in $\LaTeX$ die 3+1-dimensionale Version dieser Antwort.

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^{Nachweisen :}

^{Die Maxwell-Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes im leeren Raum lauten}

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ wo $\: \mathbf{E} =$ Vektor der elektrischen Feldstärke, $\:\mathbf{B}=$ magnetischer Flussdichtevektor, $\:\rho=$ elektrische Ladungsdichte, $\:\mathbf{j} =$elektrischer Stromdichtevektor. Alle Größen sind Funktionen der drei Raumkoordinaten $\:\left( x,y,z\right)\:$ und Zeit $\:t$.

^{Wir wenden auf sie die folgende Lorentz-Transformation an und müssen die neuen Variablen definieren $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'},\rho'\:$damit die Form der Gleichungen (01) im neuen Bezugssystem unverändert (Kovariante) bleibt. Aus der Definition des neuen aktuellen 4-Vektors werden wir beweisen, dass es sich um einen Lorentz-4-Vektor handelt. Lassen Sie also die übliche Konfiguration von zwei Systemen$\:\mathrm S,\mathrm S'\:$ letztere bewegen sich relativ zu ersteren mit Geschwindigkeit $\:\upsilon \in (-c,c)\:$ entlang der gemeinsamen Achse $\:x$, siehe Abbildung-01.
Die Gleichungen der Lorentz-Transformation lauten}

$$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ ^{Nun müssen wir die partiellen Ableitungen nach den Raum-Zeit-Variablen ausdrücken $\:(x,y,z,t)\:$ hinsichtlich der partiellen Ableitungen nach den Raum-Zeit-Variablen $\:(x',y',z',t')$. Aus (02) $$\begin{align} \dfrac{\partial \hphantom{x}}{\partial x} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial x\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial x\hphantom{'}}=\gamma\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03a}\\ \dfrac{\partial \hphantom{y}}{\partial y} & = \dfrac{\partial \hphantom{y'}}{\partial y'} \tag{03b}\\ \dfrac{\partial \hphantom{z}}{\partial z} & = \dfrac{\partial \hphantom{z'}}{\partial z'} \tag{03c}\\ \dfrac{\partial \hphantom{t}}{\partial t} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial t\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial t\hphantom{'}}=\boldsymbol{-}\gamma\upsilon\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03d} \end{align}$$ Ausgehend von der Maxwell-Gleichung (01a) gilt $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{04} \end{equation}$$ und unter Verwendung der partiellen Ableitungsbeziehungen (03) $$\begin{align} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} &=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05a}\\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05b}\\ \gamma\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05c} \end{align}$$ Mit Maxwell-Gleichung (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z}=\mu_{0}j_{x} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x}=\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y}=\mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{06} \end{equation}$$ und so $$\begin{align} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z'} &=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07a}\\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'} & = \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07b}\\ \gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y'}&=\mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07c} \end{align}$$ Weiter mit (01c) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} \tag{08} \end{equation}$$ und schließlich mit (01d) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} =0 \Longrightarrow \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z}&=0\Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z} & =0 \Longrightarrow \nonumber \end{align}$$ das ist $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} \tag{09} \end{equation}$$ Unter Verwendung der acht (8) Skalargleichungen (05), (07), (08) und (09) müssen wir nun versuchen, die 10 skalaren gestrichenen Größen zu definieren - die Komponenten von $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$ und der Skalar $\:\rho'\:$- in Bezug auf die ungestrichenen so, dass sich die gestrichenen Maxwell-Gleichungen ergeben. Beginnen wir mit Gleichung (08). Dies ist ein Kandidat für die Maxwell-Gleichung $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10} \end{equation}$$ Das Problem ist, dass Gleichung (10) partielle Ableitungen nach hat $\:(x',y',z')\:$ aber nicht in Bezug auf $\:t'\:$wie (08). Aber wir sehen, dass diese partielle Ableitung nach$\:t'\:$ in der rhs von (08) könnte durch partielle Ableitungen nach ausgedrückt werden $\:(x',y',z')\:$aus Gleichung (07a). Genauer ab (07a) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} =\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \tag{11} \end{equation}$$ Setzt man diesen Ausdruck in (08) ein, so erhält man $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \nonumber \end{equation}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z})\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B_{y})\right]}{\partial z'} = \frac{\gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr)}{\epsilon_{0}} \tag{12} \end{equation}$$ Fahren Sie mit (09) fort. Dies ist ein Kandidat für die Maxwell-Gleichung $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} =0 \tag{13} \end{equation}$$ Ab (05a) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \tag{14} \end{equation}$$ Setzt man diesen Ausdruck in (09) ein, so erhält man $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \nonumber \end{equation}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr)\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr)\right]}{\partial z'} = 0 \tag{15} \end{equation}$$ Aus den Gleichungen (12) und (15) scheint es bisher eine gute Wahl zu sein, sieben (7) skalare gestrichene Größen zu definieren - die Komponenten von $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$ und der Skalar $\:\rho'\:$- bezüglich der ungestrichenen wie folgt $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c} \end{align}$$ $$\begin{align} B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c} \end{align}$$ und $$\begin{equation} \rho' = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{equation}$$ Es bleibt übrig, die restlichen drei (3) skalaren gestrichenen Größen zu definieren - die Komponenten von $\:\mathbf{j'}$- und zu prüfen, ob alle diese definierten gestrichenen Größen konsistent sind, um die Gleichungen (05) und (07) in die gestrichenen Versionen der Maxwell-Gleichungen (01a) bzw. (01b) umzuwandeln. Wenn wir uns die sechs (6) Skalargleichungen (16),(17) als ein lineares System mit 6 "Unbekannten" vorstellen, sind die ungestrichenen Größen$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$dann haben wir nach ihnen auflösen $$\begin{align} E_{x} & = E'_{x} \tag{19a}\\ E_{y} & = \gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right) \tag{19b}\\ E_{z} & = \gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right) \tag{19c} \end{align}$$ $$\begin{align} B_{x} & = B'_{x} \tag{20a}\\ B_{y} & = \gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr) \tag{20b}\\ B_{z} & = \gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr) \tag{20c} \end{align}$$ Ersetzen sie in (05a) haben wir $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial z'} =\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial t'} \quad \stackrel{(15) ,(17)}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \upsilon\underbrace{\left(\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial z'}\right)}_{0} \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \tag{21a} \end{equation}$$ Wir ersetzen sie in (05b) und haben $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'} \quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'}=\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'} \tag{21b} \end{equation}$$ und schließlich ersetzen in (05c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'}=\boldsymbol{-} \gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \tag{21c} \end{equation}$$ Die Gleichungen (21a), (21b) und (21c) sind ein Beweis dafür, dass die gestrichenen Vektoren $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$definiert durch (16), (17) erfüllen die gestrichene Version der Maxwell-Gleichung (01a) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22} \end{equation}$$ Wir fahren nun mit Gleichung (01b) fort. Ersetzen in (07a) die ungestrichenen Größen$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$ nach ihren Ausdrücken (19),(20) haben wir $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial z'} = \nonumber\\ &\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ & \gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}} \underbrace{\left(\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial z'}\right)}_{(18) :\: \tfrac{\rho'}{\epsilon_{0}} \stackrel{(18)}{=\!=} \tfrac{\gamma}{\epsilon_{0}}\bigl(\rho \boldsymbol{-}\tfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\bigr)} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon}{\epsilon_{0}c^{2}} \Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad \stackrel{\epsilon_{0}c^{2}=\mu_{0}^{-1}}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon^{2}}{c^{2}}\right)j_{x}\boldsymbol{-}\mu_{0}\gamma^{2} \upsilon \rho \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}=\mu_{0}\bigl[\gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \bigr]\boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'} \tag{23a} \end{equation}$$ Ersetzen in (07b) $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'} = \vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber\\ & \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial x'}= \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z'}}{\partial x'} =\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \tag{23b} \end{equation}$$ Ersetzen in (07c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ & \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'}= \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ also $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'} = \mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \tag{23c} \end{equation}$$ Außerhalb der Definitionen (16),(17) und (18) definieren wir auch $$\begin{align} j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c} \end{align}$$ dann sind die Gleichungen (23a), (23b) und (23c) ein Beweis dafür, dass die gestrichenen Vektoren $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$definiert durch (16), (17) und (24) erfüllen die gestrichene Version der Maxwell-Gleichung (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25} \end{equation}$$}

$\color{blue}{\textbf{ANSWER A}}\:$ (basierend auf Ladungsinvarianz, Absatz aus Landau)

Die Antwort wird in ACuriousMinds Kommentar gegeben, wie auch von WetSavannaAnimal alias Rod Vance hervorgehoben wurde. Ich gebe einfach die Details aus "The Classical Theory of Fields" , LDLandau und EMLifshitz, Fourth Revised English Edition:

$\boldsymbol{\S}\: \textbf{28. The four-dimensional current vector}$

Anstatt Ladungen als Punkte zu behandeln, betrachten wir sie aus mathematischen Gründen häufig als kontinuierlich im Raum verteilt. Dann können wir die "Ladungsdichte" einführen$\:\varrho\:$ so dass $\:\varrho dV\:$ ist die im Volumen enthaltene Ladung $\: dV$. Die Dichte$\:\varrho\:$ist im Allgemeinen eine Funktion der Koordinaten und der Zeit. Das Integral von$\:\varrho\:$ über einem bestimmten Volumen ist die in diesem Volumen enthaltene Ladung.......

.......Die Ladung eines Teilchens ist definitionsgemäß eine invariante Größe, dh sie hängt nicht von der Wahl des Bezugssystems ab. Andererseits ist die Dichte$\:\varrho\:$ ist im Allgemeinen keine Invariante – nur das Produkt $\:\varrho dV\:$ ist unveränderlich.

Die Gleichheit multiplizieren $\:de=\varrho dV\:$ auf beiden Seiten mit $\:dx^{i}\:$:

$$\begin{equation} de\,dx^{i}=\varrho dVdx^{i}=\varrho dVdt\dfrac{dx^{i}}{dt} \nonumber \end{equation}$$ Auf der linken Seite steht ein Vier-Vektor (da $\:de\:$ ist ein Skalar und $\:dx^{i}\:$ist ein Vierer-Vektor). Dies bedeutet, dass die rechte Seite ein Vierer-Vektor sein muss. Aber $\: dVdt\:$ist ein Skalar ⁽¹⁾ , und so $\:\varrho dx^{i}/dt\:$ ist ein Vierer-Vektor. Dieser Vektor (wir bezeichnen ihn mit $\:j^{i}$) heißt der aktuelle Vierervektor : $$\begin{equation} j^{i}=\varrho \dfrac{dx^{i}}{dt}. \tag{28.2} \end{equation}$$

Die Raumkomponenten dieses Vektors bilden den Stromdichtevektor ,

$$\begin{equation} \mathbf{j}=\varrho \mathbf{v}, \tag{28.3} \end{equation}$$
wo $\:\mathbf{v}\:$ist die Geschwindigkeit der Ladung an dem gegebenen Punkt. Die Zeitkomponente des Vierervektors (28.2) ist $\:c\varrho$. Also $$\begin{equation} j^{i}=\left(c\varrho ,\mathbf{j}\right) \tag{28.4} \end{equation}$$

---

^{(1) Anmerkung von Frobenius: Es gilt}

$$\begin{equation} dVd(ct)=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{01} \end{equation}$$ Für die Beziehung zwischen den infinitesimalen 4-Volumina im Minkowski-Raum $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{4}} \end{vmatrix} dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{02} \end{equation}$$ wo $\:\left\vert\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)/\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)\right\vert\:$die Jacobi-Matrix, die Determinante der Jacobi-Matrix ist. Aber die Jacobi-Matrix ist die Lorentz-Matrix $\:\Lambda\:$ mit $\:\det(\Lambda)=+1$, das ist $$\begin{equation} \left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert=\det(\Lambda)=+1 \tag{03} \end{equation}$$ so $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\text{scalar invariant} \tag{04} \end{equation}$$

Ich denke, der Ausgangspunkt ist zu sehen, wie $j^\mu$ist definiert. In Abwesenheit von Ladungen ist die EM-Wirkung gegeben durch

$$S= \int d^4 x F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

wobei $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$was von der Eichinvarianz herrührt. Die Bewegungsgleichung lautet

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} =0$$

und das Einführen von Ladungen bedeutet, dass aufgrund der Lorentz-Kovarianz die einzige Möglichkeit ist

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} = j^\nu$$

Dann alles explizit in Bezug auf elektromagnetische Felder, Ladungen und Ströme zu schreiben, würde die gewünschte Beziehung ergeben. Ich denke, eine Mehrdeutigkeit wäre in $A_\mu = ( \pm \Phi,\vec A)$und es müsste eine Wahl getroffen werden und da der Lagrange-Operator $A_\mu j^\mu$. Hier müsste man sich auf eine physikalische Idee wie das oben erwähnte Prahar berufen.

Ladungsdichte $\rho$und Stromdichte $\mathbf j$gehorchen den Maxwell-Gleichungen in allen Inertialsystemen. Dies bedeutet, dass das 4-Tupel der Stromdichte in jedem Inertialsystem der gleichen Beziehung gehorcht; im Originalrahmen gilt

$$(c\rho,\mathbf j) = (c\epsilon_0\nabla\cdot \mathbf E,\nabla\times\mathbf B/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t \mathbf E).$$ und im gestrichenen Rahmen, der sich in Bezug auf den ersten Rahmen bewegt, gilt $$(c\rho',\mathbf j') = (c\epsilon_0\nabla'\cdot \mathbf E',\nabla'\times\mathbf B'/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t' \mathbf E').$$

Wir können Felder E ′ , B ′ ausdrücken$\mathbf E',\mathbf B'$Operationen $\partial_t',\nabla'$auf der rechten Seite mit $\mathbf E,\mathbf B$und Operationen $\partial_t,\nabla$, unter Verwendung der Transformationsformeln für die Felder $\mathbf E,\mathbf B$ in der relativistischen Theorie$^*$. Wenn dies geschehen ist, kann gefolgert werden, dass sich das 4-Tupel als Vierer-Vektor transformiert. Diese Beweismethode ist mühsam, aber durchaus überzeugend.

$^*$Diese folgen aus der allgemeinen relativistischen Transformation der 3-Kraft in der relativistischen Mechanik; siehe Frobenius' Antwort, Formel 11, hier:

https://physics.stackexchange.com/a/411129/31895

oder das Papier https://arxiv.org/abs/physics/0507099 . Angewandt auf die Lorentz-Formel, die das elektrische und magnetische Feld in jedem Inertialsystem definiert:

$$\mathbf F =q\mathbf E + q\mathbf v\times\mathbf B.$$ wir können Transformationsformeln für die Felder ableiten.

Einfacher (aber weniger überzeugender) Weg, j . zu beweisen$j$ist ein Vierervektor: Die Maxwell-Gleichungen implizieren

$$j^\mu = \partial_\nu F^{\nu\mu}.$$ Weil $F^{\nu\mu}$ ist ein Vier-Tensor $^{**}$, der Ausdruck $\partial_\nu F^{\nu\mu}$ definiert einen Vierer-Tensor.

$^{**}$Dies folgt aus der Definition von $F$-- antisymmetrischer Tensor, dessen Komponenten aus Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes gebildet werden -- und die Transformationsformeln für diese oben genannten Felder. Wenn wir alternativ annehmen, dass es für jedes System und jede Vierergeschwindigkeit q F ν μ u μ = m . eine universelle Bewegungsgleichung eines Testteilchens im EM-Feld gibt

$$qF^{\nu\mu}u_\mu = m\,du^\nu/d\tau$$ es scheint, dass $F$muss ein Vier-Tensor sein. Alle anderen als - $F$Größen transformieren sich als Vier-Tensoren ( $q,m,\tau$sind invariant, $u$ist per Definition ein 4-Vektor), also $F^{\nu\mu}u_\mu$ist ein Vier-Tensor. Dann ist es plausibel, dass $F$ in diesem Ausdruck ist auch ein Vierer-Tensor (das ist der problematische Teil - wie kann man sicherstellen, dass F hier ein Tensor sein muss?).

Anstatt sich von den Feldern zu nähern ( $F^{\mu\nu}$, $A^\mu$, etc.), kann ein direkterer Ansatz, ausgehend von der Materie, vorgeschlagen werden.

Tatsächlich ist die Ladungsdichte $\rho (t, x^i )$und die Stromdichte $J^i (t, x^i )$für eine Punktgebühr $q$eine Ladung, die sich mit der Geschwindigkeit V i ( t ) = d . bewegt$V^i (t) = \frac{d}{dt} w^i (t)$ ist

$$\rho (t, x^i) = q \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$ $$J^i (t,x^i) = q V^i (t) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$

und wir können diese kombinieren und schreiben als

$$J^\mu (t, x^i) = q \left( 1, V^i (t) \right) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t)),$$

wobei $\mu = 0, \ 1, \ 2, \ 3$und $i = 1, \ 2,\ 3$.

Beachten Sie nun, dass, wenn wir die Raum-Zeit-Position des Teilchens um die Eigenzeit ( $t = t(\tau) := w^0 (\tau)$und $w^i = w^i(\tau)$),

$$J^\mu (x^\mu) = q \int d \tau \ u^\mu (\tau) \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) \cdots (\ast)$$

$$\left( \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) = \delta(t - w^0(\tau) ) \delta^{(3)}(x^i - w^i(\tau)) \right),$$

wo $\tau$und $u^\mu = \frac{d}{d\tau} w^\mu = \frac{dt}{d\tau} ( 1, V^i )$ sind die Eigenzeit und die 4-Geschwindigkeit der Punktladung.

(Diese Gleichung wird nicht nur in Relativitätstexten eingeführt, sondern auch in Büchern über Elektromagnetismus (z. B. Jackson Ch.12).)

Bitte beachten Sie, dass wir aus diesem Ausdruck offensichtlich sehen können, dass $J^\mu$verwandelt sich wie $u^\mu$was eine kontravariante Größe ist ( $u^\mu = dx^\mu/d\tau$und $dx^\mu$ist per Definition kontravariant und $d\tau$ist Lorentz-invariant). Dies kann die Antwort auf Ihre Frage sein. Physikalisch (oder geometrisch), Gleichung $(\ast)$liefert ein Bild von "der Verteilung von Ladung und Strom für ein geladenes Teilchen als eine Überlagerung von Ladungen, die vorübergehend aufblitzen und dann wieder verschwinden." (Misner, Thorne, Wheeler: 120-121) 4-Strom ist nur ein Fluss der "elektromagnetischen Existenz", daher ist es plausibel, dass $J^\mu$folgt den Transformationseigenschaften von $u^\mu$.

Bei stetigen Verteilungen lassen wir einfach das Integral und die Deltafunktion in Gleichung $(\ast)$ und "kontinuierlich-ize":

$$J^\mu = \varrho u^\mu ,$$

wo $\varrho$ist die Lorentz-invariante Ladungsdichte ("kontinuierlich $q$") - die Ladungsdichte gesehen wie im (momentan mitbewegten) Ruhesystem.

Offensichtlich ist $J^\mu$ist nur ein Vielfaches von $u^\mu$, die eine kontravariante Größe ist. Somit ist $J^\mu$ist kontravariant, dh "transformiert sich wie $dx^\mu$ unter Lorentz-Transformation."

Sie können die Ladungserhaltung als Ausgangspunkt nehmen. Dies kann geschrieben werden als:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \partial_{i} j^i = \nabla\cdot \vec{J}$$

Da dies eine experimentelle Tatsache ist, ist dies ein guter Ausgangspunkt. Die obige Gleichung kann nun in eine "mehr" kovariante Formulierung umgeschrieben werden als:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

Aus dieser Gleichung kann man eindeutig ableiten, dass $j^\mu$muss sich wie x μ . transformieren$x^\mu$.