Definition von Vektorkreuzprodukt

Question

Definition von Vektorkreuzprodukt

Philipp Holz

Ich hoffe, ich liege richtig, wenn ich sage, dass das Kreuzprodukt, $\vec{A}\times \vec{B}$ von zwei Vektoren wird durch eine Rechte-Hand-Regel definiert (z. B. wenn $\vec{A}$ Punkte entlang des Zeigefingers und $\vec{B}$ entlang des zweiten Fingers, dann $\vec{A} \times\vec{B}$ Punkte entlang des Daumens), wenn Sie ein rechtshändiges Koordinatensystem verwenden, aber durch eine linke Handregel, wenn Sie ein linkshändiges Koordinatensystem verwenden.

Was motiviert diesen Unterschied in den Regeln? Ich verstehe das Konzept von rechts- und linkshändigen Koordinatensystemen, aber ich verstehe nicht, warum unsere Definition des Kreuzprodukts selbst vom Koordinatensystem abhängen sollte. Was wäre falsch daran, das Kreuzprodukt weiterhin mit einer Regel für die rechte Hand zu definieren, während ein Koordinatensystem für die linke Hand verwendet wird, und zu akzeptieren, dass seine Komponenten in einem anderen Koordinatensystem unterschiedliche Vorzeichen haben? [Ich verwende das Kreuzprodukt als Beispiel für einen axialen Vektor.]

Noch ein Versuch, meine Schwierigkeit zu erklären (geistige Blockade?) Nehmen Sie die magnetische Lorentz-Kraft, $\vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B}$ . Was hat die Richtung von $\vec{F}$ mit Koordinatensystemen zu tun? Ist es nicht fest relativ zu $\vec{v}$ Und $\vec{B}$ durch eine Rechte-Hand-Regel (und verschiedene andere Konventionen)?

Dirakologie

In einer linken Koordinate haben wir

\hat{i} \times \hat{j} = - \hat{k}

$\hat i\times\hat j=-\hat k$ . Sie werden das nicht erreichen, indem Sie die Rechte-Hand-Regel anwenden. Du brauchst die linke Handregel.

Zhengqun Koo

Warum sich die Sache mit widersprüchlichen Handregeln und Koordinatensystemen erschweren, wo man sich um die Vorzeichen kümmern muss? Es ist viel einfacher, die Dinge einfach zu halten. Ich bin mir nicht sicher, ob es dafür eine tiefere Erklärung gibt.

Philipp Holz

@Koo Zhengqun Es scheint mir komplizierter zu sein, ein Kreuzprodukt je nach Koordinatensystem unterschiedlich zu definieren. Ich habe mir einen Vektor immer als unabhängig vom Koordinatensystem vorgestellt. Ich nehme an, ich übersehe etwas Offensichtliches.

ehrliche_vivere

Das Kreuzprodukt ist abhängig von dem Vektorfeld/Raum, in dem es definiert ist. Sie können nicht unterschiedliche Regeln auf das eine anwenden und auf das andere nicht.

Zhengqun Koo

Es gibt eine andere Beziehung zwischen den Begriffen. Das Koordinatensystem und das Kreuzprodukt sind eng miteinander verwandt, da Sie das Kreuzprodukt als Koordinatensystem oder umgekehrt das Koordinatensystem als Kreuzprodukt beschreiben können. Sie können Vektoren auch verwenden, um Kreuzprodukte zu beschreiben, aber Sie können Vektoren auch verwenden, um viele andere Dinge zu beschreiben. Andererseits können Sie Kreuzprodukte nicht wirklich verwenden, um Vektoren zu beschreiben.

Nosrati

Rechtshänder und Linkshänder sind konventionell, aber wirklich nach mathematischen Formeln.

Philipp Holz

Danke für den Versuch zu helfen, alle. Ich habe der Anfangsfrage einen weiteren kurzen Absatz hinzugefügt, um meine Schwierigkeiten zu erklären, aber ich gehe davon aus, dass ich ein hoffnungsloser Fall bin.

Philipp Holz

@Diracology "In einer Koordinate für die linke Hand haben wir î ×ĵ = −k̂ . Sie erhalten dies nicht, indem Sie die Regel für die rechte Hand verwenden. Sie benötigen die Regel für die linke Hand." Aber ich

d i d

$did$ erhalten Sie es einfach mit der rechten Handregel: Drehen Sie den Zeigefinger der linken Hand (

\vec{i})

$\vec{i})$ ) in den zweiten Finger der linken Hand (

\vec{j})

$\vec{j})$ ) Eine Schraube für Rechtshänder bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung wie der Daumen der linken Hand zeigt.

hyportnex

die Richtung von

F

$\textbf{F}$ und von

v

$\textbf{v}$ vom Koordinatensystem unabhängig sind, handelt es sich um Vektoren. Aber

B

$\textbf{B}$ ist kein Vektor (es ist ein Pseudovektor) und die Produktoperation

\times

$\times$ ist so definiert, dass man einen Vektor erhält, wenn man einen Vektor mit einem Pseudovektor kombiniert, daher die Schwimmregeln.

Philipp Holz

Mal sehen, ob ich es verstanden habe...

Philipp Holz

Wenn es da draußen noch geduldige Leute gibt, lass mich sehen, ob ich es verstanden habe … Ist es so, dass (1) der erste Kommentar oben (von Diracology) falsch ist, und dass sogar in einem linkshändigen System,

\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}

$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ und dass (2) in einem linkshändigen System die magnetische Lorentzkraft ist

\vec{F} = - q \vec{v} \times \vec{B}

$\vec{F} =-q \vec{v} \times \vec{B}$ . Wenn ja, denke ich, dass ich es verstehe.

Antworten (1)

Definition von Vektorkreuzprodukt

In einer linken Koordinate haben wir $\hat i\times\hat j=-\hat k$ . Sie werden das nicht erreichen, indem Sie die Rechte-Hand-Regel anwenden. Du brauchst die linke Handregel.
Warum sich die Sache mit widersprüchlichen Handregeln und Koordinatensystemen erschweren, wo man sich um die Vorzeichen kümmern muss? Es ist viel einfacher, die Dinge einfach zu halten. Ich bin mir nicht sicher, ob es dafür eine tiefere Erklärung gibt.
@Koo Zhengqun Es scheint mir komplizierter zu sein, ein Kreuzprodukt je nach Koordinatensystem unterschiedlich zu definieren. Ich habe mir einen Vektor immer als unabhängig vom Koordinatensystem vorgestellt. Ich nehme an, ich übersehe etwas Offensichtliches.
Das Kreuzprodukt ist abhängig von dem Vektorfeld/Raum, in dem es definiert ist. Sie können nicht unterschiedliche Regeln auf das eine anwenden und auf das andere nicht.
Es gibt eine andere Beziehung zwischen den Begriffen. Das Koordinatensystem und das Kreuzprodukt sind eng miteinander verwandt, da Sie das Kreuzprodukt als Koordinatensystem oder umgekehrt das Koordinatensystem als Kreuzprodukt beschreiben können. Sie können Vektoren auch verwenden, um Kreuzprodukte zu beschreiben, aber Sie können Vektoren auch verwenden, um viele andere Dinge zu beschreiben. Andererseits können Sie Kreuzprodukte nicht wirklich verwenden, um Vektoren zu beschreiben.
Rechtshänder und Linkshänder sind konventionell, aber wirklich nach mathematischen Formeln.
Danke für den Versuch zu helfen, alle. Ich habe der Anfangsfrage einen weiteren kurzen Absatz hinzugefügt, um meine Schwierigkeiten zu erklären, aber ich gehe davon aus, dass ich ein hoffnungsloser Fall bin.
@Diracology "In einer Koordinate für die linke Hand haben wir î ×ĵ = −k̂ . Sie erhalten dies nicht, indem Sie die Regel für die rechte Hand verwenden. Sie benötigen die Regel für die linke Hand." Aber ich $did$ erhalten Sie es einfach mit der rechten Handregel: Drehen Sie den Zeigefinger der linken Hand ( $\vec{i})$ ) in den zweiten Finger der linken Hand ( $\vec{j})$ ) Eine Schraube für Rechtshänder bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung wie der Daumen der linken Hand zeigt.
die Richtung von $\textbf{F}$ und von $\textbf{v}$ vom Koordinatensystem unabhängig sind, handelt es sich um Vektoren. Aber $\textbf{B}$ ist kein Vektor (es ist ein Pseudovektor) und die Produktoperation $\times$ ist so definiert, dass man einen Vektor erhält, wenn man einen Vektor mit einem Pseudovektor kombiniert, daher die Schwimmregeln.
Wenn es da draußen noch geduldige Leute gibt, lass mich sehen, ob ich es verstanden habe … Ist es so, dass (1) der erste Kommentar oben (von Diracology) falsch ist, und dass sogar in einem linkshändigen System, $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ und dass (2) in einem linkshändigen System die magnetische Lorentzkraft ist $\vec{F} =-q \vec{v} \times \vec{B}$ . Wenn ja, denke ich, dass ich es verstehe.

Parker · Answer 1

Irgendwie läuft Ihre Frage nur auf Konventionen hinaus: Es gibt mehrere Sätze von Zeichenkonventionen, die alle die richtigen Antworten geben, also müssen Sie nur eine finden, die Sie konzeptionell zufriedenstellend finden, und sich daran halten.

Es könnte hilfreich sein, darauf hinzuweisen, dass Sie immer nur polare Vektoren direkt messen können. Axiale Vektoren können nur als mathematische Abstraktionen betrachtet werden, die nur als Zwischenschritte in einem physikalischen Prozess auftreten. Zum Beispiel haben Sie mit dem Lorentzkraftgesetz Recht ${\bf F} = q{\bf v} \times {\bf B}$ , ist die Kraft eine physikalische Größe, deren Richtung bei Koordinatentransformationen das Vorzeichen nicht wechseln soll. Denken Sie jedoch daran, dass das Magnetfeld selbst physikalisch durch das Biot-Savart-Gesetz bestimmt wird (in der magnetostatischen Näherung; im dynamischen Fall wird es komplizierter, aber die Eigenschaften der Paritätstransformation ändern sich nicht):

B (X) = \int D^{3} X^{'} \frac{J (X^{'}) \times \hat{R}}{R^{2}},

${\bf B}({\bf x}) = \int d^3x'\ \frac{{\bf J({\bf x}')} \times \hat{\bf r}}{r^2},$ Wo

r := x - x^{'}

${\bf r} := {\bf x} - {\bf x}'$ . Daher ist das Magnetfeld ein axialer Vektor und kann nicht direkt gemessen werden; Sie können ihre Wirkung immer nur beobachten, indem Sie ein anderes Kreuzprodukt nehmen, um eine Kraft über das Lorentz-Kraftgesetz zu erhalten.

Die Pointe ist, dass Sie jeden physikalisch messbaren Vektor immer so erweitern können, dass er durch eine gerade Anzahl von Kreuzprodukten bestimmt wird. Beispielsweise können Sie die magnetische Kraft auf ein Teilchen schreiben als

F (X) = Q v \times \int D^{3} X^{'} \frac{J (X^{'}) \times \hat{R}}{R^{2}} .

${\bf F}({\bf x}) = q{\bf v} \times \int d^3x'\ \frac{{\bf J({\bf x}')} \times \hat{\bf r}}{r^2}.$

Es gibt also zwei verschiedene, aber physikalisch äquivalente Möglichkeiten, eine Änderung der Händigkeit Ihres Koordinatensystems zu konzipieren. Sie können sich vorstellen, dass alle "rechtshändigen" Kreuzprodukte zu "linkshändigen" Kreuzprodukten werden. In diesem Fall ändern alle axialen Vektoren (wie das Magnetfeld) physikalisch die Richtung - aber da sie nicht physikalisch gemessen werden können, hat dies der Fall keine Auswirkungen auf beobachtbare Physik. Oder Sie können sich Kreuzprodukte, wie Sie es bevorzugen, als "physisch" durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt vorstellen, in diesem Fall ändern sie nicht die Richtung, weil sie sich nicht um Ihre Wahl der Koordinaten kümmern. In diesem Rahmen wechselt das Magnetfeld bei einer Koordinatenumkehrung nicht die Richtung. Beide Konzeptualisierungen führen zu identischer beobachtbarer Physik: Da jeder direkt beobachtbare Vektor aus einer geraden Anzahl von Kreuzprodukten besteht, nimmt er entweder kein Minuszeichen oder eine gerade Anzahl von Minuszeichen unter einer Koordinateninversion auf. In jedem Fall bleibt seine Richtung unverändert.

Vielen Dank für diese Antwort. Eine Wahl der Standpunkte zuzulassen, scheint mir der richtige Weg zu sein. Ich wusste, dass meine Schwierigkeiten mehr mit Sprache und Konventionen zu tun hatten als mit Physik oder gar Mathematik. Aber viele elementare Darstellungen zu diesem Thema sind dogmatisch und für mich verwirrend.

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Philipp Holz

Dirakologie

Zhengqun Koo

Philipp Holz

ehrliche_vivere

Zhengqun Koo

Nosrati

Philipp Holz

Philipp Holz

hyportnex

Philipp Holz

Philipp Holz

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Parker

Philipp Holz

Ist es seltsam, dass es zwei Richtungen gibt, die sowohl zum Feld als auch zum Strom senkrecht sind, die Lorentzkraft jedoch nur entlang einer von ihnen zeigt?

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