Sind Vektoren wirklich unabhängig von Koordinatensystemen?

Mir wurde gesagt, ich solle mir Vektoren als unabhängig von einem Koordinatensystem vorstellen.

Ja. Denn Vektoren repräsentieren physikalische Tatsachen. Das Ding liegt auf halbem Weg zwischen diesen beiden Dingen. Dieses andere Objekt bewegt sich direkt auf Toledo zu. Usw.

Aber nicht Dinge wie "seine x-Koordinate ist +7 Meter", was nicht nur eine Tatsache über das Ding ist, sondern eine, die die Wahl des Ursprungs und der Ausrichtung der Achsen in die Beschreibung verwickelt. Es besteht kein Grund zu der Annahme, dass eine vom Ursprung abhängige Tatsache vom Ursprung unabhängig ist. Auch kein Grund, a priori zu erwarten, dass eine Tatsache, die von der Ausrichtung der Achsen abhängt, von diesen Ausrichtungen unabhängig ist.

Was uns zu Folgendem führt:

Das bedeutet, dass die Größe eines Vektors unabhängig von jedem Koordinatensystem sein sollte, das wir wählen.

Nein. Die durch den Vektor dargestellte physikalische Tatsache bleibt dieselbe, aber die numerischen Werte, die oben verwendet werden, um diese Tatsache darzustellen, hängen davon ab, wie Sie sie messen möchten (und „eine Vereinbarung darüber, wie Positionen zu messen sind“ ist eine vernünftige Definition eines Koordinatensystems). .

Nun gibt es Zahlenangaben über Größen, die unabhängig von bestimmten Transformationen von Koordinatensystemen sind. Die Größe kartesischer Vektoren ist bei Drehungen des Koordinatensystems unveränderlich. Die Größe der Lorentz-Vektoren ist unabhängig von diesen Rotationen und von Boosts. Usw. Aber die hier zitierte Aussage verallgemeinert das.

Wie ist es möglich, einen Vektor zu haben, der in einem anderen Koordinatensystem eine andere Größe hat?

Wenn Positionen als Vektorpositionen behandelt werden (was oft in Einführungskursen gemacht wird), sind sie Verschiebungen vom Ursprung. Aber das macht deutlich, dass das Ändern des Ursprungs den von Ihnen verwendeten Vektor ändert. Eine Galileische Transformation ist eine, die einen sich kontinuierlich ändernden Ursprung darstellt, sodass Positionen und ihre Ableitungen bei solchen Transformationen möglicherweise nicht unveränderlich sind.

Ein Koordinatensystem ist nicht dasselbe wie ein Bezugsrahmen.

Ein Bezugsrahmen ist im Grunde ein Körper, der als unbeweglich betrachtet wird, also ein Punkt und drei Achsen.

Ein Koordinatensystem basiert auf einem Rahmen und wird verwendet, um die Position eines Punktes zu bestimmen.

Wie Steeve erklärte, sobald ein Rahmen ausgewählt ist,

Die Wahl einer anderen Referenz zur Beschreibung von Objekten in diesem Raum ändert keine Eigenschaft des Objekts oder des Raums. Es ist vergleichbar damit, aus einer anderen Perspektive zu schauen oder in einer anderen Sprache darüber zu sprechen. Die Größenordnung ist unabhängig davon gleich.

Vektoren sind unabhängig vom Koordinatensystem. Sie hängen jedoch vom Rahmen ab, und die Galileische Transformation ändert den Bezugsrahmen.

Kräfte sind jedoch unabhängig vom Bezugssystem!

Positionen sind keine Vektoren.$x$ist kein Vektor. Es gibt zwei Dinge, die Sie mit Vektoren tun können: sie addieren und skalieren. Es macht keinen Sinn, über die Position von Washington DC plus die Position von New York City oder die Position von Washington DC zu Zeiten zu sprechen$2$. Was wir tun können, ist, willkürlich einen Punkt zu wählen und den Vektor zu betrachten, der durch die Differenz zwischen zwei Punkten entsteht. Der resultierende Vektor hängt jedoch von dem willkürlich gewählten Punkt ab, den wir normalerweise den Ursprung nennen. Jede Transformation, die den Ursprung ändert, ändert den Vektor, der einen Punkt darstellt. Der Punkt ändert sich natürlich nicht. New York City bewegt sich nicht, wenn ich mich entscheide, den Südpol als Ursprung anstelle des Nordpols zu verwenden. Geschwindigkeiten sind bereits Vektoren, da sie (dem Grenzwert) der Differenz zwischen zwei Punkten entsprechen.

Lassen$x$der Punkt sein, an dem wir interessiert sind und$O$sei der willkürlich gewählte Ursprung. Dann gibt es einen Verschiebungsvektor$\mathbf r = x - O$.$x$ist dann$\mathbf r + O$. Wenn wir die Unterscheidung zwischen behalten$x$Und$\mathbf r$es gibt keine Verwirrung.$\mathbf r$ ist unabhängig von der Herkunft. "226 Meilen nordöstlich", wie in "Fahre 226 Meilen nordöstlich", bedeutet dasselbe, egal wo du bist oder wie du den Ursprung nennst. (Zumindest auf einer Ebene. Auf einem Globus sind die Dinge subtiler. Die Oberfläche eines Globus ist kein affiner Raum. Siehe nächster Absatz.)$x$ist auch unabhängig von der Herkunft. Was nicht unveränderlich ist, ist das$-\mathbf r + x$ist das, was wir derzeit "den Ursprung" nennen. Wenn wir den Ursprung ändern zu$O' = \mathbf r' + O$dann haben wir$x = \mathbf r - \mathbf r' + O'$. Wenn wir was wissen wollen$x - O'$bekommen wir$\mathbf r - \mathbf r'$. Eine andere Möglichkeit, dies zu formulieren, ist zu sagen, dass wir eine Funktion haben,$f$, das Punkten "Positions"-Vektoren zuweist. Dies ist (ein Teil) unseres Koordinatensystems. Unsere ursprüngliche Funktion ist$f(y) = y - O$und wir haben$f(x) = \mathbf r$. Das Ändern des Koordinatensystems bedeutet, eine andere Funktion auszuwählen,$g$. Im oben genannten Fall$g(y) = y - O'$. Jetzt$g(x) = \mathbf r - \mathbf r'$. Was sich also ändert, wenn wir das Koordinatensystem ändern, ist nicht der Punkt$x$oder der Vektor$\mathbf r$, sondern die durch die Funktion dargestellte Zuweisung$f$. In diesem Fall können wir die Transformationen von den alten "Positions"-Vektoren zu den neuen "Positions"-Vektoren darstellen, indem wir den Vektor subtrahieren$\mathbf r'$. Kompliziertere Koordinatenänderungen können zu komplizierteren und subtileren Transformationen führen. Zum Beispiel,$f(y) = 1000(y-O)$könnte eine Änderung von Kilometern zu Metern darstellen. Offensichtlich macht dies die Dinge nicht 1000-mal weiter weg. Stattdessen hat diese Koordinatenänderung eine kompensierende Änderung unserer Vorstellung von Länge, nämlich dass 1000 Einheiten im neuen System gleich 1 im alten System sind. Mit anderen Worten, wir haben einen Umrechnungsfaktor$1000\frac{\text{m}}{\text{km}}$, dh ein Vektor mit Magnitude 1000 in unserem neuen System, also 1000m lang, ist dasselbe wie ein Vektor mit Magnitude 1 in unserem alten System, also 1km lang. Wir werden immer solche kompensierenden Änderungen für jede gut erzogene Änderung von Koordinaten haben (technisch Diffeomorphismus genannt). Dies ist nur eine Widerspiegelung der Tatsache, dass die Veränderung, wie wir Teile der Realität benennen, die Realität nicht verändert.

Technisch gesehen wird ein Raum, in dem es eine klar definierte Vorstellung von „Unterschied zwischen zwei Punkten“ gibt, als affiner Raum bezeichnet . Es gibt einen allgemeineren Begriff namens Torsor . Viele Begriffe in der Physik werden genauer als Torsoren/affine Räume betrachtet. Beispielsweise ist eine Orientierung in einer Ebene ein Torsor. Es macht keinen Sinn, Orientierungen zusammenzustellen, aber wir können "Verhältnisse" betrachten, die wir Drehungen nennen, die eine Orientierung in eine andere bringen. Was bedeutet Nordost zusammengesetzt aus Nord? Nichts, das ist Unsinn, aber es ist vollkommen vernünftig, von einer 45°-Drehung zu sprechen, die sich aus einer 90°-Drehung zusammensetzt, die eine 135°-Drehung ergibt.

Unglücklicherweise werden in einem Großteil der physikalischen Literatur – besonders zu Beginn – affine Räume und Vektorräume (und andere Torsoren mit ihren Gruppen) zusammengeführt, was zu dieser Art von Verwirrung und ähnlichen führt. Ich empfehle den Link, den ich zuvor für Torsoren gegeben habe.

Eine Sache, die einige Verwirrung stiften kann, ist, dass es einige Unterschiede zwischen der Art und Weise gibt, wie Physiker über Vektoren und Skalare denken, und der Art, wie Mathematiker über sie denken. Physiker neigen dazu, auf diese Weise darüber nachzudenken:

• Ein 3-Vektor ist ein Vektor, der sich bei einem Basiswechsel wie eine räumliche Verschiebung transformiert.
• Ein 4-Vektor ist ein Vektor, der sich bei einem Basiswechsel wie eine Raumzeitverschiebung transformiert.
• Ein Skalar ist eine Größe, die sich bei einem Basiswechsel überhaupt nicht ändert.

Basierend auf diesen Ideen denke ich, dass es hilfreich ist, die Idee eines „unvollständigen Objekts“ oder IO vorzustellen. Ein IO ist ein mathematisches Objekt, das nicht genügend Informationen enthält, um es zu transformieren. Angenommen, ich besuche Gettysburg und stehe vor der Messingtafel, die den Schauplatz der Schlacht markiert. Ich könnte sagen, dass ich einen Verschiebungsvektor habe$\Delta\textbf{x}=0$zwischen meiner gegenwärtigen Position im Weltraum und der Position, an der die Kämpfe stattfanden. Aber natürlich alles unter der Annahme, dass die Erde ruht. Es gibt sicherlich einen galiläischen Bezugsrahmen, in dem$\Delta\textbf{x}=0$, aber es gibt andere Frames, in denen$\Delta\textbf{x}\ne0$. Das$\Delta\textbf{x}$ist ein IO im Kontext von Galileischen Transformationen. Angenommen, ich sage Ihnen das$\Delta\textbf{x}=0$in einem bestimmten Rahmen und bitten Sie dann, den Wert von zu finden$\Delta\textbf{x}$in einem anderen Rahmen, sagen wir, einem Rahmen, der sich auf Sirius zubewegt$10^5$MS. Dies ist nicht genug Information. Um die Berechnung durchführen zu können, müsste man außerdem die Zeit zwischen der Schlacht von Gettysburg und heute kennen. Damit die Verschiebung kein IO ist, müssten wir sie in einen 4-Vektor ändern.

Das Problem mit Geschwindigkeits-3-Vektoren ist im Grunde dasselbe wie das Problem mit Verschiebungs-3-Vektoren. Ein Geschwindigkeits-3-Vektor ist nur eine Verschiebung geteilt durch eine Zeit, also ist es ein IO unter Galilei-Transformationen. Relativistisch verwenden wir Geschwindigkeits-4-Vektoren (die eine willkürliche Normalisierung haben), und diese 4-Vektoren transformieren sich angemessen unter einer Lorentz-Transformation (obwohl sie sich nicht gemäß der Vektoraddition in der relativen Bewegung kombinieren).

Ein weiteres nettes Beispiel für ein IO hat mit der üblichen Methode zum Kalibrieren des magnetischen Kompasses zu tun, der in einigen tragbaren GPS-Geräten eingebaut ist. Die Anweisungen des Geräts sagen Ihnen, dass Sie es in einer horizontalen Ebene halten und langsam um 360 Grad drehen sollen. Da das Gerät an Rotationsinvarianz glaubt, weiß es wie$B_x$Und$B_y$transformieren soll, und wenn es das findet$\sqrt{B_x^2+B_y^2}$nicht konstant bleibt, kann es sich selbst neu kalibrieren, um die Diskrepanz zu beseitigen. Aber wenn Sie das Gerät später so neigen, dass es nicht in einer horizontalen Ebene liegt, wird es traurig und verwirrt. Das sagt dir das$(B_x,B_y)$ist ein IO, und Sie müssen es erweitern$(B_x,B_y,B_z)$.

Ein weiteres Beispiel für einen IO ist die Ladungsdichte$\rho$. Um es zu einem vollständigen Objekt zu machen, müssen Sie es auf den aktuellen 4-Vektor erweitern$(\rho,\textbf{j})$.

Eine Sache, auf die man bei der Galileischen Relativitätstheorie achten muss, ist, dass es keine Metrik gibt. Es gibt kein einheitliches Messsystem, das sowohl Zeit als auch Raum misst. Obwohl Sie Verschiebungs- und Geschwindigkeitsvektoren in Galileische 4-Vektoren umwandeln können, die eher gottesfürchtige vollständige Objekte als IOs sind, können Sie nicht über die Größe eines Galileischen 4-Vektors sprechen.