Interpretation: Galileische Transformation der Kraftgesetze

so meine Bücher sagt

Die Transformation, die es uns ermöglicht, von einem Trägheitssystem auszugehen$O$mit Koordinaten$x_i$zu einem anderen Inertialsystem$O'$mit Koordinaten$x_i'$ist die Galileische Transformation. Wenn die Relativgeschwindigkeit der beiden Frames gegeben ist$\vec{v}=const$und ihre relativen Orientierungen werden durch drei Winkel angegeben$\alpha, \beta$Und$\gamma$, die neuen Koordinaten beziehen sich auf die alten um$x_i \to > x_i' = \mathbf{R}_{ij} x_j - v_it$, Wo$\mathbf{R}=\mathbf{R}(\alpha, \beta, \gamma)$ist die Rotationsmatrix. In der Newtonschen Physik wird die Zeitkoordinate als absolut angenommen, dh sie ist in jedem Koordinatensystem gleich.

Bei der Galileischen Transformation interessieren uns hauptsächlich Koordinatentransformationen zwischen Inertialsystemen mit gleicher Orientierung,$\mathbf{R}(0,0,0)_{ij}=\delta_{ij}$. Eine solche Transformation wird als (galileischer) Boost bezeichnet:

$$\begin{align} x_i \to x_i' &= x_i - v_it \tag{1.1}\\ t \to t' &= t \tag{1.2} \end{align}$$

und es gibt auch die Geschwindigkeitsadditionsregel an

$u_i \to u_i' = u_i - v_i \tag{2}$

Nun wollte ich folgendes Problem lösen:

Newtonsche Relativitätstheorie: Betrachten Sie einige eindeutige Beispiele der Newtonschen Mechanik, die durch die Galileische Transformation von (1.1, 1.1) und (2) unverändert bleiben:

Zeigen Sie diese Kraft als Produkt aus Beschleunigung und Masse$\vec{F}=m\vec{a}$, sowie ein Kraftgesetz wie das Newtonsche Gravitationsgesetz$\vec{F}=G_n\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}$in jedem Inertialsystem gleich bleiben.

Was ich getan habe, ist

1. $F=ma=m\frac{d^2}{dt^2}x=m\frac{d^2}{dt'^2}(x'+vt)=m\frac{d^2}{dt'^2}x'=ma'$
2. Nun nehme an$v$wirkt nur in x-Richtung. Ich möchte zeigen, dass die$\vec{F}=G_n m_1m_2 \frac{1}{r^2}\hat{r}$ist in jedem Inertialsystem gleich. Also im Grunde möchte ich zeigen$\frac{1}{r^2}\hat{r} = \frac{1}{r'^2}\hat{r'}$bzw.$\frac{\vec{r}}{r^3}=\frac{\vec{r'}}{r'^3}$

$\frac{\vec{r}}{r^3}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{(x'+vt)^2+y'^2+z'^2}^3}\begin{pmatrix} x'+vt \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

Jetzt 1. funktioniert super. Alles scheint in Ordnung zu sein, aber 2. funktioniert nicht und ich verstehe nicht, warum es überhaupt funktionieren sollte.

Jetzt sagt mir 1. im Grunde: Wenn ich zu Hause oder in meinem Auto, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, die Kraft einer Feder messe, bekomme ich das gleiche Ergebnis.

Was sagt mir nun 2.? Ich interpretiere das so: Angenommen, wir haben eine Mini-Erde, die wir mitnehmen können. Wir nehmen es mit auf unser Zimmer. Wir messen die Gravitationskraft, die auf einen Massenpunkt an einem bestimmten Ort wirkt$\vec{x_0}$. Wir bekommen einen gewissen Wert. Wir fahren dann mit unserem Auto wieder mit konstanter Geschwindigkeit herum und messen erneut: Gleiches Ergebnis.

Jetzt denke ich, was ich bei meinem Versuch, 2. zu beweisen, tue, ist, die Erde zu reparieren. Ich lasse es zu Hause, sitze in meinem Auto, fahre herum und versuche, Sachen zu messen.

Ich bin mir aber sehr, sehr unsicher, also habe ich mich für ein einfacheres Beispiel entschieden: Hook's Law.

Wir haben$F_h=-kx$. Man kann es sich leicht vorstellen: Wenn ich meine Feder dafür drücke$x=1m$Ich bekomme eine Art Kraft, die zurückdrängt. Es spielt keine Rolle, ob ich das zu Hause oder im Auto mache, also versuchen wir, das zu zeigen:

$F_h=-kx=-k(x'+vt)\neq F_h' = -kx' \tag{3}$

Also noch einmal, in 3 lassen wir den Frühling im Grunde zu Hause, oder?

Wie zeige ich, dass sich ein Kraftgesetz unter der Galileischen Transformation nicht ändert?