Verwirrung der inversen Lorentz-Transformation

Question

Verwirrung der inversen Lorentz-Transformation

Alex Wang

Diese Frage beschäftigt mich schon sehr lange. Ich hoffe, dass mir das jemand ein für alle Mal erklären kann. Meine Frage ist, wann verwendet man die Lorentz-Transformation und wann verwendet man die inverse Lorentz-Transformation? Kann jemand ein Beispiel dafür geben, wann es richtig ist, das eine zu verwenden und wann es richtig ist, das andere zu verwenden?

Antworten (3)

Verwirrung der inversen Lorentz-Transformation

Quanten-Spaghettifizierung · Answer 1

Nehmen wir an, Sie haben zwei Bezugsrahmen; rahmen $F$ und Rahmen $F'$ so dass $F'$ bewegt sich mit Geschwindigkeit $v$ im Positiven $x$ Richtung von $F$ . Gegeben sei ein Raum-Zeit-Ereignis, das um eintritt $(ct,x,y,z)$ im Rahmen $F$ Die Lorentz-Transformation hilft uns, die Raum-Zeit-Koordinaten zu finden $(ct',x',y',z')$ dieses Ereignisses im Rahmen $F'$ . Wenn Sie jedoch wissen, dass das Ereignis um eintritt $(ct',x',y',z')$ Die inverse Lorentz-Transformation hilft uns, die Raum-Zeit-Koordinaten zu finden $(ct,x,y,z)$ dieses Ereignisses im Rahmen $F$ .

Die Lorentz-Transformation für die $x$ Koordinate ist gegeben durch:

X^{'} = γ (X - v T)

$x'=\gamma (x-vt)$ Alles auf der rechten Seite dieser Gleichung wird im Rahmen gemessen

F

$F$ und alles auf der LHS wird im Rahmen gemessen

F^{'}

$F'$ . Ab dem ersten Postulat der speziellen Relativitätstheorie die Gesetze der Physik im Rahmen

F^{'}

$F'$ müssen mit denen im Rahmen identisch sein

F

$F$ also zu finden

x

$x$ wir können benutzen:

X = γ (X^{'} - v^{'} T^{'})

$x=\gamma(x'-v't')$ Wo

v^{'}

$v'$ ist die Geschwindigkeit des Rahmens

F

$F$ im Rahmen

F^{'}

$F'$ welches ist

- v

$-v$ , daher:

X = γ (X^{'} + v T^{'})

$x=\gamma(x'+vt')$ Dies ist die inverse Lorentz-Transformation, und beachten Sie erneut, dass alles auf der linken Seite im Rahmen gemessen wird

F

$F$ und auf der rechten Seite im Rahmen

F^{'}

$F'$ .

Die Lorentz-Transformation und die inverse Lorentz-Transformation sind also nur zwischen verschiedenen Frames dasselbe. Die Lorentz-Transformation wird verwendet, wenn vom Rahmen ausgegangen wird $F$ Zu $F'$ und die inverse Transformation wird verwendet, wenn von einem Rahmen ausgegangen wird $F'$ einrahmen $F$ .

Wie Sie sagten, sind sie dasselbe. Ich kann mir nicht erklären, warum überhaupt ein solcher Begriff überhaupt geprägt wurde. Irgendwelche Ideen?

Richard · Answer 2

1.0 Einführung.Die Lorentz-Transformation bezieht sich auf zwei Inertialbeobachter. Die primäre Form der Transformation wird im Allgemeinen verwendet, um die Raumzeitkoordinaten des ersten Beobachters eines Ereignisses in die Raumzeitkoordinaten des zweiten Beobachters für dasselbe Ereignis zu transformieren. Die umgekehrte Form der Transformation wird im Allgemeinen in umgekehrter Weise verwendet, um die Raumzeitkoordinaten des zweiten Beobachters eines Ereignisses in die Raumzeitkoordinaten des ersten Beobachters für dasselbe Ereignis zu transformieren. Der Leser sollte jedoch verstehen, dass die primäre und inverse Form der Transformation mathematisch nicht unterscheidbar sind. Um klar zu sein, sie sind mathematisch identisch. Sie drücken einfach die Beziehung der Raumzeitdarstellung des ersten und zweiten Beobachters desselben Ereignisses auf zwei verschiedene Arten aus. Es ist über hundert Jahre her, seit die Transformationen ins Rampenlicht gerückt wurden, und dennoch glauben viele Menschen noch heute, dass es einen grundlegenden Unterschied zwischen der primären und der inversen Form der Transformation gibt. Ich glaube, ich verstehe warum, da ich einer dieser Menschen war. Ich begann mich vor zwei Jahren für Physik zu interessieren, und eines der ersten Dinge, die ich tat, war die Ableitung der primären und inversen Form der Transformation, die unten in den Abschnitten 1 und 2 vorgestellt werden. Die beiden Sätze von Transformationsgleichungen sahen für mich erheblich unterschiedlich aus, und Ich bin fälschlicherweise zu dem Schluss gekommen, dass sie unterschiedlich sind. Aber das sind sie nicht! Sie können das Set verwenden, das Sie verwenden möchten. Sie erhalten die gleiche Antwort mit beiden Sätzen. Der Umfang der beteiligten Mathematik kann jedoch bei Verwendung eines Satzes gegenüber dem anderen Satz unterschiedlich sein. ICH' Ich bin mir ziemlich sicher, dass es einige Mathematik-Gurus gibt, die die Äquivalenz der beiden Formen der Transformation intuitiv begreifen können, aber für den Rest von uns brauchen wir Schritt für Schritt Beweise, um es zu glauben. Ich liefere diesen Beweis in Abschnitt 4. Ich leite die abINVERSE Form der Transformation aus der PRIMARY- Form, wodurch bewiesen wird, dass die beiden Formen identisch sind. In allen folgenden Ableitungen wende ich a an $(x,\,y,\,z,\,t)$ Raumzeit-Koordinatensystem zum ersten Beobachter, den ich Jane nenne, und a $(x',\,y',\,z',\,t')$ Raumzeit-Koordinatensystem an den zweiten Beobachter, den ich Dick nenne. Weitere Informationen über Dick und Jane finden Sie in meinem Buch |1| on Relativity, die bei Amazon erhältlich ist.

2.0 Die primäre Transformation. Die primäre Form der Lorentz-Transformation ist unten dargestellt. Die Gleichungen wurden unter der Annahme abgeleitet, dass Jane im Raum ruht und Dick relativ zu Jane mit der Geschwindigkeit v in positiver xx'- Richtung in Bewegung ist.

\begin{aligned} 2.1 X^{'} & = γ (X - v T) \\ 2.2 j^{'} & = j \\ 2.3 z^{'} & = z \\ 2.4 T^{'} & = γ (T - X v / C^{2}) \\ 2.5 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 2.1\qquad x' \quad&=\quad \gamma\,(x - vt)\\ 2.2\qquad y' \quad&=\quad y\\ 2.3\qquad z' \quad&=\quad z\\ 2.4\qquad\, t' \quad&=\quad \gamma ( t - x v/c^{2})\\ 2.5\qquad\, \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

3.0 Die inverse Transformation. Die Umkehrform der Lorentz-Transformation ist unten gezeigt. Die Gleichungen wurden unter der Annahme abgeleitet, dass Dick im Raum ruht und Jane relativ zu Dick mit der Geschwindigkeit v in negativer xx'- Richtung in Bewegung ist.

\begin{aligned} 3.1 X & = γ (X^{'} + v T^{'}) \\ 3.2 j & = j^{'} \\ 3.3 z & = z^{'} \\ 3.4 T & = γ (T^{'} + X^{'} v / C^{2}) \\ 3.5 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 3.1\qquad x \quad&=\quad \gamma\,(x' + vt')\\ 3.2\qquad y \quad&=\quad y'\\ 3.3\qquad z \quad&=\quad z'\\ 3.4\qquad\, t \quad&=\quad \gamma (t'+ x' v/c^{2})\\ 3.5\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$ 4.0 Ableitung der Inversen von der Primärseite. Die primäre Form der in Abschnitt 2 gezeigten Transformation drückt jede von Dicks vier Raumzeitkoordinaten (Variablen mit Strichindex) in Form von Kombinationen von Janes vier Raumzeitkoordinaten (Variablen ohne Strichindex) aus. Die umgekehrte Form der in Abschnitt 3 gezeigten Transformation ist umgekehrt formatiert. Jede der vier Raumzeitkoordinaten von Jane (Variablen ohne Strich) wird durch Kombinationen von Dicks vier Raumzeitkoordinaten (Variablen mit Strichstrich) ausgedrückt. Die folgenden Schritte zeigen, dass die Umkehrform durch einfache Algebra aus der Primärform abgeleitet werden kann. Die schrittweise Ableitung, um diese Äquivalenz zu zeigen, beginnt mit der ersten Gleichung in Abschnitt 2, wie unten gezeigt.

Erweitern Sie die rechte Seite der Gleichung (2.1), ordnen Sie sie dann neu an und lösen Sie sie wie unten gezeigt nach x auf.

\begin{aligned} 4.1 X^{'} & = γ X - γ v T \\ 4.2 γ X & = X^{'} + γ v T \\ 4.3 X & = X^{'} / γ + v T \end{aligned}

$\begin{align} 4.1\qquad x'\quad&=\quad \gamma\,x - \gamma\,v\,t\\ 4.2\quad\,\,\,\, \gamma x \quad&=\quad x' + \gamma v t\\ 4.3\qquad\, x \quad&=\quad x'/ \gamma + vt \end{align}$

Erweitern Sie die rechte Seite von Gleichung (2.4) und lösen Sie wie unten gezeigt nach t auf .

\begin{aligned} 4.4 T^{'} & = γ T - γ X v / C^{2} \\ 4.5 T & = T^{'} / γ + X v / C^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \,\,\,\,\,4.4\qquad t'\quad&=\quad \gamma t- \gamma x v/c^{2}\\ 4.5\qquad t\quad\,&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2} \end{align}$

Ersetzen Sie t aus Gleichung (4.5) in Gleichung (4.3), wie unten gezeigt.

\begin{aligned} 4.6 X & = X^{'} / γ + v (T^{'} / γ + X v / C^{2}) \\ = X^{'} / γ + v T^{'} / γ + X v^{2} / C^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad\quad\,4.6\qquad x \quad&=\quad x'/ \gamma + v(t'/\gamma + x v / c^{2})\\ \quad&=\quad x'/ \gamma + v\,t'/\gamma + x v\,^{2} / c^{2} \end{align}$

Ordne Gleichung (4.6) so an, dass die Primzahlen rechts stehen.

\begin{aligned} 4.7 X (1 - v^{2} / C^{2}) = X^{'} / γ + v T^{'} / γ \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad4.7\qquad x(1-v\,^{2} / c^{2})\,=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma \end{align}$

Identität anwenden $(1-v\,^{2}/ c^{2})\,=\, 1/\gamma^{2}$ zu Gleichung (4.7) dann nach x auflösen .

\begin{aligned} 4.8 X / γ^{2} & = X^{'} / γ + v T^{'} / γ \\ 4.9 X & = γ (X^{'} + v T^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \,\,4.8\qquad x/\gamma^{2}\,&=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma\\ 4.9\qquad\quad\,\,\, x\,&=\quad \gamma (x' + v\,t') \end{align}$

Die Umkehrung der Gleichungen (2.2 und 2.3) ist eine einfache Links-Rechts-Umkehrung, wie unten gezeigt.

\begin{aligned} 4.10 j & = j^{'} . \\ 4.11 z & = z^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} 4.10\qquad y \quad&=\quad y'\qquad\qquad.\\ 4.11\qquad z \quad&=\quad z'\qquad\qquad. \end{align}$

Setze x aus Gleichung (4.9) in Gleichung (4.5) ein und löse dann den Ausdruck nach t auf . Die Identität $1/ \gamma^{2}=1-v^{2}/c^{2}$ wird in der Mitte der Ableitung angewendet, wie unten gezeigt.

\begin{aligned} 4.12 T & = T^{'} / γ + X v / C^{2} \\ = T^{'} / γ + γ (X^{'} + v T^{'}) v / C^{2} \\ = T^{'} / γ + γ X^{'} v / C^{2} + γ T^{'} v^{2} / C^{2} \\ = γ T^{'} (1 / γ^{2} + v^{2} / C^{2}) + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ T^{'} (1 - v^{2} / C^{2} + v^{2} / C^{2}) + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ T^{'} + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ (T^{'} + X^{'} v / C^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad 4.12\qquad t \quad&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma (x' + v\,t') v/c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma x'v/c^{2} + \gamma \,t'v^{2}/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1/\gamma^{2}+ v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1-v^{2}/c^{2}+v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'+ \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma (t'+ x'v/c^{2}) \end{align}$

Der $\gamma$ Faktor in Gleichung (2.5) ist keine Funktion der Raumzeitkoordinaten von Dick und Jane und ist in beiden Formen der Transformation gleich.

\begin{aligned} 4.13 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 4.13\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

5.0 Zusammenfassung. Die Übereinstimmung der Herleitung in Abschnitt 4 mit der inversen Form der Transformation in Abschnitt 3 wird unten gezeigt.

\begin{aligned} E Q u A T ich Ö N (3.1) = E Q u A T ich Ö N (4.9) \\ E Q u A T ich Ö N (3.2) = E Q u A T ich Ö N (4.10) \\ E Q u A T ich Ö N (3.3) = E Q u A T ich Ö N (4.11) \\ E Q u A T ich Ö N (3.4) = E Q u A T ich Ö N (4.12) \\ E Q u A T ich Ö N (3.5) = E Q u A T ich Ö N (4.13) \end{aligned}

$\begin{align} Equation (3.1)\quad = \quad Equation (4.9\,\,)\,\\ Equation (3.2)\quad = \quad Equation (4.10)\\ Equation (3.3)\quad = \quad Equation (4.11)\\ Equation (3.4)\quad = \quad Equation (4.12)\\ Equation (3.5)\quad = \quad Equation (4.13) \end{align}$

Die obige Übereinstimmung beweist, dass die beiden Formen der Transformation identisch sind, und dennoch habe ich fälschlicherweise geschlussfolgert, dass die beiden Formen unterschiedlich seien, als ich sie zum ersten Mal herleitete. Mein Logikfehler stammte von den Annahmen, die ich bei der Ableitung der beiden Formen der Transformation gemacht habe. Ich habe versucht, die Art und Weise nachzuahmen, wie ich mir vorgestellt hatte, dass Lorentz seine Gleichungen abgeleitet hätte. Die Tatsache, dass ich für die erste Ableitung davon ausgegangen bin, dass Jane in Ruhe und Dick in Bewegung ist, und die entgegengesetzte Annahme für die zweite Ableitung, veranlasste mich zu der unbewussten Schlussfolgerung, dass diese Unterscheidung in den verschiedenen Annahmen eine entsprechende Unterscheidung in den beiden Formen von vermitteln würde Transformation. Das ist natürlich eine unlogische Schlussfolgerung. Die richtige Schlussfolgerung ist, dass die Transformationen mit den Bedingungen in den Annahmen kompatibel sein müssen, die zu ihrer Ableitung verwendet wurden. nicht, dass sie die Bedingungen in den Annahmen vorschreiben müssen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich nicht der einzige bin, der einen solchen Logikfehler gemacht hat. Für diejenigen unter Ihnen, die an der Logik interessiert sind, die zu der führtLorentz-Transformation siehe mein Buch |1| über Einsteins Relativitätstheorie.

Literaturverzeichnis

|1| Richard Alan, Alles, was Sie schon immer über Dick & Jane und Mary wissen wollten . "Die Ableitung von Einsteins spezieller Relativitätstheorie in ekelerregenden Details". Auf Amazon erhältlich .

Richard · Answer 3

Es ist mehr als hundert Jahre her, seit die Lorentz-Transformation und die sogenannte inverse Lorentz-Transformation ins Rampenlicht gerückt wurden. Man könnte meinen, dass inzwischen jeder erkennen würde, dass die beiden Transformationen absolut identisch sind, was bedeutet, dass die inverse Transformation nicht wirklich existiert. Es ist nur dem Namen nach eine separate Transformation; ein Alias für die Lorentz-Transformation, getarnt durch ein anderes Format, das es als eine andere Transformation erscheinen lässt. Sie können jede beliebige Transformation verwenden. Sie erhalten die gleiche Antwort, egal für welche Sie sich entscheiden.

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