Warum wird die Bedingung für die Längenkontraktion in der Herleitung für die Lorentz-Transformationen so angegeben?

Question

Warum wird die Bedingung für die Längenkontraktion in der Herleitung für die Lorentz-Transformationen so angegeben?

Myungjin Hyun

Ich untersuchte, wie die Lorentz-Transformationen abgeleitet werden, und fand diese Tabelle in Special Relativity for The Enthusiastic Beginner von David Morin. Der grundierte Rahmen $S'$ wird angenommen, dass es eine Geschwindigkeit ausschließlich entlang der positiven x-Richtung des nicht gestrichenen hat $S$ rahmen.

Die vier Bedingungen habe ich mir gegenüber folgendermaßen begründet:

Zeitdilatation kann angegeben werden als $\Delta t_{other frame} = \gamma \Delta t_{proper}$ . Die Eigenzeit wird an einer stationären Uhr im betreffenden Rahmen gemessen, also der Zustand $\Delta x' = 0$ und das Ergebnis $\Delta t = \gamma \Delta t'$ machte Sinn. Das war weil $\Delta x' = 0$ implizierte, dass die Uhr im betreffenden Rahmen stationär war, und $\Delta t'$ war die richtige Zeit.

Die Aussagen 3 und 4 könnten auch mit einem qualitativen Verständnis des Rückwärtstakt-Voraus-Effekts und des der Relativgeschwindigkeit in Einklang gebracht werden (dachte, ich bin etwas ungeschickt, das hier in Worte zu fassen. Wenn nötig, werde ich näher darauf eingehen.) Die Bedingungen für die Längenkontraktion und die Ergebnisse waren jedoch verwirrend.

So wie ich es verstehe:

Für Längenmessungen in einem bestimmten Rahmen sollten die Messungen in diesem bestimmten Rahmen gleichzeitig erfolgen .

Also mit der Bedingung $\Delta t' = 0$ Die Implikation war, dass die Längenmessung im grundierten Rahmen vorgenommen wurde . Die Grundidee der Längenkontraktion ist $\Delta l_{other frame} = {\Delta l_{proper}}/{\gamma}$ . Wenn also die Messung im grundierten Rahmen durchgeführt wird, wäre die richtige Länge die Länge, die im grundierten Rahmen gemessen wird , dh $\Delta x'$ . Da die Längenbetrachtung in keinem anderen Frame zusammengezogen wird, bin ich darauf gekommen

Δ X = Δ X^{'} / γ

$\Delta x = \Delta x' / \gamma$

Dies widerspricht dem, was die Tabelle sagt:

Δ X^{'} = Δ X / γ

$\Delta x' = \Delta x / \gamma$

Also habe ich mich gefragt, was der Irrtum in meiner Logik war. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mein Argument durcharbeitet und seinen Fehler erklärt.

Batiatus

Beachten Sie, dass "richtige Länge" "Ruhelänge" bedeutet, die die Länge eines Objekts ist, die in dem Rahmen gemessen wird, in dem es ruht (z. B. S). Die Ruhelänge ist immer die größte Länge des Objekts, während in allen anderen Frames (z. B. S") das Objekt in Bewegung ist und gleichzeitige Messungen der Endpunkte dieses bewegten Objekts Längen liefern, die in Bezug auf die Ruhelänge kürzer sind, also den Namen "Längenkontraktion".

Myungjin Hyun

@Batiatus Ich verstehe, was Längenkontraktion ist. Ich war verwirrt über die Logik für die in der Tabelle angegebenen Bedingungen: speziell warum

Δ x^{'} = Δ x / γ

$\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (und nicht umgekehrt) wann gemessen wird

Δ t^{'} = 0

$\Delta t'=0$

Philipp

Meine Antworten auf Was ist falsch an dieser falschen Längenableitung „Dilatation“? und Warum wird diese Annahme beim Ableiten der Zeitdilatation gemacht? könnte hilfreich sein.

Antworten (3)

Warum wird die Bedingung für die Längenkontraktion in der Herleitung für die Lorentz-Transformationen so angegeben?

Beachten Sie, dass "richtige Länge" "Ruhelänge" bedeutet, die die Länge eines Objekts ist, die in dem Rahmen gemessen wird, in dem es ruht (z. B. S). Die Ruhelänge ist immer die größte Länge des Objekts, während in allen anderen Frames (z. B. S") das Objekt in Bewegung ist und gleichzeitige Messungen der Endpunkte dieses bewegten Objekts Längen liefern, die in Bezug auf die Ruhelänge kürzer sind, also den Namen "Längenkontraktion".
@Batiatus Ich verstehe, was Längenkontraktion ist. Ich war verwirrt über die Logik für die in der Tabelle angegebenen Bedingungen: speziell warum $\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (und nicht umgekehrt) wann gemessen wird $\Delta t'=0$
Meine Antworten auf Was ist falsch an dieser falschen Längenableitung „Dilatation“? und Warum wird diese Annahme beim Ableiten der Zeitdilatation gemacht? könnte hilfreich sein.

Marco Ocram · Answer 1

Ihre Interpretationen der Bedingungen 1, 3 und 4 sind genau richtig. Konkret bedeutet Bedingung 2 aber, dass die Längenkontraktionsformel für ein Lineal in S' von S' aus gesehen nur dann gilt, wenn das Lineal in S' stationär ist (d.h. die Positionen seiner beiden Enden gleichzeitig t fixiert sind ').

Raub · Answer 2

Ich denke, die Verwirrung mit dem Element Längenkontraktion in der Tabelle (in Abschnitt 2.1.1) liegt in einem subtilen Wechsel der Situation zwischen seiner „Einführung der Längenkontraktion in Abschnitt 1.3.3“ und seiner „Herleitung der Lorentz-Transformation in Abschnitt 2.1 .1". (Ich denke, Raumzeitdiagramme und zusätzliche Notationen hätten geholfen, die Situationen zu unterscheiden. Symbolische Gleichungen reichen gelegentlich nicht aus.)

Wenn Morin die Längenkontraktion in Abschnitt 1.3.3 einführt,
misst Person-B (GROUND) die scheinbare Länge von Zug-A (MOVING-TRAIN), der eine Ruhelänge hat $L_A$ . Seine Analyse bestimmt, dass Person-B misst

L_{B} = \frac{L_{A}}{γ} . (1.19)

$L_{B}=\frac{L_{A}}{\gamma}.\qquad(1.19)$ Auf Kosten einer zusätzlichen Notation könnte dies besser ausgedrückt werden (unter Verwendung von "wrt" = "in Bezug auf") als

L_{A, w R T B} = \frac{L_{A, w R T A}}{γ} .

$L_{A,wrtB}=\frac{L_{A,wrtA}}{\gamma}.$ Dann fasst Morin das Ergebnis wie folgt zusammen

L_{Ö B S e R v e D} = \frac{L_{P R Ö P e R}}{γ} . (1.20)

$L_{observed}=\frac{L_{proper}}{\gamma}.\qquad(1.20)$

Auf einem von Person-B (GROUND) gezeichneten Raum-Zeit-Diagramm
zeichnen wir die blauen parallelen Zeitlinien (Weltlinien) der Vorder- und Rückseite von Zug-A. Notiz

OQ (die richtige Länge von Zug-A) und
OM (gemessene Länge von Person-B von Zug-A).

Beachten Sie, dass MQ (entlang der Zeitlinie der Vorderseite von Zug-A) orthogonal zu OQ (entlang der Raumlinie) ist $t'=0$ ). Das ist also ein rechtwinkliges Minkowski-Dreieck $OQM$ mit rechtem Winkel bei $Q$ , Wo $\theta$ ist gleich der Schnelligkeit ( $v_{B,wrt A}=\tanh\theta$ Und $\gamma=\cosh\theta$ ).
In diesem Dreieck $OM$ ist die Hypotenuse (da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt) und $OQ$ ist die angrenzende Seite.

So, $\displaystyle\gamma=\cosh\theta=\frac{ADJ}{HYP}=\frac{OQ}{OM}=\frac{L_{A,wrtA}}{L_{B,wrtA}}$ was geschrieben werden kann als

\begin{aligned} (H Y P) & = \frac{(A D J)}{cosch θ} \\ Ö M & = \frac{Ö Q}{cosch θ} = \frac{Ö Q}{γ} (1.19, 1.20) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma}\qquad(1.19, 1.20) \end{align}$

Wenn Sie nun die Lorentz-Transformation in 2.1.1 herleiten,

Betrachten Sie einen Bezugsrahmen $S'$ sich relativ zu einem anderen Rahmen bewegen $S$ , wie in Abb. 2.1 gezeigt. Sei die konstante relative Geschwindigkeit der Frames $v$
....
Unser Ziel ist es, zwei Ereignisse zu betrachten und in Beziehung zu setzen $\Delta x$ Und $\Delta t$ In $S$ zum $\Delta x'$ Und $\Delta t'$ In $S'$ .

In diesem Abschnitt baut Morin die Form der Lorentz-Transformation mit auf $\Delta x =A \Delta x' +B\Delta t'$ .
Morin möchte "Length Contraction" verwenden, um den Koeffizienten zu erhalten- $A=\gamma$ durch Aufstellen $\Delta x= \gamma \Delta x'$ .

Wählen Sie aus der Tabelle zwei Ereignisse mit aus $\Delta t'=0$ (also brauchen wir uns um den bisher unbekannten Koeffizienten keine Sorgen zu machen- $B$ ): Veranstaltungen $O$ Und $Q$ , die nach Person-A gleichzeitig sind (MOVING-TRAIN)

Δ T_{Ö Q}^{'} = (T_{Q}^{'} - T_{Ö}^{'}) = 0.

$\Delta t'_{OQ}=(t'_Q-t'_O)=0.$

Nun, hier ist der wichtige Teil.

Für diese Ableitung will Morin (entsprechend seinem Ziel)

Δ X_{Ö Q} = (X_{Q} - X_{Ö}) bezüglich Δ X_{Ö Q}^{'} = (X_{Q}^{'} - X_{Ö}^{'})

$\Delta x_{OQ}=(x_Q-x_O)\qquad\mbox{ in terms of $\Delta x'_{OQ}=(x'_Q-x'_O)$ }$ aber dies betrifft nicht direkt $\Delta x_{OM}=(x_M-x_O)$ ab 1.3.3!
Stattdessen handelt es sich um ein anderes Paar (

O

$O$ Und

N

$N$ ) von gleichzeitigen Ereignissen nach Person-B (GROUND), wobei

Δ X_{Ö Q} = Δ X_{Ö N} .

$\Delta x_{OQ}=\Delta x_{ON}.$ Das heißt, nutzen Sie das Ereignis

N

$N$ so dass

x_{Q} = x_{N}

$x_Q = x_N$ .
(Was ist das Besondere an event

M

$M$ ist das

x_{Q}^{'} = x_{M}^{'}

$x’_Q=x’_M$ , was uns nicht weiterhilft

x_{Q}

$x_Q$ wie

N

$N$ tut.)

Stellen Sie sich in einem von Person-B (GROUND) gezeichneten Raum-Zeit-Diagramm
einen gemäß Person-B (GROUND, WITH REST-TRAIN) unterschiedlich großen Zug in Ruhe vor, den Person-A (MOVING-TRAIN) anhand von Ereignissen misst $O$ Und $Q$ .
Zeichnen Sie rote Parallelen zur Zeitleiste von B durch Ereignis-O und durch Ereignis-Q.
Notiz:

ON (die richtige Länge dieses unterschiedlich großen Zug-B),
wo $N$ ist das Ereignis auf der Front parallel, mit dem Person-B gleichzeitig sagt $O$ .
OQ (gemessene Länge von Person-A dieses unterschiedlich großen Zuges-B).

Beachten Sie, dass $ONQ$ ist ein rechtwinkliges Minkowski-Dreieck mit dem rechten Winkel at $N$ (So $OQ$ ist die Hypotenuse) und dasselbe $\theta$ wie vorher. Somit (den obigen Ideen folgend)

\begin{aligned} (H Y P) & = \frac{(A D J)}{cosch θ} \\ Ö Q & = \frac{Ö N}{cosch θ} = \frac{Ö N}{γ} \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma} \end{align}$

Vergleichen Sie die Rolle von $OQ$ hier und in (1.19) oben.

Das Ausdrücken dieser Ergebnisse in der $\Delta x$ -Notationen (benötigt für 2.1.1)

ab 1.3.3,

\begin{aligned} (H Y P) & = \frac{(A D J)}{cosch θ} \\ Ö M & = \frac{Ö Q}{cosch θ} = \frac{Ö Q}{γ} (1.19, 1.20) \\ Δ X_{Ö M} & = \frac{Δ X_{Ö Q}^{'}}{cosch θ} = \frac{Δ X_{Ö Q}^{'}}{γ} (1.19, 1.20 Wo Ö Q ist die Eigenlänge von Zug-A) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma} \qquad(1.19,1.20)\\ \Delta x_{OM}&=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.19,1.20 \mbox{ where $OQ$ is the proper-length of train-A}) \end{align}$

ab 2.1.1,

\begin{aligned} (H Y P) & = \frac{(A D J)}{cosch θ} \\ Ö Q & = \frac{Ö N}{cosch θ} = \frac{Ö N}{γ} \\ Δ X_{Ö Q}^{'} & = \frac{Δ X_{Ö N}}{cosch θ} = \frac{Δ X_{Ö N}}{γ} = \frac{Δ X_{Ö Q}}{γ} (1.20 Wo Ö Q ist die beobachtete Länge von Zug-B) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma}\\ \Delta x'_{OQ}&=\frac{\Delta x_{ON}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x_{ON}}{\gamma}=\frac{\Delta x_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.20 \mbox{ where $OQ$ is the observed-length of train-B}) \end{align}$ so dass

Δ x_{O Q} = γ Δ x_{O Q}^{'}

$\Delta x_{OQ} = \gamma \Delta x'_{OQ}$ , was bedeutet, dass Koeffizient-

A

$A$ ist gleich

γ

$\gamma$ .

Auch hier denke ich, dass Raumzeitdiagramme und zusätzliche Notationen helfen würden, die Situationen zu unterscheiden.

Ashley Waldron · Answer 3

Dieser Teil des Buches hat mich auch überrascht, aber ich denke, das Problem, das Sie haben, liegt in Ihrem Verständnis dafür, was die richtige Länge von etwas ist. Die richtige Länge von etwas ist nicht die Länge, die in Ihrem Rahmen gemessen wird (welcher Rahmen das auch sein mag), es ist die Länge, die etwas hat, wenn es in sich selbst gemessen wirdRuherahmen. Dies wird direkt nach der Gleichung 1.20 für die Längenkontraktion auf Seite 59 hervorgehoben. Ich fand auch Frage 24 in Anhang A sehr nützlich, um die damit verbundene Asymmetrie zwischen den Ableitungen für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion zu verstehen. Es ist auch analog zur Zeitdilatationsformel 1.14 auf Seite 51, wo Sie sehen werden, dass die „Eigenzeit“ die Zeit ist, die in dem Rahmen gemessen wird, in dem die Uhr ruht. Richtig bedeutet also „das Maß, das im Ruhesystem des Dings gemessen wird“.

Die letzte Erklärung lautet also: Der grundierte Rahmen ist derjenige, der seitdem die Messung durchführt (wie Sie gesagt haben). $\Delta t′=0$ , aber die richtige Länge von etwas ist definiert als „die Länge, die etwas hat, wenn es in seinem eigenen Ruhesystem gemessen wird“. Also die $\Delta x′$ Person misst das Ding, aber das Ding ruht in einem anderen Rahmen. Daher die Messung $\Delta x′$ wird gleich der richtigen Länge sein (die Länge, die es in seinem Ruherahmen hat, was ist $\Delta x$ ) geteilt durch $\gamma$ .
Es ist eigentlich nur die Standard-Längenkontraktionsformel, aber mit vertauschten Rahmen. Also so etwas wie, anstatt dass ein Beobachter am Boden die Länge eines daran vorbeizischenden Zuges als zusammengezogen misst. Dies besagt nur, dass der Zug die Länge des Bahnhofs misst, der an ihm vorbeisaust, als dass er zusammengezogen wird.

Warum wird die Bedingung für die Längenkontraktion in der Herleitung für die Lorentz-Transformationen so angegeben?

Myungjin Hyun

Batiatus

Myungjin Hyun

Philipp

Antworten (3)

Marco Ocram

Raub

Raub

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