Kann die Lorentz-Transformationsmatrix mit der Basiswechselformel abgeleitet werden?

Lorentz-Transformationen können auf zwei äquivalente Arten betrachtet werden. Zuerst als aktive Transformationen, die einen Vektor im Minkowski-Vektorraum nehmen$\mathbb{R}^{1,3}$und geben Sie einen neuen Vektor an, der das innere Produkt von Minkowski bewahrt$\eta : \mathbb{R}^{1,3}\times \mathbb{R}^{1,3}\to \mathbb{R}$. Zweitens als passive Transformationen, die an den Koordinaten eines Vektors in einer orthonormalen Basis induziert werden, wenn Sie einen Basiswechsel zu einer anderen orthonormalen Basis durchführen. Ich glaube, Sie wollen hier den zweiten Standpunkt verstehen.

In der Grundbehandlung ist es üblich, die Lorentz-Transformationen als Koordinatenänderungen anzusehen. Was in diesem Szenario wirklich vor sich geht, ist Folgendes. Sie haben eine orthonormale Basis$\{e_\mu\}$An$\mathbb{R}^{1,3}$. Daher irgendein Vektor$x\in \mathbb{R}^{1,3}$kann eindeutig geschrieben werden als

$$x=x^\mu e_\mu.\tag{1}$$

Wenn$\{e_\mu'\}$ist eine zweite Grundlage auf$\mathbb{R}^{1,3}$derselbe Vektor kann auch eindeutig als geschrieben werden

$$x = {x'}^\mu e'_\mu \tag{2}.$$

Natürlich müssen (1) und (2) gleich sein. Seit$e_\mu$ist eine Basis, auf der sie selbst geschrieben werden kann$e'_\mu$als

$$e_\mu = \Lambda^\nu_{\phantom{\nu}\mu}e'_\nu\tag{3}.$$

Wenn man dies verwendet, um (1) und (2) gleichzusetzen, erhält man

$${x'}^\nu e_\nu' = \Lambda^\nu_{\phantom{\nu}\mu}x^\mu e'_\nu\tag{4},$$ und jetzt gibt Ihnen die Einzigartigkeit des Ausdrucks des Vektors in der Basis${x'}^\mu$bezüglich$x^\nu$als $${x'}^\mu = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} x^\nu\tag{5}.$$

Dies ist eine allgemeine Analyse , die wirklich in jedem Vektorraum durchgeführt werden kann . Zusammenfassend ist das oben Geschriebene im Grunde folgendes:

1. In einem Vektorraum definiert die Expansion in einer bestimmten Basis Koordinaten in diesem Raum: Die Koordinaten eines Vektors sind nur die Expansionskoeffizienten;

2. Wenn Sie die Basis ändern, haben Sie neue Koordinaten, die nach obiger Ableitung in Bezug auf die alten geschrieben werden können.

Erinnern Sie sich, als ich sagte, die erste Basis sei orthonormal? Damit meinte ich das wenn$\eta : \mathbb{R}^{1,3}\times \mathbb{R}^{1,3}\to \mathbb{R}$ist das innere Produkt von Minkowski, das wir haben

$$\eta(e_\mu,e_\nu)=\eta_{\mu\nu},\quad \eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\tag{6}.$$

Nun, wenn Sie die Aufmerksamkeit auf die Klasse der Basen beschränken, die orthonormal sind, und Sie dies fordern$\{e_\mu'\}$auch orthonormal sein, dann müssen wir auch haben$\eta(e_\mu',e_\nu')=\eta_{\mu\nu}$. Schreiben Sie diese Bedingung mit (3) auf

$$\eta(e_\mu,e_\nu)=\eta(\Lambda^\alpha_{\phantom{\alpha}\mu}e'_\alpha,\Lambda^\beta_{\phantom{\beta}\nu}e'_\beta)=\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}\eta(e'_\alpha,e'_\beta)= \eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}\tag{7}.$$

Dies ist dasselbe wie

$$\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}=\eta_{\mu\nu},\tag{8}$$

Dies ist nur die Standardbedingung, der Lorentz-Transformationen genügen müssen.