Ableitung von Lorentz-Transformationen

Ich weiß, das wird rückwärts klingen . Aber trotzdem, nur aus Neugier:

Ist es möglich, nur Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation zusammen mit dem Lorentz-Faktor zu verwenden? γ um die Lorentz-Transformationen von einem Inertialsystem in ein anderes abzuleiten? Wenn nein, welche weiteren Annahmen sind notwendig?

Was würden Sie über die Kontraktion / Dilatation annehmen wollen? Wollen Sie einfach ihre Möglichkeit zulassen und sehen, was mit anderen Grundannahmen vereinbar ist, oder mit dem Lorentz-Faktor beginnen γ = 1 − v 2 − 1 als gegeben?
@WetSavannaAnimal alias Rod Vance Yep, wenn man den Wert von annimmt γ .
Sie müssen wahrscheinlich davon ausgehen, dass Richtungen senkrecht zur Geschwindigkeit nicht kontrahiert sind.

Antworten (1)

Wir gehen davon aus, dass Lorentz-Transformationen linear sind und dass der Ursprung in einem Frame auf den Ursprung in einem anderen Frame abgebildet wird (dies tun wir auch bei der üblichen Ableitung von Lorentz-Transformationen!). Dann ist die allgemeine Form

T ' = A T + B X , X ' = C T + D X .
Da die Transformationen linear sind, impliziert dies auch
Δ T ' = A Δ T + B Δ X , Δ X ' = C Δ T + D Δ X .

Zeitdilatation

Diese besagt, dass wenn Δ X = 0 , Dann Δ T ' = γ Δ T . Daher, A = γ . Umgekehrt, wenn Δ X ' = 0 Dann Δ T = γ Δ T ' . Dies impliziert D = γ ( A D − B C ) .

Längenkontraktion

Diese besagt, dass wenn Δ T ' = 0 , Dann Δ X ' = Δ X γ . Dies impliziert A = γ ( A D − B C ) . Umgekehrt, wenn Δ T = 0 , Dann Δ X = Δ X ' γ . Dies impliziert D = γ . Unter Verwendung dieser Gleichungen können wir erhalten

A = D = γ , B C = γ 2 − 1 = γ 2 v 2 C 2
BEARBEITEN - Ich benutze C für die Lichtgeschwindigkeit, um nicht mit dem Koeffizienten zu verwechseln C .

Damit können wir eine generische Lorentz-Transformation schreiben als

T ' = γ T − γ v C 2 F ( v ) X , X ' = γ X − γ v F ( v ) T .
für irgendeine Funktion F ( v ) . Wir können nun einige Eigenschaften dieser Funktion untersuchen.

Zunächst stellen wir fest, dass die inverse Lorentz-Transformation die Form annimmt

T = γ T ' + γ v C 2 F ( v ) X ' , X = γ X ' + γ v F ( v ) T '
Die beiden müssen über verbunden sein v → − v . Also müssen wir haben F ( v ) = F ( − v ) .

Ich glaube nicht, dass wir mehr darüber sagen können F ( v ) ohne zusätzliche Eingabe! Lassen Sie mich eine zusätzliche Eingabe hinzufügen und die Ableitung vervollständigen.

Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Dies erfordert, dass wenn X = C T Dann X ' = C T ' . Dies impliziert sofort F ( v ) = 1 .

Was meinst du mit "Diese Gleichungen lösen" vor dem letzten Schritt?
@PhyEnthusiast - Das war eine irreführende Formulierung. Ich habe es bearbeitet.
Aber wie benutzt man das Produkt bc, um herauszufinden, was b und c getrennt sind?
Ich kann nicht reparieren B Und C separat. Das ist die Funktion F ( v ) eingeführt wurde für.
ja aber woher weißt du das B = − γ v C 2 F ( v )
Mit anderen Worten, woher weißt du das? B C 2 / ( γ v ) hängt nur davon ab v
wovon könnte es noch abhängen? Die einzige Variable im Spiel ist v .
Ja, ich weiß nicht, was ich dachte. Natürlich.
Ausgezeichnete Antwort, übrigens. Danke.
Du liest meine Gedanken. Ich wollte fragen, ob Sie es vermeiden möchten, den Koeffizienten zu verwechseln C und die Lichtgeschwindigkeit
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