Können wir einen allgemeinen Lorentz-Boost in eine Rotation zerlegen, gefolgt von drei Boosts entlang der Koordinatenachsen?

Question

Können wir einen allgemeinen Lorentz-Boost in eine Rotation zerlegen, gefolgt von drei Boosts entlang der Koordinatenachsen?

Giuseppe Negro

$\newcommand{\betabold}{\boldsymbol{\beta}} \newcommand{\xbold}{\boldsymbol{x}} \newcommand{\ebold}{\boldsymbol{e}}$ Für $\betabold\in \mathbb R^3$ , mit $0<|\betabold|<1$ , lassen Sie uns den Lorentz-Boost mit Velocity bezeichnen $\betabold$ von

L^{β} (T, X) := (γ T - γ β \cdot X, X_{⊥} + γ X_{∥} - γ β T), Wo γ := \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} .

$L^{\betabold}(t, \xbold):=\Big(\gamma t-\gamma \betabold\cdot \xbold, \xbold_\bot +\gamma \xbold_{\parallel}-\gamma\betabold t\Big), \quad \text{where }\ \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$ Hier

x_{∥} := \frac{x \cdot β}{β^{2}} β

$\xbold_\parallel:=\frac{\xbold\cdot\betabold}{\beta^2}\betabold$ ist die Komponente von

x

$\xbold$ in der Richtung von

β

$\betabold$ , Und

x_{⊥} := x - x_{∥}

$\xbold_\bot:=\xbold-\xbold_\parallel$ . (Die Lichtgeschwindigkeit ist normiert auf

1

$1$ ).

Gibt es eine räumliche Rotation? $R$ Und $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\in(-1, 1)$ so dass
$L^{β} = L^{a_{1} e_{1}} L^{a_{2} e_{2}} L^{a_{3} e_{3}} R ?$ $L^\betabold = L^{\alpha_1\ebold_1}L^{\alpha_2\ebold_2}L^{\alpha_3\ebold_3}R\quad ?$

Dwagg

Eine Drehung kann jeden Einheitsvektor so bewegen, dass er mit jeder Achse zusammenfällt. Es gibt also eine Rotation, die sich dreht

β

$\mathbf \beta$ zum

e_{3}

$\mathbf e_3$ Achse. Also ja; suchen Sie einfach nach einer solchen Drehung und wählen Sie dann aus

α_{3} = | β |

$\alpha_3 =|\mathbf \beta|$ Und

α_{2} = α_{1} = 0

$\alpha_2=\alpha_1 = 0$ .

Giuseppe Negro

@Dwagg: Brauchst du nach dem Boost keine zweite Rotation?

Benutzer178876

Der Kommutator zweier Boost-Generatoren ist ein Rotationsgenerator. Und du hast

L^{\vec{φ}} = \exp (i \vec{φ} \cdot \vec{B})

$L^{\vec\varphi}=\exp(\mathrm{i}\vec\varphi\cdot \vec B)$ , Wo

\vec{B} = (B_{x}, B_{y}, B_{z})

$\vec B=(B_x,B_y,B_z)$ ist ein 3-Tupel von Boost-Generatoren. Ihre Frage ist dann, ob

L^{\vec{φ}} = L^{α_{1} e_{1}} L^{α_{2} e_{2}} L^{α_{3} e_{3}} R

$L^{\vec\varphi}=L^{\alpha_1e_1}L^{\alpha_2e_2}L^{\alpha_3e_3}R$ für einige angemessen

α_{i}

$\alpha_i$ Und

R

$R$ . Die Antwort ist ja wegen der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel.

Frobenius

Verwandte: Allgemeine Matrix Lorentz-Transformation . Durch Intuition gibt es unendlich viele Lösungen.

Giuseppe Negro

Kann der Downvoter bitte seine Gründe erklären?

Frobenius

Bei der Ausarbeitung einer Antwort auf Ihre Frage zeigen erste Ergebnisse, dass meine Intuition über unendlich viele Lösungen falsch ist. Das konnte ich mit Sicherheit beweisen

β

$\:\boldsymbol{\beta}\:$ Es gibt eine und nur eine Triade

(α_{1}, α_{2}, α_{3})

$\:\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\:$ und folglich eine Drehung R, die Ihre Gleichung erfüllt.

Frobenius

Die Ausarbeitung ist mühsam und langwierig. Aber ich werde eine Antwort in 2-3 Tagen posten.

Antworten (1)

Können wir einen allgemeinen Lorentz-Boost in eine Rotation zerlegen, gefolgt von drei Boosts entlang der Koordinatenachsen?

Eine Drehung kann jeden Einheitsvektor so bewegen, dass er mit jeder Achse zusammenfällt. Es gibt also eine Rotation, die sich dreht $\mathbf \beta$ zum $\mathbf e_3$ Achse. Also ja; suchen Sie einfach nach einer solchen Drehung und wählen Sie dann aus $\alpha_3 =|\mathbf \beta|$ Und $\alpha_2=\alpha_1 = 0$ .
Der Kommutator zweier Boost-Generatoren ist ein Rotationsgenerator. Und du hast $L^{\vec\varphi}=\exp(\mathrm{i}\vec\varphi\cdot \vec B)$ , Wo $\vec B=(B_x,B_y,B_z)$ ist ein 3-Tupel von Boost-Generatoren. Ihre Frage ist dann, ob $L^{\vec\varphi}=L^{\alpha_1e_1}L^{\alpha_2e_2}L^{\alpha_3e_3}R$ für einige angemessen $\alpha_i$ Und $R$ . Die Antwort ist ja wegen der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel.
Verwandte: Allgemeine Matrix Lorentz-Transformation . Durch Intuition gibt es unendlich viele Lösungen.
Bei der Ausarbeitung einer Antwort auf Ihre Frage zeigen erste Ergebnisse, dass meine Intuition über unendlich viele Lösungen falsch ist. Das konnte ich mit Sicherheit beweisen $\:\boldsymbol{\beta}\:$ Es gibt eine und nur eine Triade $\:\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\:$ und folglich eine Drehung R, die Ihre Gleichung erfüllt.
Die Ausarbeitung ist mühsam und langwierig. Aber ich werde eine Antwort in 2-3 Tagen posten.

Frobenius · Answer 1

$\begin{matrix} (A) & L (β) = R^{- 1} \cdot L_{3} (a_{3}) \cdot L_{2} (a_{2}) \cdot L_{1} (a_{1}) \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\beta}\right) =\mathrm{R}^{\boldsymbol{-1}}\cdot\mathrm{L}_3\left(\alpha_3\right)\cdot\mathrm{L}_2\left(\alpha_2\right)\cdot\mathrm{L}_1\left(\alpha_1\right) \tag{a}\label{a} \end{equation}$ $\begin{matrix} (B) & a_{1} = β_{1}, a_{2} = \frac{β_{2}}{\sqrt{1 - β_{1}^{2}}}, a_{3} = \frac{β_{3}}{\sqrt{1 - (β_{1}^{2} + β_{2}^{2})}} \end{matrix}$ $\begin{equation} \alpha_1 =\beta_1\,, \quad \alpha_2 =\dfrac{\beta_2}{\sqrt{1-\beta^2_1}}\,, \quad \alpha_3 =\dfrac{\beta_3}{\sqrt{1-\left(\beta^2_1+\beta^2_2\right)}} \tag{b}\label{b} \end{equation}$ $\begin{matrix} (C) & R = Raumdrehung \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathrm{R}=\text{space rotation} \tag{c}\label{c} \end{equation}$ $==================================================$

Abbildung-01 3D

Aus Abbildung 01:

Lorentztransformation aus $\:\mathrm{S}\boldsymbol{\equiv} \{xyz\omega, \omega\boldsymbol{=}ct\}\:$ Zu $\:\mathrm{S_1}\boldsymbol{\equiv} \{x_1y_1z_1\omega_1, \omega_1\boldsymbol{=}ct_1\}\:$

\begin{matrix} (01) & [\begin{matrix} X_{1} \\ j_{1} \\ z_{1} \\ ω_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cosch ξ & 0 & 0 & - Sünde ξ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ξ & 0 & 0 & cosch ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ j \\ z \\ ω \end{matrix}], Tanh ξ = a_{1} = \frac{u_{1}}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \omega_1 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\!\xi & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &-\sinh\!\xi \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & 0\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ -\sinh\!\xi & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\xi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \omega \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\!\xi\boldsymbol{=}\alpha_1\boldsymbol{=}\dfrac{u_1}{c} \tag{01}\label{01} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (02) & W_{1} = L_{1} W, L_{1} = [\begin{matrix} cosch ξ & 0 & 0 & - Sünde ξ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ξ & 0 & 0 & cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{W}_1\boldsymbol{=}\mathrm{L_1}\mathbf{W}\,, \qquad \mathrm{L_1}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\!\xi & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &-\sinh\!\xi \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & 0\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ -\sinh\!\xi & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\xi \end{bmatrix} \tag{02}\label{02} \end{equation}$

Lorentztransformation aus $\:\mathrm{S_1}\boldsymbol{\equiv} \{x_1y_1z_1\omega_1, \omega_1\boldsymbol{=}ct_1\}\:$ Zu $\:\mathrm{S_2}\boldsymbol{\equiv} \{x_2y_2z_2\omega_2, \omega_2\boldsymbol{=}ct_2\}\:$

\begin{matrix} (03) & [\begin{matrix} X_{2} \\ j_{2} \\ z_{2} \\ ω_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosch η & 0 & - Sünde η \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - Sünde η & 0 & cosch η \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1} \\ j_{1} \\ z_{1} \\ ω_{1} \end{matrix}], Tanh η = a_{2} = \frac{u_{2}}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ \omega_2 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}\cosh\!\eta & \hphantom{-} 0 & -\sinh\!\eta\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ 0 & -\sinh\!\eta & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\eta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \omega_1 \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\!\eta\boldsymbol{=}\alpha_2\boldsymbol{=}\dfrac{u_2}{c} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (04) & W_{2} = L_{2} W_{1}, L_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosch η & 0 & - Sünde η \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - Sünde η & 0 & cosch η \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{W}_2\boldsymbol{=}\mathrm{L_2}\mathbf{W}_1\,, \qquad \mathrm{L_2}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}\cosh\!\eta & \hphantom{-} 0 & -\sinh\!\eta\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ 0 & -\sinh\!\eta & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\eta \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Lorentztransformation aus $\:\mathrm{S_2}\boldsymbol{\equiv} \{x_2y_2z_2\omega_2, \omega_2\boldsymbol{=}ct_2\}\:$ Zu $\:\mathrm{S_3}\boldsymbol{\equiv}\{x_3y_3z_3\omega_3, \omega_3\boldsymbol{=}ct_3\}\:$

\begin{matrix} (05) & [\begin{matrix} X_{3} \\ j_{3} \\ z_{3} \\ ω_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosch ζ & - Sünde ζ \\ 0 & 0 & - Sünde ζ & cosch ζ \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{2} \\ j_{2} \\ z_{2} \\ ω_{2} \end{matrix}], Tanh ζ = a_{3} = \frac{u_{3}}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_3\\ y_3\\ z_3\\ \omega_3 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\\ 0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}\cosh\!\zeta & -\sinh\!\zeta\\ 0 & \hphantom{-}0 & -\sinh\!\zeta &\hphantom{-}\cosh\!\zeta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ \omega_2 \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\!\zeta\boldsymbol{=}\alpha_3\boldsymbol{=}\dfrac{u_3}{c} \tag{05}\label{05} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (06) & W_{3} = L_{3} W_{2}, L_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosch ζ & - Sünde ζ \\ 0 & 0 & - Sünde ζ & cosch ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{W}_3\boldsymbol{=}\mathrm{L_3}\mathbf{W}_2\,, \qquad \mathrm{L_3}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\\ 0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}\cosh\!\zeta & -\sinh\!\zeta\\ 0 & \hphantom{-}0 & -\sinh\!\zeta &\hphantom{-}\cosh\!\zeta \end{bmatrix} \tag{06}\label{06} \end{equation}$

Beachten Sie, dass aufgrund der Standardkonfigurationen die Matrizen $\:\mathrm{L_1}, \mathrm{L_2},\mathrm{L_3}\:$ sind reell symmetrisch.

Aus Gleichungen $\eqref{02}$ , $\eqref{04}$ Und $\eqref{06}$ wir haben

\begin{matrix} (07) & W_{3} = L_{3} W_{2} = L_{3} L_{2} W_{1} = L_{3} L_{2} L_{1} W ⟹ W_{3} = Λ W \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{W}_3\boldsymbol{=}\mathrm{L}_3\mathbf{W}_2\boldsymbol{=}\mathrm{L}_3\mathrm{L}_2\mathbf{W}_1\boldsymbol{=}\mathrm{L}_3\mathrm{L}_2\mathrm{L}_1\mathbf{W} \quad \boldsymbol{\Longrightarrow} \quad \mathbf{W}_3\boldsymbol{=}\Lambda\,\mathbf{W} \tag{07}\label{07} \end{equation}$ Wo

Λ

$\:\Lambda\:$ die Zusammensetzung der drei Lorentz-Transformationen

L_{1}, L_{2}, L_{3}

$\:\mathrm{L_1}, \mathrm{L_2},\mathrm{L_3}\:$ ^{$\begin{aligned} Λ = L_{3} L_{2} L_{1} = \\ (08) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosch ζ & - Sünde ζ \\ 0 & 0 & - Sünde ζ & cosch ζ \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosch η & 0 & - Sünde η \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - Sünde η & 0 & cosch η \end{matrix}] [\begin{matrix} cosch ξ & 0 & 0 & - Sünde ξ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ξ & 0 & 0 & cosch ξ \end{matrix}] \end{aligned}$ $\begin{align} &\Lambda\boldsymbol{=}\mathrm{L}_3\mathrm{L}_2\mathrm{L}_1\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\\ 0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}\cosh\!\zeta & -\sinh\!\zeta\\ 0 & \hphantom{-}0 & -\sinh\!\zeta &\hphantom{-}\cosh\!\zeta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & \hphantom{-}\cosh\!\eta & \hphantom{-} 0 & -\sinh\!\eta\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ 0 & -\sinh\!\eta & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\eta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\!\xi & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &-\sinh\!\xi \\ 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 & 0\\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & 0\\ -\sinh\!\xi & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 &\hphantom{-}\cosh\!\xi \end{bmatrix} \tag{08}\label{08} \end{align}$} ^{das ist
$\begin{matrix} (09) & Λ = L_{3} L_{2} L_{1} = [\begin{matrix} cosch ξ & 0 & 0 & - Sünde ξ \\ Sünde η Sünde ξ & cosch η & 0 & - Sünde η cosch ξ \\ Sünde ζ cosch η Sünde ξ & Sünde ζ Sünde η & cosch ζ & - Sünde ζ cosch η cosch ξ \\ - cosch ζ cosch η Sünde ξ & - cosch ζ Sünde η & - Sünde ζ & cosch ζ cosch η cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{equation} \Lambda\boldsymbol{=}\mathrm{L}_3\mathrm{L}_2\mathrm{L}_1\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\!\xi & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &-\sinh\!\xi\\ \hphantom{-}\sinh\!\eta\sinh\!\xi & \hphantom{-}\cosh\!\eta & \hphantom{-}0 & -\sinh\!\eta\cosh\!\xi\\ \hphantom{-}\sinh\!\zeta\cosh\!\eta\sinh\!\xi & \hphantom{-}\sinh\!\zeta\sinh\!\eta &\hphantom{-} \cosh\!\zeta & -\sinh\!\zeta\cosh\!\eta\cosh\!\xi\\ -\cosh\!\zeta\cosh\!\eta\sinh\!\xi & -\cosh\!\zeta\sinh\!\eta & -\sinh\!\zeta &\hphantom{-}\cosh\!\zeta\cosh\!\eta\cosh\!\xi \end{bmatrix} \tag{09}\label{09} \end{equation}$}Die Lorentz-Transformationsmatrix

Λ

$\:\Lambda\:$ ist nicht symmetrisch, also die Systeme

S, S_{3}

$\:\mathrm{S},\mathrm{S_3}\:$ sind nicht in der Standardkonfiguration. Aber es ist vernünftig, das anzunehmen

\begin{matrix} (10) & Λ = R \cdot L \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{R}\cdot\mathrm{L} \tag{10}\label{10} \end{equation}$ Wo

L

$\:\mathrm{L}\:$ ist die symmetrische Lorentz-Transformationsmatrix aus

S

$\:\mathrm{S}\:$ zu einem Zwischensystem

{S^{'}}_{3}

$\:\mathrm{S'}_3\:$ in Standardkonfiguration dazu und mitbewegen

S_{3}

$\:\mathrm{S}_3\:$ , während

R

$\:\mathrm{R}\:$ ist eine rein räumliche Transformation zwischen

{S^{'}}_{3}

$\:\mathrm{S'}_3\:$ Und

S_{3}

$\:\mathrm{S}_3$ .

Unser Ziel wäre es nun, die symmetrische Lorentz-Transformationsmatrix auszudrückenin Bezug auf die Schnelligkeitenseit von $\eqref{10}$

\begin{matrix} (11) & R = Λ \cdot L^{- 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}\boldsymbol{=}\Lambda\cdot\mathrm{L}^{\boldsymbol{-1}} \tag{11}\label{11} \end{equation}$

Die Lorentz-Transformationsmatrix $\:\mathrm{L}\:$ , aus $\:\mathrm{S}\:$ zum Zwischensystem $\:\mathrm{S'_3}\:$ in der Standardkonfiguration dazu ist:

\begin{matrix} (12) & L (υ) = [\begin{matrix} 1 + (γ - 1) N_{X}^{2} & (γ - 1) N_{X} N_{j} & (γ - 1) N_{X} N_{z} & - \frac{γ υ_{X}}{C} \\ (γ - 1) N_{j} N_{X} & 1 + (γ - 1) N_{j}^{2} & (γ - 1) N_{j} N_{z} & - \frac{γ υ_{j}}{C} \\ (γ - 1) N_{z} N_{X} & (γ - 1) N_{z} N_{j} & 1 + (γ - 1) N_{z}^{2} & - \frac{γ υ_{z}}{C} \\ - \frac{γ υ_{X}}{C} & - \frac{γ υ_{j}}{C} & - \frac{γ υ_{z}}{C} & γ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{z} & \!-\dfrac{\gamma\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} &\left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{z} & \!-\dfrac{\gamma\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{z}\mathrm{n}_{x} & \left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{z}\mathrm{n}_{y} & 1\!+\!\left(\gamma\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{z} & \!-\dfrac{\gamma\upsilon_{z}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\dfrac{\gamma\upsilon_{x}}{c} & \!-\dfrac{\gamma\upsilon_{y}}{c} &\!-\dfrac{\gamma\upsilon_{z}}{c} & \gamma \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{12}\label{12} \end{equation}$ In

(12)

$\eqref{12}$

\begin{aligned} (13.1) & \frac{υ}{C} & = (\frac{υ_{X}}{C}, \frac{υ_{j}}{C}, \frac{υ_{z}}{C}) = (Tanh ξ, \frac{Tanh η}{cosch ξ}, \frac{Tanh ζ}{cosch ξ cosch η}) \equiv β = (β_{1}, β_{2}, β_{3},) \\ (13.2) & {(\frac{υ}{C})}^{2} & = {(\frac{υ_{X}}{C})}^{2} + {(\frac{υ_{j}}{C})}^{2} + {(\frac{υ_{z}}{C})}^{2} = 1 - {(\frac{1}{cosch ξ cosch η cosch ζ})}^{2} = \frac{γ^{2} - 1}{γ^{2}} \\ (13.3) & γ & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = cosch ξ cosch η cosch ζ = γ_{1} γ_{2} γ_{3} \\ (13.4) & N & = (N_{X}, N_{j}, N_{z}) = \frac{υ / C}{υ / C} = \frac{(Sünde ξ cosch η cosch ζ, Sünde η cosch ζ, Sünde ζ)}{\sqrt{{cosch}^{2} ξ {cosch}^{2} η {cosch}^{2} ζ - 1}} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{c} & \boldsymbol{=} \left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c},\dfrac{\upsilon_{y}}{c},\dfrac{\upsilon_{z}}{c}\right)\boldsymbol{=}\left(\tanh\!\xi,\dfrac{\tanh\!\eta}{\cosh\!\xi},\dfrac{\tanh\!\zeta}{\cosh\!\xi\cosh\!\eta}\right)\equiv \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{=} \left(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\right) \tag{13.1}\label{13.1}\\ \left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2} & \boldsymbol{=} \left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac{\upsilon_{z}}{c}\right)^{2} \boldsymbol{=}1 \boldsymbol{-}\left(\dfrac{1}{\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta}\right)^{2}=\dfrac{\gamma^{2}\!-\!1}{\gamma^{2}} \tag{13.2}\label{13.2}\\ \gamma & \boldsymbol{=} \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}\boldsymbol{=} \cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \boldsymbol{=}\gamma_1\gamma_2\gamma_3 \tag{13.3}\label{13.3}\\ \mathbf{n} & = \left(\mathrm{n}_{x},\mathrm{n}_{y},\mathrm{n}_{z}\right) \boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}/c}{\upsilon/c}\boldsymbol{=}\dfrac{\left(\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta ,\sinh\!\eta\cosh\!\zeta,\sinh\!\zeta\right)}{\sqrt{\cosh^2\!\xi\cosh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta-1}} \tag{13.4}\label{13.4} \end{align}$ Wo

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ ist der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs

{O^{'}}_{3} (\equiv O_{3})

$\:\mathrm{O'}_{\!\!3}\left(\equiv \mathrm{O}_{3}\right)\:$ gegenüber

S

$\:\mathrm{S}$ ⁽¹⁾ ,

n

$\:\mathbf{n}\:$ den Einheitsvektor entlang

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ Und

γ

$\:\gamma\:$ die entsprechende

γ -

$\:\gamma-$ Faktor.

Also die Matrixder Gleichung $\eqref{12}$ als Funktion der Schnelligkeiten $\:\xi,\eta,\zeta\:$ ist ⁽²⁾

\begin{aligned} L (υ) = L (ξ, η, ζ) = \\ (14) & [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ {cosch}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - Sünde ξ cosch η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - Sünde η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - Sünde ζ \\ - Sünde ξ cosch η cosch ζ & - Sünde η cosch ζ & - Sünde ζ & cosch ξ cosch η cosch ζ \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} &\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\boldsymbol{=}\mathrm{L}\left(\xi,\eta,\zeta \right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi\cosh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} &\dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \!\boldsymbol{-} \sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } &\dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \!\boldsymbol{-} \sinh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } & \!\boldsymbol{-}\sinh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!\boldsymbol{-}\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta & \!\boldsymbol{-}\sinh\!\eta\cosh\!\zeta &\!\boldsymbol{-}\sinh\!\zeta & \cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{14}\label{14} \end{align}$ während^{$\begin{aligned} L^{- 1} (υ) = L (- υ) = L (- ξ, - η, - ζ) = \\ (15) & [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ {cosch}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde ξ cosch η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde ζ \\ Sünde ξ cosch η cosch ζ & Sünde η cosch ζ & Sünde ζ & cosch ξ cosch η cosch ζ \end{matrix}] \end{aligned}$ $\begin{align} &\mathrm{L}^{\boldsymbol{-1}}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\boldsymbol{=}\mathrm{L}\left(\boldsymbol{-}\boldsymbol{\upsilon} \right)\boldsymbol{=}\mathrm{L}\left(\boldsymbol{-}\xi,\boldsymbol{-}\eta,\boldsymbol{-}\zeta \right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi\cosh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} &\dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \! \sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } &\dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \! \sinh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } & \!\sinh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta & \!\sinh\!\eta\cosh\!\zeta &\!\sinh\!\zeta & \cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{15}\label{15} \end{align}$}

Aus Gleichungen $\eqref{09}$ , $\eqref{11}$ Und $\eqref{15}$

\begin{aligned} R = Λ \cdot L^{- 1} = \\ [\begin{matrix} cosch ξ & 0 & 0 & - Sünde ξ \\ Sünde η Sünde ξ & cosch η & 0 & - Sünde η cosch ξ \\ Sünde ζ cosch η Sünde ξ & Sünde ζ Sünde η & cosch ζ & - Sünde ζ cosch η cosch ξ \\ - cosch ζ cosch η Sünde ξ & - cosch ζ Sünde η & - Sünde ζ & cosch ζ cosch η cosch ξ \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ {cosch}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde ξ cosch η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η Sünde η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} η {cosch}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde η cosch ζ \\ \frac{Sünde ξ cosch η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η cosch ζ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & Sünde ζ \\ Sünde ξ cosch η cosch ζ & Sünde η cosch ζ & Sünde ζ & cosch ξ cosch η cosch ζ \end{matrix}] = \\ (16) & [\begin{matrix} \frac{cosch ξ + cosch η cosch ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{Sünde ξ Sünde η cosch ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{Sünde ξ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 0 \\ \frac{Sünde ξ Sünde η}{1 + cosch ξ cosch η cosch η} & \frac{cosch η + cosch ζ cosch ξ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{cosch ξ Sünde η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 0 \\ \frac{Sünde ξ cosch η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch η} & \frac{cosch ζ + cosch ξ cosch η}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} &\mathrm{R}\boldsymbol{=}\Lambda\cdot\mathrm{L}^{\boldsymbol{-1}}\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\!\xi & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 &-\sinh\!\xi\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{-}\sinh\!\eta\sinh\!\xi & \hphantom{-}\cosh\!\eta & \hphantom{-}0 & -\sinh\!\eta\cosh\!\xi\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{-}\sinh\!\zeta\cosh\!\eta\sinh\!\xi & \hphantom{-}\sinh\!\zeta\sinh\!\eta &\hphantom{-} \cosh\!\zeta & -\sinh\!\zeta\cosh\!\eta\cosh\!\xi\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -\cosh\!\zeta\cosh\!\eta\sinh\!\xi & -\cosh\!\zeta\sinh\!\eta & -\sinh\!\zeta &\hphantom{-}\cosh\!\zeta\cosh\!\eta\cosh\!\xi\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi\cosh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} &\dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \! \sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\eta\cosh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } &\dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \! \sinh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\eta\cosh\!\zeta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^2\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta } & \!\sinh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!\sinh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta & \!\sinh\!\eta\cosh\!\zeta &\!\sinh\!\zeta & \cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix}\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\begin{bmatrix} \dfrac{\cosh\!\xi\!+\!\cosh\!\eta\cosh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\eta\cosh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\eta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\eta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\dfrac{\cosh\!\eta\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\cosh\!\xi\sinh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\eta} & \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{16}\label{16} \end{align}$ ^{$\begin{matrix} (17) & R = [\begin{matrix} \frac{cosch ξ + cosch η cosch ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{Sünde ξ Sünde η cosch ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{Sünde ξ Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} \\ \frac{Sünde ξ Sünde η}{1 + cosch ξ cosch η cosch η} & \frac{cosch η + cosch ζ cosch ξ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & - \frac{cosch ξ Sünde η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} \\ \frac{Sünde ξ cosch η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} & \frac{Sünde η Sünde ζ}{1 + cosch ξ cosch η cosch η} & \frac{cosch ζ + cosch ξ cosch η}{1 + cosch ξ cosch η cosch ζ} \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathcal R= \begin{bmatrix} \dfrac{\cosh\!\xi\!+\!\cosh\!\eta\cosh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\eta\cosh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\sinh\!\eta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\eta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\dfrac{\cosh\!\eta\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \boldsymbol{-}\dfrac{\cosh\!\xi\sinh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\xi\cosh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} & \dfrac{\sinh\!\eta\sinh\!\zeta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\eta} & \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta}{1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{17}\label{17} \end{equation}$} ^{$\begin{matrix} (18) & R = [\begin{matrix} \cos θ + (1 - \cos θ) M_{X}^{2} & (1 - \cos θ) M_{X} M_{j} + Sünde θ M_{z} & (1 - \cos θ) M_{X} M_{z} - Sünde θ M_{j} \\ (1 - \cos θ) M_{j} M_{X} - Sünde θ M_{z} & \cos θ + (1 - \cos θ) M_{j}^{2} & (1 - \cos θ) M_{j} M_{z} + Sünde θ M_{X} \\ (1 - \cos θ) M_{z} M_{X} + Sünde θ M_{j} & (1 - \cos θ) M_{z} M_{j} - Sünde θ M_{X} & \cos θ + (1 - \cos θ) M_{z}^{2} \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathcal R= \begin{bmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\mathrm{m}_{x}^2 & (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{x}\mathrm{m}_{y}+\sin\theta\mathrm{m}_{z} & (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{x}\mathrm{m}_{z}-\sin\theta\mathrm{m}_{y}\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{y}\mathrm{m}_{x}-\sin\theta\mathrm{m}_{z}& \cos\theta+(1-\cos\theta)\mathrm{m}_{y}^2 & (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{y}\mathrm{m}_{z}+\sin\theta\mathrm{m}_{x}\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{z}\mathrm{m}_{x}+\sin\theta\mathrm{m}_{y} & (1-\cos\theta)\mathrm{m}_{z}\mathrm{m}_{y}-\sin\theta\mathrm{m}_{x} & \cos\theta+(1-\cos\theta)\mathrm{m}_{z}^2\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{18}\label{18} \end{equation}$} ^{$\begin{aligned} 2 \cos θ + 1 = T R A C e (R) = \\ \frac{(cosch ξ + cosch η + cosch ζ) + (cosch ξ cosch η + cosch η cosch ζ + cosch ζ cosch ξ)}{(1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \\ (19) & \frac{(1 + cosch ξ) (1 + cosch η) (1 + cosch ζ) - (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)}{(1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \end{aligned}$ $\begin{align} & 2\cos\theta+1=\mathrm{trace}(\mathcal R)= \nonumber\\ &\dfrac{\left(\cosh\!\xi\!+\!\cosh\!\eta\!+\!\cosh\!\zeta\right)\!+\!\left(\cosh\!\xi\cosh\!\eta\!+\!\cosh\!\eta\!\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi\right)}{\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \nonumber\\ &\dfrac{\left(1\!+\!\cosh\!\xi\right)\left(1\!+\!\cosh\!\eta\right)\left(1\!+\!\cosh\!\zeta\right)-\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)}{\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \tag{19}\label{19} \end{align}$
$\begin{matrix} (20) & \cos θ = \frac{(1 + cosch ξ) (1 + cosch η) (1 + cosch ζ) - 2 (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)}{2 (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \end{matrix}$ $\begin{equation} \cos\theta=\dfrac{\left(1\!+\!\cosh\!\xi\right)\left(1\!+\!\cosh\!\eta\right)\left(1\!+\!\cosh\!\zeta\right)-2\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)}{2\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \tag{20}\label{20} \end{equation}$
$\begin{matrix} (21) & \cos θ = \frac{(1 + γ_{1}) (1 + γ_{2}) (1 + γ_{3}) - 2 (1 + γ_{1} γ_{2} γ_{3})}{2 (1 + γ_{1} γ_{2} γ_{3})}, γ_{ȷ} = {(1 - a_{ȷ})}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}$ $\begin{equation} \cos\theta=\dfrac{\left(1\!+\!\gamma_1\right)\left(1\!+\!\gamma_2\right)\left(1\!+\!\gamma_3\right)-2\left(1\!+\!\gamma_1\gamma_2\gamma_3\right)}{2\left(1\!+\!\gamma_1\gamma_2\gamma_3\right)}\,,\quad \gamma_{\jmath}=\left(1\!-\!\alpha_{\jmath}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}}\:\: \vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}} \tag{21}\label{21} \end{equation}$
$\begin{aligned} (22.1) & Sünde θ M_{X} & = - \frac{(1 + cosch ξ) Sünde η Sünde ζ}{2 (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \\ (22.2) & Sünde θ M_{j} & = + \frac{(1 + cosch η) Sünde ζ Sünde ξ}{2 (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \\ (22.3) & Sünde θ M_{z} & = - \frac{(1 + cosch ζ) Sünde η Sünde ξ}{2 (1 + cosch ξ cosch η cosch ζ)} \end{aligned}$ $\begin{align} \sin\theta\,\mathrm{m}_{x} & = \boldsymbol{-}\dfrac{\left(1\!+\!\cosh\!\xi\right)\sinh\!\eta\sinh\!\zeta}{2\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \tag{22.1}\label{22.1}\\ \sin\theta\,\mathrm{m}_{y} & = \boldsymbol{+}\dfrac{\left(1\!+\!\cosh\!\eta\right)\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{2\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \tag{22.2}\label{22.2}\\ \sin\theta\,\mathrm{m}_{z} & = \boldsymbol{-}\dfrac{\left(1\!+\!\cosh\!\zeta\right)\sinh\!\eta\sinh\!\xi}{2\left(1\!+\!\cosh\!\xi\cosh\!\eta\cosh\!\zeta\right)} \tag{22.3}\label{22.3} \end{align}$
$\begin{aligned} Sünde θ & = \frac{\sqrt{{(1 + γ_{1})}^{2} (γ_{2}^{2} - 1) (γ_{3}^{2} - 1) + {(1 + γ_{2})}^{2} (γ_{3}^{2} - 1) (γ_{1}^{2} - 1) + {(1 + γ_{3})}^{2} (γ_{1}^{2} - 1) (γ_{2}^{2} - 1)}}{2 (1 + γ_{1} γ_{2} γ_{3})} \\ (23) & γ_{ȷ} & = {(1 - a_{ȷ})}^{- \frac{1}{2}}, θ \in [0, π] \end{aligned}$ $\begin{align} \sin\theta & =\dfrac{\sqrt{\left(1\!+\!\gamma_1\right)^2\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_2\right)^2\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_3\right)^2\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)}}{2\left(1\!+\!\gamma_1\gamma_2\gamma_3\right)} \nonumber\\ \gamma_{\jmath} & =\left(1\!-\!\alpha_{\jmath}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}}\,,\quad \theta\in [0,\pi] \tag{23}\label{23} \end{align}$
$\begin{aligned} bräunen θ & = \frac{\sqrt{{(1 + γ_{1})}^{2} (γ_{2}^{2} - 1) (γ_{3}^{2} - 1) + {(1 + γ_{2})}^{2} (γ_{3}^{2} - 1) (γ_{1}^{2} - 1) + {(1 + γ_{3})}^{2} (γ_{1}^{2} - 1) (γ_{2}^{2} - 1)}}{(1 + γ_{1}) (1 + γ_{2}) (1 + γ_{3}) - 2 (1 + γ_{1} γ_{2} γ_{3})} \\ (24) & γ_{ȷ} & = {(1 - a_{ȷ})}^{- \frac{1}{2}}, θ \in [0, π] \end{aligned}$ $\begin{align} \tan\theta & =\dfrac{\sqrt{\left(1\!+\!\gamma_1\right)^2\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_2\right)^2\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_3\right)^2\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)}}{\left(1\!+\!\gamma_1\right)\left(1\!+\!\gamma_2\right)\left(1\!+\!\gamma_3\right)-2\left(1\!+\!\gamma_1\gamma_2\gamma_3\right)} \nonumber\\ \gamma_{\jmath} & =\left(1\!-\!\alpha_{\jmath}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}}\,,\quad \theta\in [0,\pi] \tag{24}\label{24} \end{align}$
$\begin{aligned} M & = \frac{[(1 + γ_{1}) {(γ_{2}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(γ_{3}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}, (1 + γ_{2}) {(γ_{3}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(γ_{1}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}, {(1 + γ_{3})}^{2} {(γ_{1}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(γ_{2}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\sqrt{{(1 + γ_{1})}^{2} (γ_{2}^{2} - 1) (γ_{3}^{2} - 1) + {(1 + γ_{2})}^{2} (γ_{3}^{2} - 1) (γ_{1}^{2} - 1) + {(1 + γ_{3})}^{2} (γ_{1}^{2} - 1) (γ_{2}^{2} - 1)}} \\ (25) & γ_{ȷ} & = {(1 - a_{ȷ})}^{- \frac{1}{2}}, θ \in [0, π] \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf{m} & =\dfrac{\biggl[\left(1\!+\!\gamma_1\right)\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\:\boldsymbol{,}\:\left(1\!+\!\gamma_2\right)\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\:\boldsymbol{,}\:\left(1\!+\!\gamma_3\right)^2\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)^{\boldsymbol{\frac12}}\biggr]}{\sqrt{\left(1\!+\!\gamma_1\right)^2\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_2\right)^2\left(\gamma_3^2\!-\!1\right)\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\!+\!\left(1\!+\!\gamma_3\right)^2\left(\gamma_1^2\!-\!1\right)\left(\gamma_2^2\!-\!1\right)}} \nonumber\\ \gamma_{\jmath} & =\left(1\!-\!\alpha_{\jmath}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}}\,,\quad \theta\in [0,\pi] \tag{25}\label{25} \end{align}$}

$==================================================$

Abbildung-02 3D

^{(1) siehe ANHANG C - Relativistische Addition von Geschwindigkeiten}

^{(2) siehe ANHANG B – Die Matrix L}

^{(3) Bauen $\:\boldsymbol{\alpha}\:$ aus $\:\boldsymbol{\beta}\:$}

Beeindruckend. Das ist viel Arbeit. Es wird eine Weile dauern, bis ich es verdauen kann, aber vielen Dank für Ihre Zeit.
@Frobenius Schön! Eine kleine Frage: Welche Software/Paket verwenden Sie für die Grafik?
@JC: GeoGebra. Einer seiner Vorteile ist das Einfügen von Gleichungen $\LaTeX$ .

Können wir einen allgemeinen Lorentz-Boost in eine Rotation zerlegen, gefolgt von drei Boosts entlang der Koordinatenachsen?

Giuseppe Negro

Dwagg

Giuseppe Negro

Benutzer178876

Frobenius

Giuseppe Negro

Frobenius

Frobenius

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Giuseppe Negro

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Ableitung von Lorentz-Transformationen

Beweis für die Eindeutigkeit der Transformation zwischen relativistischen Rahmen

Lorentz-Transformation, Problem bei der Ableitung

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Keine räumliche Ordnung in der 1+1D flachen Minkowski-Raumzeit?

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