Homogenität und Isotropie und Herleitung der Lorentz-Transformationen

In dieser netten Referenz geht der Autor vom Relativitätsprinzip + Homogenität + Isotropie aus und leitet die allgemeinen Koordinatentransformationen ab, die sowohl Lorentz- als auch Galileo-Transformationen enthalten. Weiterhin erlegt er das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit auf und beschränkt die Transformationen auf den Lorentz-Typ.

Die Antwort auf Ihre Frage hängt davon ab, was Sie mit "Referenzrahmen" oder "lokalem Labor" meinen. Beachten Sie außerdem, dass diese beiden Postulate in informeller Sprache formuliert sind, sodass es ziemlich viel Spielraum gäbe, wie sie in formale, axiomatische Sprache umgeformt werden.

Wenn Ihr lokales Labor groß genug ist, um messbare Inhomogenitäten zu überspannen, dann wird das Relativitätsprinzip von Galileo (der Unerkennbarkeit von Trägheitsbewegung innerhalb des eigenen Referenzrahmens und damit der Unabhängigkeit des physikalischen Gesetzes von Trägheitsbewegung) Bewegungen relativ zu diesen Inhomogenitäten erkennen. Dehnungsmessstreifen in Ihrem Raumschiff, die groß genug sind, um zum Beispiel die Gezeitenwirkung eines nahen Planeten zu spüren, wenn Sie sich an diesem vorbeibewegen.

Anisotropie ist jedoch anders - je nach Ursache kann sie unabhängig von Bewegung sein.

Aber das ist nicht das, was die Leute normalerweise mit dem Galileo-Prinzip meinen. Vor allem anderen müssen Sie eine mannigfaltige Struktur für Ihr lokales Stück Raumzeit annehmen und dass die Transformation zwischen Trägheitssystemen durch Koordinatentransformationen beschrieben werden kann. Der natürliche Rahmen für eine Diskussion wie Ihre wäre also in einem Bereich der Mannigfaltigkeit, der klein genug ist, um sich wie der Tangentialraum zu verhalten / klein genug, um Inhomogenitäten klein zu machen.

Wenn Sie nur Mannigfaltigkeiten, Koordinaten und Koordinatentransformationen annehmen, die durch Relativbewegung bewirkt werden, dann gibt Ihnen das Galilei-Prinzip zwei Dinge:

1. Es zeigt, dass die Transformation nur von der Relativgeschwindigkeit abhängen kann;
2. Es vervollständigt die Gruppenstruktur für die Transformationen, indem es Assoziativität erzwingt.

Um das informelle Galileo-Prinzip für die Zwecke Ihrer Diskussion in ein formales Axiom zu codieren, würden Sie wahrscheinlich als Axiom annehmen, dass die Transformation nur von der relativen Geschwindigkeit abhängen sollte.

Sie müssten dann Ihre Homogenitätsannahme als separates formales Axiom angeben, aber wie wir oben argumentiert haben, können Sie eine informelle Begründung dafür geben, dass sowohl die relative Geschwindigkeit allein als auch die Homogenität im Galileo-Prinzip enthalten sind. Das Galileo-Prinzip würde also als etwas wie die folgenden Axiome kodiert werden:

1. Axiom der Mannigfaltigkeitsstruktur;
2. Transformationen zwischen Trägheitssystemen werden durch Koordinatentransformationen beschrieben;
3. Transformationen hängen allein von der Relativgeschwindigkeit ab;
4. Homogenität.

Sie brauchen etwas anderes, um die Linearität zu beweisen: dass die Koordinatentransformationen, die durch die relative Trägheitsbewegung bewirkt werden, kontinuierliche Funktionen der Raumzeitkoordinaten sind. Sie könnten Kontinuität in Punkt 2 oben aufnehmen, aber ich würde argumentieren, dass dies dem Geist des Galileo-Prinzips etwas weiter entspricht - wie klar ist, hängt alles davon ab, wie Sie die informelle Aussage in Axiome codieren.

Aus den vier obigen Axiomen folgt zusammen mit der Kontinuität der Abhängigkeit von den Raumzeitkoordinaten die Linearität, wie ich in meiner Antwort auf diese letzte Woche hier gestellte Frage erörtere.

Hat man einmal die Linearität (und damit die Transformationen durch eine lineare Matrixgruppe beschrieben) und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit angenommen, dann muss man noch andere Dinge annehmen, um zur Lorentz-Transformation zu kommen. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet im Wesentlichen, dass die Eigenvektoren der$2\times2$Matrix der eindimensionalen Lorentz-Transformation sind von der Form$(1,\,\pm c)$, die wiederum eine Matrix der Form implizieren:

und dann müssen Sie eine räumliche Isotropie annehmen, die sich durchsetzt$\Lambda(-v) = \Lambda(v)^{-1}$(das sogenannte relativistische Reziprozitätsprinzip, und es bedeutet, dass ein Boost in entgegengesetzte Richtungen die gleiche Transformation mit einem Richtungszeichenwechsel in den entsprechenden Elementen ist). Dann müssen Sie darüber hinaus Kausalität annehmen, um zur Lorentz-Transformation zu gelangen: Siehe zum Beispiel die "From group postulates" auf der Wikipedia-Seite "Derivations of the Lorentz transformations" , um die Mechanismen zu sehen, wie dies ausgearbeitet werden kann .

Alternativ kann man das zweite Postulat (Konstanz von$c$) und nehmen stattdessen Isotropie, Kontinuität der Transformation in ihrer Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit und Kausalität an, um auf die Existenz einer Geschwindigkeit zu schließen , die in allen Inertialsystemen immer gleich gemessen wird (fast - diese Annahmen lassen auch die Galileischen Transformationen zu, die werden experimentell ausgeschlossen). Dies ist der Ansatz von Ignatowski und ich erörtere ihn in meiner Antwort hier .