Beweis für die Eindeutigkeit der Transformation zwischen relativistischen Rahmen

Vorausgesetzt

1. Das Relativitätsprinzip (dass die Gesetze der Physik in allen Inertialsystemen gleich sind),
2. Die Isotropie und Homogenität des Raumes,
3. Die Transformationen bilden eine Gruppe, und
4. Kausalität beachten,

liefert die Lorentz-Transformationen mit einem freien Parameter C, der eine maximale Geschwindigkeit angibt. Wenn C unendlich ist, erhalten Sie die Galileische Gruppe, während Sie für C endlich die üblichen Lorentz-Transformationen erhalten. (C wird später physikalisch mit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum identifiziert, wenn man akzeptiert, dass das Photon masselos ist).

Es gibt also nur zwei Möglichkeiten unter den obigen vier Annahmen. Die Ableitung wurde viele Male wiederentdeckt, seit Ignatowski 1910 etwas Ähnliches getan hat, siehe zB http://o.castera.free.fr/pdf/One_more_derivation.pdf

Wenn Sie eine der obigen Annahmen lockern, erhalten Sie Verallgemeinerungen, die bei der Suche nach möglichen Abweichungen von der speziellen Relativitätstheorie nützlich sein könnten. Siehe zB https://arxiv.org/abs/1302.5989

Die Antwort auf Ihre Frage hängt genau davon ab, welche physikalischen Gesetze Ihre Transformationen bewahren sollen, und es hängt auch davon ab, wie Sie den Ausdruck "Lorentz-Transformation" definieren.

Wenn Sie zum Beispiel verlangen, dass Ihre Lorentz-Transformationen linear sind, dann sind sie nicht die einzigen Transformationen, die den Lichtkegel erhalten. Eine weitere solche Transformation ist:

Zählt diese Transformation als eine, die "die Gesetze der Physik bewahrt"? Wir können es erst wissen, wenn Sie genau angeben, welche Gesetze Sie beibehalten möchten.

Es gibt noch ein weiteres verwandtes Problem: Obwohl Sie nach einzelnen Transformationen gefragt haben, interessiert Sie wahrscheinlich am meisten die Funktion , die jeder Geschwindigkeit eine Transformation zuordnet$L_v$. Neben der Frage nach den Eigenschaften der zulässigen einzelnen Transformationen interessieren Sie sich wahrscheinlich auch für die Eigenschaften dieser Funktion. Zum Beispiel werden Sie sehr wahrscheinlich wollen$L_{v^{-1}}=L_v$für alle$v$. Vielleicht möchten Sie auch die Aufgabe$v\mapsto L_v$stetig oder differenzierbar sein. Diese Bedingungen können dazu führen, dass die möglichen Werte für eingeschränkt werden$L_v$.

Wenn Sie jedes benötigen$L_v$eine differenzierbare Funktion von sein$x$Und$t$, und wenn Sie die Zuordnung benötigen$v\mapsto L_v$auch differenzierbar sein, und wenn Sie einige natürliche Symmetrien auferlegen und wenn Sie verlangen, dass die Reihenfolge der Ereignisse beibehalten wird, dann sollten Sie in der Lage sein, dies zu zeigen (einfach durch Differenzieren der offensichtlichen Ausdrücke und Manipulieren).$L_v$muss linear sein (und damit ein Element der üblichen Lorentzgruppe). Möglicherweise können Sie auch einige dieser Annahmen fallen lassen und durch andere Annahmen ersetzen, die den Geschmack von "dieses und jenes Gesetz der Physik muss bewahrt werden" haben. Aber auch das hängt davon ab, welche Gesetze Sie genau im Sinn haben, und solange Sie sie nicht eindeutig angeben, kann es keine eindeutige Antwort auf Ihre Frage geben.