Invarianz des Raumzeitintervalls direkt vom Postulat

Question

Invarianz des Raumzeitintervalls direkt vom Postulat

Thomas Bakx

In der Speziellen Relativitätstheorie das Raumzeitintervall

\begin{matrix} (⋆) & D S^{2} = D T^{2} - D X^{2} - D j^{2} - D z^{2} \end{matrix}

$\mbox{d}s^2 = \mbox{d}t^2 - \mbox{d}x^2 - \mbox{d}y^2 - \mbox{d}z^2 \tag{$\star$}$ zwischen zwei Ereignissen ist bekanntlich unter Lorentz-Transformationen invariant, dh für Trägheitsbeobachter identisch.

Wenn man davon ausgeht, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Trägheitsbeobachter konstant ist, sieht man das leicht $(\star)$ ist in der Tat invariant, wenn die Ereignisse lichtartig getrennt sind. Wenn ich mich recht entsinne, konnte man das dann auch (Homogenität und Isotropie des Raumes vorausgesetzt) herleiten $(\star)$ muss für beliebige Ereignisse (also auch solche, die zeitlich oder räumlich getrennt sind) invariant sein, aber ich erinnere mich nicht an die Details.

Kann mir jemand dabei helfen?

AccidentalFourierTransform

IIRC, es gibt eine (fragwürdige?) Ableitung auf Landau&Lifshitz. Etwas über Differentiale zweiter Ordnung, die aus irgendeinem Grund proportional sind. Ich erinnere mich nicht an die Einzelheiten.

Thomas Bakx

Ja, ich weiß ... Ich habe das auf einer Wiki-Seite gelesen, aber ich konnte es nicht mehr finden. In welchem Buch genau? Man würde argumentieren, dass sich die Differentiale durch eine Konstante unterscheiden, die nur von der Größe der Geschwindigkeit (durch Isotropie des Raums) abhängen kann, und dann eine Art Transitivitätsargument mit dem Kosinusgesetz anstellen.

Thomas Bakx

Hier ist es unter „Invarianz des Intervalls“: en.wikipedia.org/wiki/… . Ich verstehe nicht wirklich, warum das Argument speziell mit Infinitesimalen gemacht werden muss, weil wir bereits wissen, dass die „lichtähnliche“ Gleichheit im allgemeinen (nicht unendlich kleinen) Fall wahr ist.

Benutzer4552

Eine Behandlung in diesem Stil ist Palash Pal, „Nothing but relativity“, arxiv.org/abs/physics/0302045

youpilat13

@BenCrowell Die Behandlung von Pal basiert zwar auf Homogenitäts- und Isotropieanforderungen, leitet jedoch sowohl die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit als auch die Invarianz der Metrik auf einen Schlag ab. Es zeigt nicht explizit, wie die Invarianz der Metrik, die nicht garantiert ist, wenn wir nur die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit postulieren, garantiert wird , wenn wir weiterhin die Homogenitäts- und Isotropieanforderungen postulieren. Korrigieren Sie mich, wenn ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.

Antworten (1)

Invarianz des Raumzeitintervalls direkt vom Postulat

IIRC, es gibt eine (fragwürdige?) Ableitung auf Landau&Lifshitz. Etwas über Differentiale zweiter Ordnung, die aus irgendeinem Grund proportional sind. Ich erinnere mich nicht an die Einzelheiten.
Ja, ich weiß ... Ich habe das auf einer Wiki-Seite gelesen, aber ich konnte es nicht mehr finden. In welchem Buch genau? Man würde argumentieren, dass sich die Differentiale durch eine Konstante unterscheiden, die nur von der Größe der Geschwindigkeit (durch Isotropie des Raums) abhängen kann, und dann eine Art Transitivitätsargument mit dem Kosinusgesetz anstellen.
Hier ist es unter „Invarianz des Intervalls“: en.wikipedia.org/wiki/… . Ich verstehe nicht wirklich, warum das Argument speziell mit Infinitesimalen gemacht werden muss, weil wir bereits wissen, dass die „lichtähnliche“ Gleichheit im allgemeinen (nicht unendlich kleinen) Fall wahr ist.
Eine Behandlung in diesem Stil ist Palash Pal, „Nothing but relativity“, arxiv.org/abs/physics/0302045
@BenCrowell Die Behandlung von Pal basiert zwar auf Homogenitäts- und Isotropieanforderungen, leitet jedoch sowohl die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit als auch die Invarianz der Metrik auf einen Schlag ab. Es zeigt nicht explizit, wie die Invarianz der Metrik, die nicht garantiert ist, wenn wir nur die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit postulieren, garantiert wird , wenn wir weiterhin die Homogenitäts- und Isotropieanforderungen postulieren. Korrigieren Sie mich, wenn ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.

Frobenius · Answer 1

Wie AccidentalFourierTransform darauf hingewiesen hat, wird die Antwort in "The Classical Theory of Fields" , LDLandau und EMLifshitz, vierte überarbeitete englische Ausgabe, gegeben. Kopieren Einfügen :

$\boldsymbol{\S}\: \textbf{2. Intervals}$

Im Folgenden werden wir häufig.......

...................

Wie bereits gezeigt, wenn $\:ds=0\:$ in einem Inertialsystem also $\:ds'=0\:$ in jedem anderen System. Andererseits, $\:ds\:$ Und $\:ds'\:$ sind Infinitesimale derselben Ordnung. Aus diesen beiden Bedingungen folgt das $\:ds^2\:$ Und $\:ds'^{\,2}\:$ müssen zueinander proportional sein:
$D S^{2} = A D S^{' 2}$ $\begin{equation*} ds^2=a ds'^{\,2} \end{equation*}$ wo der Koeffizient $\:a\:$ kann nur vom absoluten Wert der Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsysteme abhängen. Sie kann nicht von den Koordinaten oder der Zeit abhängen, da dann verschiedene Raumpunkte und verschiedene Zeitpunkte nicht äquivalent wären, was der Homogenität von Raum und Zeit widersprechen würde. Ebenso kann es nicht von der Richtung der Relativgeschwindigkeit abhängen, da dies der Isotropie des Raumes widersprechen würde.

Betrachten wir drei Bezugssysteme $\:K,K_1,K_2\:$ und lass $\:\boldsymbol{V}_{1}\:$ Und $\:\boldsymbol{V}_{2}\:$ seien die Geschwindigkeiten von Systemen $\:K_1\:$ Und $\:K_2\:$ relativ zu $\:K$ . Wir haben dann:
$D S^{2} = A (v_{1}) D S_{1}^{2}, D S^{2} = A (v_{2}) D S_{2}^{2}$ $\begin{equation*} ds^2=a\left(\boldsymbol{V}_{1}\right) ds_{1}^{2}\,, \quad ds^2=a\left(\boldsymbol{V}_{2}\right)ds_{2}^{2} \end{equation*}$ Ähnlich können wir schreiben $D S_{1}^{2} = A (v_{12}) D S_{2}^{2},$ $\begin{equation*} ds_{1}^{2}=a\left(\boldsymbol{V}_{12}\right)ds_{2}^{2} \,, \end{equation*}$ Wo $\:\boldsymbol{V}_{12}\:$ ist der Absolutwert der Geschwindigkeit von $\:K_2\:$ relativ zu $\:K_1$ . Wenn wir diese Beziehungen miteinander vergleichen, finden wir, dass wir haben müssen $\begin{matrix} (2.5) & \frac{A (v_{2})}{A (v_{1})} = A (v_{12}) . \end{matrix}$ $\begin{equation} \dfrac{a\left(\boldsymbol{V}_{2}\right)}{a\left(\boldsymbol{V}_{1}\right)}= a\left(\boldsymbol{V}_{12}\right). \tag{2.5}\label{eq2.5} \end{equation}$ Aber $\:\boldsymbol{V}_{12}\:$ hängt nicht nur von den absoluten Werten der Vektoren ab $\:\boldsymbol{V}_{1}\:$ Und $\:\boldsymbol{V}_{2}\:$ , sondern auch auf den Winkel zwischen ihnen. Dieser Winkel erscheint jedoch nicht auf der linken Seite der Formel $\eqref{eq2.5}$ . Es ist daher klar, dass diese Formel nur richtig sein kann, wenn die Funktion $\:a\left(\boldsymbol{V}\right)\:$ reduziert sich auf eine Konstante, die nach derselben Formel gleich Eins ist. Daher, $\begin{matrix} (2.6) & D S^{2} = D S^{' 2}, \end{matrix}$ $\begin{equation} ds^2= ds'^{\,2}\,, \tag{2.6}\label{eq2.6} \end{equation}$ und aus der Gleichheit der infinitesimalen Intervalle folgt die Gleichheit der endlichen Intervalle: $\:s=s'$ .

Damit kommen wir zu einem sehr wichtigen Ergebnis: Der Abstand zwischen zwei Ereignissen ist in allen Inertialbezugssystemen gleich, dh er ist bei der Transformation von einem Inertialsystem in ein anderes invariant. Diese Invarianz ist der mathematische Ausdruck der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Danke für das Teilen des Abschnitts. Ich nehme an, sobald wir das wissen $a$ hängt nur von der Geschwindigkeit ab, der Rest ist ziemlich klar. Das definierte Raumzeitintervall ist bei Drehungen im 3-Raum unveränderlich, wenn also ein Beobachter seine Koordinaten dreht, sollte dies den Ausdruck für nicht ändern $a$ . Ich verstehe nicht, wie Homogenität von Raum und Zeit Abhängigkeit von impliziert $v$ allerdings nur. Irgendwelche Gedanken?
@Thomas Bakx: Lesen Sie den Absatz unter der ersten Gleichung sorgfältig durch.
Das habe ich, aber ich glaube, ich verfehle den Punkt. Worum geht es $\frac{ds^2}{ds'^2}$ das macht diese Arbeit? Es scheint, als könnte ich einfach eine andere Funktion einfügen und argumentieren, dass der Quotient "ungestrichen" / "grundiert" aufgrund der Homogenität nicht von Raum und Zeit abhängen kann ... Ich hoffe, das verdeutlicht mein Problem. Wenn ich das richtig verstehe, besagt die Homogenität von Raum und Zeit (mehr oder weniger), dass jede unveränderliche physikalische Größe nur von den Unterschieden zwischen Koordinaten abhängen kann. Dies macht das vorgeschlagen $ds^2$ zumindest vernünftig erscheinen.
@ThomasBakx Worum geht es $\dfrac{ds^2}{ds'^2}$ das macht diese Arbeit? Ich würde nichts sagen. Es würde für absolut zwei beliebige Mengen funktionieren, die gleichzeitig verschwinden müssen. Aber klarerweise müssten nur diese spezifisch konstruierten Größen gleichzeitig verschwinden, solange wir nur eine invariante Geschwindigkeit postulieren.
Warum $a$ würde nicht von den Koordinaten abhängen: Wir haben $ds^2=a ds'^2$ . Das heißt, wir haben $\eta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta=a\eta_{\mu '\nu '}dx'^\mu dx'^\nu$ . Nun, es sei denn $a$ eine Konstante ist, ist nicht sichergestellt, dass jeder $\dfrac{\partial^2x'^\mu}{\partial x^\alpha \partial x^\beta}$ verschwindet. Aber wir wollen, dass sie alle aus Gründen der Homogenität verschwinden. Somit bewiesen.
Ich verstehe. Indem wir die Homogenität des Raums verwenden, folgern wir also, dass alle Transformationen tatsächlich \textit{affin} sein müssen, nicht unbedingt linear (wir müssen den Ursprung nicht festlegen), aber so oder so, die Teiltöne zweiter Ordnung sind Null, oder, entsprechend sind die Teiltöne erster Ordnung konstant (unabhängig von Raum und Zeit). Man kann dann einfach die Basisvektoren eines Rahmens (z. B. die nicht gestrichenen Koordinaten) in die Metrik einspeisen und dies beobachten $dx'^{\mu}(\partial\alpha) = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^{\alpha}} = \Lambda_{\alpha} ^{\mu}$ .

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