Lorentz-Transformation, Problem bei der Ableitung

Es gibt drei Arten von Transformationen, die das Raumzeitintervall bewahren.

• Boosts : Dies sind Transformationen wie die, die Sie gegeben haben. Sie transformieren zwischen relativ zueinander bewegten Systemen gleichen Ursprungs. Wenn wir Raumzeitkoordinaten als Spaltenvektoren schreiben, z

  $$X = \left( \begin{matrix} t \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right),$$ dann sind Lorentz-Boosts von der Form$X \rightarrow X' = \Lambda X$Wo$\Lambda$ist ein$4\times4$Matrix gehorcht$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$Wo$\eta$ist die Metrik. Beispielsweise wird der Lorentz-Boost in Ihrer Frage durch die Matrix angegeben $$\Lambda = \left( \begin{matrix} \gamma & -\gamma v_0 & 0 & 0 \\ -\gamma v_0 & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right).$$ (Hier haben wir eingestellt$c=1$.)

• Rotationen : Dies sind Transformationen zwischen unterschiedlich orientierten Systemen, die ebenfalls überlappende Ursprünge, aber keine Relativbewegung haben. Es gibt keinen Unterschied zwischen Drehungen in der speziellen Relativitätstheorie und Drehungen in der gewöhnlichen Mechanik. Sie sind von der Form$X' = RX$Wo

  $$R = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & O \\ \end{matrix} \right)$$ Und$O$ist ein$3\times3$Matrix zufriedenstellend$O^TO = I$Und$\det(O) = 1.$ $O$ist nur eine normale räumliche Rotationsmatrix. Beachte das$R$wirkt nur auf die räumlichen Koordinaten und Blätter$t$unverändert.

• Translationen : Dies sind Transformationen zwischen Systemen mit unterschiedlichen Ursprüngen, aber ohne relative Bewegung oder unterschiedliche Orientierung. Sie sind von der Form$X' = X + C$Wo$C$ist nur ein konstanter Spaltenvektor.

Die allgemeinste Art der Transformation, die das Raumzeitintervall bewahrt, kann Boosts, Rotationen und Translationen kombinieren. Wenn Sie beispielsweise zwischen zwei Systemen mit unterschiedlichen Ursprüngen transformieren möchten, die sich mit relativer Geschwindigkeit bewegen, kombinieren Sie einfach einen Boost mit einer Translation:

Dies ist in der Tat genau das, was Sie vermutet haben, und Ihre endgültigen Gleichungen sind korrekt.

Was die Terminologie betrifft, werden die ersten beiden Transformationen (Boosts und Rotationen) als Lorentz-Transformationen bezeichnet. Die Menge aller Lorentz-Transformationen heißt Lorentz-Gruppe und wird mit bezeichnet$SO(1,3)$. Die Menge, die sowohl Lorentz-Transformationen als auch Translationen enthält, wird als Poincare-Gruppe bezeichnet.

Um eine weniger "gruppige" Antwort zu geben: Denken Sie immer zuerst an das 3D-Analog zu dem, was Sie in 4D tun. In 3D haben wir also diese Translationen und Rotationen, die lineare Transformationen erhalten$x^2 + y^2 + z^2;$in 4D haben wir zusätzlich diese "Boosts" und alle drei sind lineare Transformationen, die erhalten bleiben$w^2 - x^2 - y^2 - z^2$Wo$w = c t.$Also einfach den Boost auf eine Rotation „downgraden“ und sich fragen, was man in 3D machen würde.

In 3D kennen wir also diese wirklich einfachen Rotationsmatrizen$R$um einen Vektor um den Ursprung zu drehen. Was tun Sie, wenn Sie Ihre Punkte um einen Punkt drehen möchten?$\vec r_0$das ist nicht der ursprung? Du bildest etwas Kompliziertes,$\vec r' = \vec r_0 + R(\vec r - \vec r_0),$wo Sie zuerst Ihre Koordinaten zum Ursprung übersetzen, dann drehen und dann zurückübersetzen, damit z$\vec r = \vec r_0$wir haben auch$\vec r' = \vec r_0.$Und dieses Verfahren funktioniert genauso gut für Lorentz-Boosts,$r_2^\mu = r_0^\mu + L^\mu_{~~\nu} (r_1^\nu - r_0^\nu).$

Beachten Sie jedoch auch, dass die Drehung um den Punkt, der nicht der Ursprung ist, wirklich desorientierend ist, wenn Sie sich am Ursprung befinden. Jetzt werden alle Dinge, über die Sie lokal sprechen, zu einem seltsamen Punkt gedreht$\vec p = (I - R) ~\vec r_0,$sehr schwer zu bedienen.

In der Praxis wählen wir also in 3D und 4D einen für uns hilfreichen Ursprung: In 3D ist es normalerweise ein Punkt auf einem Objekt, den wir im Auge behalten; In 4D ist es normalerweise ein augenblickliches Ereignis, bei dem sich beide Beobachter darauf einigen können, dass es passiert ist. Und obwohl beide Beobachter dies für die anderen Punkte etwas ungeschickt finden, erhalten wir eine wirklich schöne Übersetzung zwischen ihnen, die die Mathematik supereinfach macht.