Allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation

Question

Allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation

Benutzer3604362

Ich habe gerade einen Einführungskurs in die Relativitätstheorie abgeschlossen und versuche, die allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation zu finden. Ich bin dieser Frage schon nachgegangen , konnte aber nicht viel damit anfangen.

Grundsätzlich wissen wir, dass für einen Raumvektor, der einen Rahmen S und S' verknüpft, gilt:

[\begin{matrix} C T \\ X \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ & γ β \\ γ β & γ \end{matrix}] [\begin{matrix} C T^{'} \\ X^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \end{bmatrix} \end{equation}$ Dazu vereinfache ich

x = L_{1} x^{'}

$x = L_1 x'$ . Mein Gedanke ist daher, dass, wenn sich S' von S in zwei Raumkoordinaten bewegt (

x

$x$ Und

y

$y$ ), dann kann ich zuerst einziehen

x

$x$ und dann hinein

y

$y$ , so dass

x = L_{1} L_{2} x^{'}

$x=L_1 L_2 x'$ , wo drin

L_{1}

$L_1$ Ich behalte die

y

$y$ koordinieren fest, und in

L_{2}

$L_2$ Ich halte die x-Koordinate fest. Ausschreiben wäre:

[\begin{matrix} C T \\ X \\ j \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{X} & γ_{X} β_{X} & 0 \\ γ_{X} β_{X} & γ_{X} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ_{j} & 0 & γ_{j} β_{j} \\ 0 & 1 & 0 \\ γ_{j} β_{j} & 0 & γ_{j} \end{matrix}] [\begin{matrix} C T^{'} \\ X^{'} \\ j^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x & \gamma_x \beta_x & 0\\ \gamma_x \beta_x & \gamma_x & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_y & 0 &\gamma_y \beta_y\\ 0 & 1 & 0\\ \gamma_y \beta_y & 0& \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$

[\begin{matrix} C T \\ X \\ j \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{X} γ_{j} & γ_{X} β_{X} & γ_{X} γ_{j} β_{j} \\ γ_{X} β_{X} γ_{j} & γ_{X} & γ_{X} β_{X} γ_{j} β_{j} \\ γ_{j} β_{j} & 0 & γ_{j} \end{matrix}] [\begin{matrix} C T^{'} \\ X^{'} \\ j^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_x \gamma_y & \gamma_x \beta_x & \gamma_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_x \beta_x \gamma_y & \gamma_x & \gamma_x \beta_x \gamma_y \beta_y\\ \gamma_y \beta_y & 0 & \gamma_y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \end{bmatrix} \end{equation}$ Für mich sieht das alles ganz ordentlich aus, aber wenn ich versuche, es auf die Velocity-Addition anzuwenden, erhalte ich falsche Ergebnisse. Soweit ich es erkennen konnte, ist die Null in der letzten 3x3-Matrix falsch (die auch nicht verschwindet, wenn ich auch eine z-Koordinate hinzufüge ... ).

Ich hoffe daher, dass mir jemand sagen kann, wo ich etwas falsch mache, wenn ich versuche, eine allgemeinere Lorentz-Matrix-Gleichung zu erstellen. Ich habe auf Wikipedia eine große Matrixgleichung gefunden , aber weil sie anfängt, über Rotationen und so weiter zu sprechen, und außerdem nicht zeigt, wie die Komponenten zusammengesetzt sind, habe ich sie vorerst verworfen.

(Falls dies richtig ist und mein Gefühl, dass ich es falsch verstanden habe, aufgrund der von mir angewandten Geschwindigkeitsadditionsmethode falsch ist, lassen Sie es mich wissen, und ich kann diese Methode auch näher erläutern.)

Bill N

Klassische Elektrodynamik von JD Jackson skizziert dies. Grundsätzlich gibt es eine einzige

γ

$\gamma$ und drei Geschwindigkeitskomponenten, und Sie müssen infinitesimale Rotationsmatrizen berücksichtigen. Überprüfen Sie dies: Wenn Ihre

L_{1}

$L_1$ Und

L_{2}

$L_2$ Pendeln Sie nicht, Sie führen die Transformation nicht richtig durch, um ein allgemeines 3D-Ergebnis zu erhalten. Und sie pendeln nicht.

Frobenius

Die Zusammensetzung zweier 1-Raum-dimensionaler Lorentz-Transformationen (offensichtlich entlang derselben Achse) ist ebenfalls eine 1-Raum-dimensionale Lorentz-Transformation. Aber die Zusammensetzung einer 1-Raum-dimensionalen Lorentz-Transformation entlang

x -

$\:x-$ Achse und einer 1-Raum-dimensionalen Lorentz-Transformation entlang

y^{'} -

$\:y'\!-$ Achse ist eine 2-Raum-dimensionale Lorentz-Transformation plus eine Drehung.

Benutzer3604362

@Frobenius, das macht tatsächlich Sinn. Ich frage mich nur, wie man eine vierdimensionale Drehung durchführen würde (falls ich sie auch um die z-Koordinate erweitern würde).

Frobenius

... die Rotation ist in diesem Fall 2-dimensional. Ich bereite einen neuen Kommentar vor. Sei geduldig.

Frobenius

In meiner Antwort als "user82794" darin: Zwei Sätze von Koordinaten jeweils in den Frames OO und O'O' (Lorentz-Transformation) und in ABSCHNITT B erzeuge ich eine allgemeinere Lorentz-Transormation aus der 1-Raum-dimensionalen. Meine Ergebnisse sind identisch mit denen, die ohne Beweis in "CLASSICAL ELECTRODYNAMICS" von JDJackson, 3. Auflage, §§ 11.3 angegeben sind.

Frobenius

\begin{aligned} (A-01a) & X^{'} & = X + (γ - 1) (N \cdot X) N - γ v T \\ (A-01b) & T^{'} & = γ (T - \frac{v \cdot X}{C^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ Wo

n = \frac{v}{‖ v ‖}

$\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .

Benutzer3604362

@Frobenius, danke! Ich werde es durcharbeiten, aber es sieht vielversprechend aus!

Benutzer3604362

@Frobenius, ich gehe nur auf meine Idee und Ihren Kommentar zurück, einen Rotationsterm hinzufügen zu müssen: Berücksichtige ich die Rotation nicht bereits, wenn ich den LT in y definiere, sodass x konstant bleibt? Die Art und Weise, wie ich es zusammengestellt habe, ist die Geschwindigkeitsaddition, so dass wir uns von einem Frame S nach S' entlang der x-Achse bewegen (ein LT in x), dann von S' nach S'', wo sich S'' in bewegt y-Richtung (und damit ein LT in y). Da LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), hätte ich meine Idee für richtig gehalten.

Antworten (1)

Allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation

Klassische Elektrodynamik von JD Jackson skizziert dies. Grundsätzlich gibt es eine einzige $\gamma$ und drei Geschwindigkeitskomponenten, und Sie müssen infinitesimale Rotationsmatrizen berücksichtigen. Überprüfen Sie dies: Wenn Ihre $L_1$ Und $L_2$ Pendeln Sie nicht, Sie führen die Transformation nicht richtig durch, um ein allgemeines 3D-Ergebnis zu erhalten. Und sie pendeln nicht.
Die Zusammensetzung zweier 1-Raum-dimensionaler Lorentz-Transformationen (offensichtlich entlang derselben Achse) ist ebenfalls eine 1-Raum-dimensionale Lorentz-Transformation. Aber die Zusammensetzung einer 1-Raum-dimensionalen Lorentz-Transformation entlang $\:x-$ Achse und einer 1-Raum-dimensionalen Lorentz-Transformation entlang $\:y'\!-$ Achse ist eine 2-Raum-dimensionale Lorentz-Transformation plus eine Drehung.
@Frobenius, das macht tatsächlich Sinn. Ich frage mich nur, wie man eine vierdimensionale Drehung durchführen würde (falls ich sie auch um die z-Koordinate erweitern würde).
... die Rotation ist in diesem Fall 2-dimensional. Ich bereite einen neuen Kommentar vor. Sei geduldig.
In meiner Antwort als "user82794" darin: Zwei Sätze von Koordinaten jeweils in den Frames OO und O'O' (Lorentz-Transformation) und in ABSCHNITT B erzeuge ich eine allgemeinere Lorentz-Transormation aus der 1-Raum-dimensionalen. Meine Ergebnisse sind identisch mit denen, die ohne Beweis in "CLASSICAL ELECTRODYNAMICS" von JDJackson, 3. Auflage, §§ 11.3 angegeben sind.
$\begin{aligned} (A-01a) & X^{'} & = X + (γ - 1) (N \cdot X) N - γ v T \\ (A-01b) & T^{'} & = γ (T - \frac{v \cdot X}{C^{2}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{A-01a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{A-01b} \end{align}$ Wo $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ .
@Frobenius, danke! Ich werde es durcharbeiten, aber es sieht vielversprechend aus!
@Frobenius, ich gehe nur auf meine Idee und Ihren Kommentar zurück, einen Rotationsterm hinzufügen zu müssen: Berücksichtige ich die Rotation nicht bereits, wenn ich den LT in y definiere, sodass x konstant bleibt? Die Art und Weise, wie ich es zusammengestellt habe, ist die Geschwindigkeitsaddition, so dass wir uns von einem Frame S nach S' entlang der x-Achse bewegen (ein LT in x), dann von S' nach S'', wo sich S'' in bewegt y-Richtung (und damit ein LT in y). Da LT(S->S')LT(S'->S'') = LT(S->S''), hätte ich meine Idee für richtig gehalten.

Frobenius · Answer 1

Aus Abbildung 01:

Lorentztransformation aus $\:\mathrm{S}\equiv \{xy\eta, \eta=ct\}\:$ Zu $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$

\begin{matrix} (01) & [\begin{matrix} X_{1} \\ j_{1} \\ η_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cosch ζ & 0 & - Sünde ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ζ & 0 & cosch ζ \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ j \\ η \end{matrix}], Tanh ζ = \frac{u}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \eta \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\zeta=\dfrac{u}{c} \tag{01} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (01") & X_{1} = L_{1} X, L_{1} = [\begin{matrix} cosch ζ & 0 & - Sünde ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ζ & 0 & cosch ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\,, \qquad \mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{01"} \end{equation}$

Aus Abbildung 02:

Lorentztransformation aus $\:\mathrm{S_{1}}\equiv \{x_{1}y_{1}\eta_{1}, \eta_{1}=ct_{1}\}\:$ Zu $\:\mathrm{S_{2}}\equiv \{x_{2}y_{2}\eta_{2}, \eta_{2}=ct_{2}\}\:$

\begin{matrix} (02) & [\begin{matrix} X_{2} \\ j_{2} \\ η_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cosch ξ & - Sünde ξ \\ 0 & - Sünde ξ & cosch ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1} \\ j_{1} \\ η_{1} \end{matrix}], Tanh ξ = \frac{w}{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ \eta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \eta_{1} \end{bmatrix} \,, \quad \tanh\xi=\dfrac{w}{c} \tag{02} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (02") & X_{2} = L_{2} X_{1}, L_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cosch ξ & - Sünde ξ \\ 0 & - Sünde ξ & cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}\,, \qquad \mathrm{L_{2}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{02"} \end{equation}$ Beachten Sie, dass aufgrund der Standardkonfigurationen die Matrizen

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$ sind reell symmetrisch.

Aus den Gleichungen (01) und (02) haben wir

\begin{matrix} (03) & X_{2} = L_{2} X_{1} = L_{2} L_{1} X ⟹ X_{2} = Λ X \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{X_{2}}=\mathrm{L_{2}}\mathbf{X_{1}}=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}\mathbf{X}\Longrightarrow \mathbf{X_{2}}=\Lambda\mathbf{X} \tag{03} \end{equation}$ Wo

Λ

$\:\Lambda\:$ die Zusammensetzung der beiden Lorentz-Transformationen

L_{1}, L_{2}

$\:\mathrm{L_{1}}, \mathrm{L_{2}}\:$

\begin{matrix} (04) & Λ = L_{2} L_{1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cosch ξ & - Sünde ξ \\ 0 & - Sünde ξ & cosch ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} cosch ζ & 0 & - Sünde ζ \\ 0 & 1 & 0 \\ - Sünde ζ & 0 & cosch ζ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{L_{2}}\mathrm{L_{1}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\hphantom{-}\cosh\xi & -\sinh\xi \\ 0 & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\zeta & 0 & \hphantom{-}\cosh\zeta \\ \end{bmatrix} \tag{04} \end{equation}$ das ist

\begin{matrix} (04") & Λ = [\begin{matrix} cosch ζ & 0 & - Sünde ζ \\ Sünde ζ Sünde ξ & cosch ξ & - cosch ζ Sünde ξ \\ - Sünde ζ cosch ξ & - Sünde ξ & cosch ζ cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \\ \end{bmatrix} \tag{04"} \end{equation}$

Die Lorentz-Transformationsmatrix $\:\Lambda\:$ ist nicht symmetrisch, also die Systeme $\:\mathrm{S},\mathrm{S_{2}}\:$ sind nicht in der Standardkonfiguration. Aber man könnte es so schreiben

\begin{matrix} (05) & Λ = R \cdot L \end{matrix}

$\begin{equation} \Lambda=\mathrm{R}\cdot\mathrm{L} \tag{05} \end{equation}$ Wo

L

$\:\mathrm{L}\:$ ist die symmetrische Lorentz-Transformationsmatrix aus

S

$\:\mathrm{S}\:$ zu einem Zwischensystem

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ in Standardkonfiguration dazu und mitbewegen

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , während

R

$\:\mathrm{R}\:$ geht eine rein räumliche Transformation aus

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ Zu

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}$ .

Jetzt liegt es an Ihnen, die Lorentz-Transformationsmatrix zu finden $\:\mathrm{L}\:$ erst und dann um das zu beweisen $\:\mathrm{R}\:$ Ist

\begin{matrix} (06) & R = [\begin{matrix} \cos ϕ & - Sünde ϕ & 0 \\ Sünde ϕ & \cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], Wo bräunen ϕ = \frac{Sünde ζ Sünde ξ}{cosch ζ + cosch ξ}, ϕ \in (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed{\color{blue}{\:\:\mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \,, \:\text{where}\: \tan\phi =\dfrac{\sinh\zeta\sinh\xi} {\cosh\zeta+\cosh\xi}\,, \: \phi \in \left(-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right)}\:\:\vphantom{\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}}} \tag{06} \end{equation}$ die eine Ebenendrehung aus darstellt

S_{2}^{'}

$\:\mathrm{S'_{2}}\:$ Zu

S_{2}

$\:\mathrm{S_{2}}\:$ , siehe Bild 03.

BEARBEITEN

^{Die Lorentz-Transformationsmatrix $\:\mathrm{L}\:$ , aus $\:\mathrm{S}\:$ zum Zwischensystem $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ in der Standardkonfiguration dazu ist:}

\begin{matrix} (07) & L (υ) = [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) N_{X}^{2} & (γ_{υ} - 1) N_{X} N_{j} & - \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} \\ (γ_{υ} - 1) N_{j} N_{X} & 1 + (γ_{υ} - 1) N_{j}^{2} & - \frac{γ_{υ} υ_{j}}{C} \\ - \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & - \frac{γ_{υ} υ_{j}}{C} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \!-\dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{07} \end{equation}$ Im (07)

\begin{aligned} (08.1) & υ & = (υ_{X}, υ_{j}) \\ (08.2) & N & = (N_{X}, N_{j}) = \frac{υ}{“ υ “} = \frac{υ}{υ} \\ (08.3) & γ_{υ} & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}}}} \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{\upsilon} & = \left(\upsilon_{x},\upsilon_{y}\right) \tag{08.1}\\ \mathbf{n} & = \left(\mathrm{n}_{x},\mathrm{n}_{y}\right)=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\Vert\boldsymbol{\upsilon}\Vert}=\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{\upsilon} \tag{08.2}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{\!1\!-\!\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{08.3} \end{align}$ Wo

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ ist der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs

{O^{'}}_{2} (\equiv O_{2})

$\:\mathrm{O'}_{\!\!2}\left(\equiv \mathrm{O}_{2}\right)\:$ gegenüber

S

$\:\mathrm{S}$ ,

n

$\:\mathbf{n}\:$ den Einheitsvektor entlang

υ

$\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ Und

γ_{υ}

$\:\gamma_{\upsilon}\:$ die entsprechende

γ -

$\:\gamma-$ Faktor.

^{Der Geschwindigkeitsvektor $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ könnte in Form von Schnelligkeiten ausgedrückt werden $\:\zeta,\xi\:$ und so könnten wir die Matrix ausdrücken $\:\mathrm{L}\:$ als Funktion von ihnen. Zunächst stellen wir fest, dass der Geschwindigkeitsvektor $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ ist die relativistische Summe zweier orthogonaler Geschwindigkeitsvektoren $\:\mathbf{u}=\left(u\,,0\right),\mathbf{w}=\left(0\,,w\right)$}

\begin{matrix} (09) & υ = u + \frac{w}{γ_{u}} = [u, {(1 - \frac{u^{2}}{C^{2}})}^{\frac{1}{2}} w], γ_{u} = {(1 - \frac{u^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}=\mathbf{u}+\dfrac{\mathbf{w}}{\gamma_{\!u}}=\left[u\,,\left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!\frac12}\!\!w\right]\,,\quad \gamma_{u} = \left(\!1\!-\!\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\!\!-\frac12} \tag{09} \end{equation}$ nicht zu verwechseln mit der relativistischen Summe zweier kollinearer Geschwindigkeitsvektoren, die in die gleiche Richtung zeigen

\begin{matrix} (10) & υ \neq \frac{u + w}{1 + \frac{u w}{C^{2}}} \end{matrix}

$\begin{equation} \upsilon \ne \dfrac{u\!+\!w}{1+\dfrac{uw}{c^{2}}} \tag{10} \end{equation}$ Von (09) haben wir

\begin{aligned} (11.1) & \frac{υ_{X}}{C} & = \frac{u}{C} = Tanh ζ \\ (11.2) & \frac{υ_{j}}{C} & = \frac{w}{γ_{u} C} = \frac{Tanh ξ}{cosch ζ} \\ (11.3) & {(\frac{υ}{C})}^{2} & = {(\frac{υ_{X}}{C})}^{2} + {(\frac{υ_{j}}{C})}^{2} = 1 - {(\frac{1}{cosch ζ cosch ξ})}^{2} = \frac{γ_{υ}^{2} - 1}{γ_{υ}^{2}} \\ (11.4) & γ_{υ} & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} = cosch ζ cosch ξ \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\upsilon_{x}}{c} & = \dfrac{u}{\:\:c\:\:}=\tanh\zeta \tag{11.1}\\ \dfrac{\upsilon_{y}}{c} & = \dfrac{w}{\gamma_{u}c}= \dfrac{\tanh\xi}{\cosh\zeta} \tag{11.2}\\ \left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2} & = \left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}=1-\left(\dfrac{1}{\cosh\zeta\cosh\xi}\right)^{2}=\dfrac{\gamma^{2}_{\upsilon}\!-\!1}{\gamma^{2}_{\upsilon}} \tag{11.3}\\ \gamma_{\upsilon} & = \left(\!1\!-\!\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac12}=\cosh\zeta\cosh\xi \tag{11.4} \end{align}$ Und

\begin{aligned} (12.1) & \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & = Sünde ζ cosch ξ \\ (12.2) & \frac{γ_{υ} υ_{j}}{C} & = Sünde ξ \\ (12.3) & 1 + (γ_{υ} - 1) N_{X}^{2} & = 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{X}}{C})}^{2}}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} {Tanh}^{2} ζ = 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ {cosch}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} \\ (12.4) & 1 + (γ_{υ} - 1) N_{j}^{2} & = 1 + (γ_{υ} - 1) \frac{{(\frac{υ_{j}}{C})}^{2}}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = 1 + \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{{Tanh}^{2} ξ}{{cosch}^{2} ζ} = 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} \\ (12.5) & (γ_{υ} - 1) N_{X} N_{j} & = (γ_{υ} - 1) \frac{(\frac{υ_{X}}{C}) (\frac{υ_{j}}{C})}{{(\frac{υ}{C})}^{2}} = \frac{γ_{υ}^{2}}{1 + γ_{υ}} \frac{Tanh ζ Tanh ξ}{cosch ζ} = \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & = \sinh\zeta \cosh\xi \tag{12.1}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & = \sinh\xi \tag{12.2}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\tanh^{2}\!\zeta=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.3}\\ 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & = 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=1\!+\!\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh^{2}\!\xi}{\cosh^{2}\!\zeta}=1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.4}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & =\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\dfrac{\left(\dfrac{\upsilon_{x}}{c}\right)\!\!\left(\dfrac{\upsilon_{y}}{c}\right)}{\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2}}=\dfrac{\gamma^{2}_{\!\upsilon}}{1\!+\!\gamma_{\!\upsilon}}\dfrac{\tanh\!\zeta\tanh\!\xi}{\cosh\!\zeta}=\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} \tag{12.5} \end{align}$ Also die Matrix

L (υ)

$\:\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)\:$ von Gleichung (07) als Funktion der Schnelligkeiten

ζ, ξ

$\:\zeta,\xi\:$ Ist

\begin{matrix} (13) & L (υ) = [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ {cosch}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & - Sünde ζ cosch ξ \\ \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & - Sünde ξ \\ - Sünde ζ cosch ξ & - Sünde ξ & cosch ζ cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}\left(\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\zeta \cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \!-\sinh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \!-\sinh\zeta \cosh\xi & \!-\sinh\xi & \cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{13} \end{equation}$ Nun, um die räumliche Transformation zu bestimmen

R

$\:\mathrm{R}\:$ wir haben von (05)

\begin{matrix} (14) & R = Λ \cdot L^{- 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}=\Lambda\cdot\mathrm{L}^{-1} \tag{14} \end{equation}$ Für

L^{- 1}

$\:\mathrm{L}^{-1}\:$ Gleichung (07) ergibt

\begin{matrix} (15) & L^{- 1} = L (- υ) = [\begin{matrix} 1 + (γ_{υ} - 1) N_{X}^{2} & (γ_{υ} - 1) N_{X} N_{j} & \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} \\ (γ_{υ} - 1) N_{j} N_{X} & 1 + (γ_{υ} - 1) N_{j}^{2} & \frac{γ_{υ} υ_{j}}{C} \\ \frac{γ_{υ} υ_{X}}{C} & \frac{γ_{υ} υ_{j}}{C} & γ_{υ} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}=\mathrm{L}\left(\!-\!\boldsymbol{\upsilon} \right)= \begin{bmatrix} 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{x} & \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{x}\mathrm{n}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}_{y}\mathrm{n}_{x} & 1\!+\!\left(\gamma_{\!\upsilon}\!-\!1\right)\!\mathrm{n}^{2}_{y} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{x}}{c} & \dfrac{\gamma_{\!\upsilon}\upsilon_{y}}{c} & \gamma_{\!\upsilon} \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{15} \end{equation}$ und ab (13)

\begin{matrix} (16) & L^{- 1} = [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ {cosch}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & Sünde ζ cosch ξ \\ \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & Sünde ξ \\ Sünde ζ cosch ξ & Sünde ξ & cosch ζ cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{L}^{-1}= \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{16} \end{equation}$ So

\begin{matrix} (17) & R = [\begin{matrix} cosch ζ & 0 & - Sünde ζ \\ Sünde ζ Sünde ξ & cosch ξ & - cosch ζ Sünde ξ \\ - Sünde ζ cosch ξ & - Sünde ξ & cosch ζ cosch ξ \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 + \frac{{Sünde}^{2} ζ {cosch}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & Sünde ζ cosch ξ \\ \frac{Sünde ζ Sünde ξ cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & 1 + \frac{{Sünde}^{2} ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & Sünde ξ \\ Sünde ζ cosch ξ & Sünde ξ & cosch ζ cosch ξ \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cosh\zeta & 0 & -\sinh\zeta \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \hphantom{-}\sinh\zeta\sinh\xi &\hphantom{-}\cosh\xi & -\cosh\zeta\sinh\xi\vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \\ -\sinh\zeta\cosh\xi & -\sinh\xi & \hphantom{-}\cosh\zeta\cosh\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\zeta\cosh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\zeta \cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & 1\!+\!\dfrac{\sinh^{2}\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \sinh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \sinh\!\zeta \cosh\!\xi & \sinh\!\xi & \cosh\!\zeta\cosh\!\xi \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{17} \end{equation}$ Die obige Matrixmultiplikation endet mit dem folgenden Ausdruck

\begin{matrix} (18) & R = [\begin{matrix} \frac{cosch ζ + cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & - \frac{Sünde ζ Sünde ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & 0 \\ \frac{Sünde ζ Sünde ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & \frac{cosch ζ + cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} &\!- \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ \dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{\!-} \dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi} & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}}\\ 0 & 0 & \hphantom{-} 1 \vphantom{\dfrac{\dfrac{}{}}{\tfrac{}{}}} \end{bmatrix} \tag{18} \end{equation}$ Aber

\begin{matrix} (19) & {(\frac{cosch ζ + cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ})}^{2} + {(\frac{Sünde ζ Sünde ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ})}^{2} = 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\right)^{2}=1 \tag{19} \end{equation}$ damit wir definieren können

\begin{matrix} (20) & \cos ϕ \overset{D e F}{\equiv} \frac{cosch ζ + cosch ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ}, Sünde ϕ = \frac{Sünde ζ Sünde ξ}{1 + cosch ζ cosch ξ}, ϕ \in (- \frac{π}{2}, + \frac{π}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \cos\phi \stackrel{def}{\equiv}\dfrac{\cosh\!\zeta\!+\!\cosh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \sin\phi =\dfrac{\sinh\!\zeta\sinh\!\xi}{1\!+\!\cosh\!\zeta\cosh\!\xi}\,, \qquad \phi \in \left(-\tfrac{\pi}{2},+\tfrac{\pi}{2}\right) \tag{20} \end{equation}$ und schlussendlich

\begin{matrix} (21) & R = [\begin{matrix} \cos ϕ & - Sünde ϕ & 0 \\ Sünde ϕ & \cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{R}= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\hphantom{-}\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{21} \end{equation}$ das beweisen

R

$\:\mathrm{R}\:$ ist eine Rotation, siehe Bild 03.

das ist eine erstaunliche Antwort! Danke für all die Mühe! Ich kann dir in allem folgen. Ich kämpfe immer noch darum zu verstehen, warum die Rotation stattfindet (ich weiß, dass die Mathematik das sagt, aber was sagt es?). Liegt es daran, dass wir versuchen, die x-Achse auf die Richtung auszurichten, in die sich das System S2 wegbewegt?
Das darf man für das System sagen $\:\mathrm{S}\:$ seine Achsen sind parallel zu den Achsen von $\:\mathrm{S_{1}}\:$ und umgekehrt, weil Äxte $\:x, x_{1}\:$ sind kollinear und $\:y, y_{1}\:$ sind normal zum Geschwindigkeitsvektor $\:\mathbf{u}\:$ . Dies gilt auch zwischen Systemen $\:\mathrm{S_{1}},\mathrm{S_{2}}\:$ seit Achsen $\:y_{1},y_{2}\:$ sind kollinear und $\:x_{1}, x_{2}\:$ sind normal zum Geschwindigkeitsvektor $\:\mathbf{w}\:$ . Aber um das zu sagen $\:\mathrm{S}\:$ Und $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ achsenparallel fahren ist nicht zulässig, da sinnlos.
Dies liegt daran, dass im System eine gerade Linie ruht $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ schräg zum Geschwindigkeitsvektor $\:\boldsymbol{\upsilon}\:$ , als seine Achse $\:x'_{2}\:$ ist zum Beispiel jederzeit $\:t'_{2}\:$ eine Reihe gleichzeitiger Ereignisse in $\:\mathrm{S'_{2}}\:$ aber nicht gleichzeitig ein $\:\mathrm{S}\:$ . So für $\:\mathrm{S}\:$ es gibt nicht einmal eine gerade Linie, ein Achsenbild $\:x'_{2}\:$ .
Rechts. Das macht jetzt Sinn. Vielen Dank für all Ihre Mühe! Ich werde das definitiv noch ein paar Mal durchgehen, aber das ist Gold wert!
@Frobenius Hallo, kannst du bitte deinen vorherigen Kommentar löschen, weil er nicht zum Thema gehört.

Allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation

Benutzer3604362

Bill N

Frobenius

Benutzer3604362

Frobenius

Frobenius

Frobenius

Benutzer3604362

Benutzer3604362

Antworten (1)

Frobenius

Benutzer3604362

Frobenius

Frobenius

Benutzer3604362

Sebastiano

Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

Ableitung von Lorentz-Transformationen

Beweis für die Eindeutigkeit der Transformation zwischen relativistischen Rahmen

Was ist falsch an dieser Argumentation bezüglich der speziellen Relativitätstheorie?

Was ist ein Ereignis in der Speziellen Relativitätstheorie?

Reiner Lorentz-Boost; transponieren ≠≠\neq invers?

Über die Abhängigkeit der Zeit bei der Transformation zwischen Referenzrahmen in der Speziellen Relativitätstheorie

Lorentz-Transformation, Problem bei der Ableitung

Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Ist die Relativität der Gleichzeitigkeit nur ein Wahrnehmungsfehler? [Duplikat]