Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Question

Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Pfannkuchen_Senpai

Die Koordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit sind durch den 4-Vektor gegeben $(ct, \mathbf{r})$ , Wo $\mathbf{r}$ sind die räumlichen Koordinaten des Ereignisses. Dieser 4-Vektor kann als 4-Verschiebung einer Weltlinie vom definierten Ursprung des Referenzrahmens, in dem wir uns gerade befinden, angesehen werden $t$ .

Sinnvoll erscheint das $\frac{d}{dt}(ct,\mathbf{r})$ sollte 4-Geschwindigkeit der Weltlinie geben, aber stattdessen hat alles, was ich gelesen habe, gesagt, dass wir in Bezug auf die Eigenzeit der Weltlinie differenzieren $\tau$ stattdessen, und doch habe ich bisher keine Erklärung dafür gesehen, warum. Diese Antwort hier auf dem Stack Exchange sagt einfach, dass wir es tun, weil es die Lorentz-Invariante beibehält. Warum sollte jedoch die Eigenzeit unter der Lorentz-Transformation unveränderlich sein und andere Zeiten nicht?

In Betracht ziehen $\mathbf{x^\mu}=(ct,x,y,z)^T$ , die ich zeitlich unterscheide $t$ zu bekommen $\mathbf{v}=(c,v_x,v_y,v_z).$ Lassen Sie uns prüfen, ob dies eine Lorentz-Invariante ist:

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ u_{X} \\ u_{j} \\ u_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C γ - β γ u_{X} \\ - β γ C + γ u_{X} \\ u_{j} \\ u_{z} \end{matrix}] = v^{'}

$\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c\gamma-\beta\gamma u_x\\ -\beta\gamma c+\gamma u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\mathbf{v'}$

(C γ - β γ u_{X})^{2} - (- β γ C + γ u_{X})^{2} = C^{2} γ^{2} + β^{2} γ^{2} u_{X}^{2} + β^{2} γ^{2} C^{2} + γ^{2} u_{X}^{2} = C^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) - u_{X}^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) = C^{2} - u_{X}^{2} ∴ v^{'} \cdot v^{'} = C^{2} - u_{X}^{2} - u_{j}^{2} - u_{z}^{2} = v \cdot v

$(c\gamma-\beta\gamma u_x)^2-(-\beta\gamma c+\gamma u_x)^2=c^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2u_x^2+\beta^2\gamma^2c^2+\gamma^2u_x^2 =c^2\gamma^2(1+\beta^2)-u_x^2\gamma^2(1+\beta^2)=c^2-u_x^2 \\ \therefore \mathbf{v'}\cdot\mathbf{v'}=c^2-u_x^2-u_y^2-u_z^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$

Deshalb, $\mathbf{v}$ Lorentz-invariant ist. Warum lehnen wir ihn dann als Geschwindigkeits-4-Vektor ab?

Antworten (4)

Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Chirale Anomalie · Answer 1

Warum sollte die Eigenzeit unter der Lorentz-Transformation unveränderlich sein und andere Zeiten nicht?

Eine Weltlinie wird durch Angabe der vier Koordinaten angegeben $t,x,y,z$ als Funktionen einiger anderer Parameter $\lambda$ . Jeder Wert von $\lambda$ gibt einen Punkt auf der Weltlinie und die Funktionen an $t(\lambda),x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)$ sind die Koordinaten dieses Punktes. Die richtige Zeit $\tau(\lambda)$ an jedem Punkt entlang der Weltlinie ist durch Lösen gegeben

\begin{matrix} (1) & {\dot{τ}}^{2} = C^{2} {\dot{T}}^{2} - ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2} + {\dot{z}}^{2}), \end{matrix}

$\dot\tau^2=c^2\dot t^2-(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2), \tag{1}$ wobei ein obenliegender Punkt eine Ableitung in Bezug auf bezeichnet

λ

$\lambda$ . Per Definition ist eine Lorentz-Transformation eine Transformation von

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ das lässt die rechte Seite von (1) invariant, also die Eigenzeit

τ

$\tau$ ist invariant unter Lorentz-Transformationen durch Konstruktion. Die Koordinaten sind es nicht.

Die Berechnung, die im OP verwendet wird, um zu prüfen, ob $\mathbf{v}=d/dt\,(ct,x,y,z)$ ein 4-Vektor ist, ist keine gültige Prüfung, weil er davon ausgeht $\mathbf{v}$ ist ein 4-Vektor. Um festzustellen, ob oder nicht $\mathbf{v}$ ein 4-Vektor ist, können wir ausdrücken $\mathbf{v}$ Wenden Sie in Bezug auf die Koordinaten eine Lorentz-Transformation auf die Koordinaten an und sehen Sie dann, was passiert $\mathbf{v}$ . Wenn wir das tun, wird das Problem offensichtlich: die erste Komponente von $\mathbf{v}$ Ist

\begin{matrix} (2) & \frac{D}{D T} C T = C, \end{matrix}

$\frac{d}{dt} ct = c, \tag{2}$ die koordinatenunabhängig ist. Daher kann eine Koordinatentransformation (insbesondere eine Lorentz-Transformation) die erste Komponente von nicht ändern

v

$\mathbf{v}$ überhaupt, also

v

$\mathbf{v}$ kann kein 4-Vektor sein.

Andererseits die richtige Zeit $\tau$ ist invariant unter Koordinatentransformationen (nach Konstruktion), einschließlich Lorentztransformationen, also der Größe

\begin{matrix} (3) & \frac{D}{D τ} (C T, X, j, z) \end{matrix}

$\frac{d}{d\tau}(ct,x,y,z) \tag{3}$ transformiert sich genauso wie die Menge

(c t, x, y, z)

$(ct,x,y,z)$ . Deshalb ist (3) ein 4-Vektor.

$T = γ τ \frac{D T}{D τ} = γ \frac{D}{D τ} X^{μ} = γ \frac{D}{D T} X^{μ}$ $t=\gamma\tau\\\frac{dt}{d\tau}=\gamma\\\frac{d}{d\tau}\mathbf{x^\mu}=\gamma\frac{d}{dt}\mathbf{x^\mu}$ Daher differenzieren wir noch bzgl $t$ , also die erste Komponente von $\mathbf{v}$ bleibt durch die Lorentz-Transformation unverändert (da sie koordinatenunabhängig eine Konstante ist).
@Pancake_Senpai Ihre Gleichungen sind korrekt, Ihre letzte Aussage jedoch nicht. Die Quantität $\gamma$ hängt von den räumlichen Komponenten ab $d\mathbf{x}/dt$ , die wiederum von den Koordinaten abhängt. Die Quantität $\gamma$ wird in nichttrivialer Weise durch die Koordinatentransformation beeinflusst. Das geht auch aus der ersten Gleichung in Ihrem Kommentar hervor: $t=\gamma\tau$ . Die Quantität $\tau$ ist konstruktionsbedingt invariant, und $t$ ist nicht (weil es eine Koordinate ist), also $\gamma$ kann nicht unveränderlich sein.

ZeroTheHero · Answer 2

Die Eigenzeit wird mit dem invarianten Intervall definiert:

D S^{2} = (C D T)^{2} - (D X^{2} + D j^{2} + D z^{2})

$ds^2= (c dt)^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$ Die Eigenzeit ist die Zeit, die von einer im Koordinatensystem des Beobachters ruhenden Uhr angezeigt wird, also

(d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}) = 0

$(dx^2+dy^2+dz^2)=0$ , was macht

d s = d τ

$ds=d\tau$ in dem Rahmen, in dem die Uhr eine offensichtliche Invariante aufweist. Teilen a

4

$4$ -Vektor durch einen invarianten Skalar erzeugt einen anderen

4

$4$ -Vektor, wodurch sichergestellt wird, dass die

4

$4$ -Geschwindigkeit definiert als

u^{μ} = \frac{D}{D τ} X^{μ}

$u^{\mu}=\frac{d}{d\tau}x^{\mu}$ hat unter Lorentz die richtigen Transformationseigenschaften.

Wenn wir sagen $d\tau$ eine Invariante ist, sagen wir, dass ein infinitesimal kleines Intervall der Eigenzeit eine Konstante ist. Was bedeutet das eigentlich und warum ist das kein unendlich kleines Zeitintervall? $dt$ im Rahmen $S$ oder $dt'$ In $S'$ auch konstant? Sie alle sind konstante Werte, die eine kleine Änderung der Zeit beschreiben, die in ihren eigenen jeweiligen Frames und nirgendwo sonst erfahren wird, richtig?
@Pancake_Senpai nicht sicher, ob ich es verstehe. $dt$ hängt vom Referenzrahmen ab, dh verschiedene Beobachter können unterschiedliche Zeitintervalle messen, so dass es nicht unveränderlich ist. Alle Beobachter würden sich auf den Wert von einigen $d\tau$ da würden sie sich einigen $ds$ .

md2perpe · Answer 3

Wenn Sie dies tun:

In Betracht ziehen $\mathbf{x^\mu}=(ct,x,y,z)^T$ , die ich zeitlich unterscheide $t$ zu bekommen $\mathbf{v}=(c,v_x,v_y,v_z).$ Lassen Sie uns prüfen, ob dies eine Lorentz-Invariante ist:

$[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ u_{X} \\ u_{j} \\ u_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C γ - β γ u_{X} \\ - β γ C + γ u_{X} \\ u_{j} \\ u_{z} \end{matrix}] = v^{'}$ $\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c\gamma-\beta\gamma u_x\\ -\beta\gamma c+\gamma u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} =\mathbf{v'}$

$(C γ - β γ u_{X})^{2} - (- β γ C + γ u_{X})^{2} = C^{2} γ^{2} + β^{2} γ^{2} u_{X}^{2} + β^{2} γ^{2} C^{2} + γ^{2} u_{X}^{2} = C^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) - u_{X}^{2} γ^{2} (1 + β^{2}) = C^{2} - u_{X}^{2} ∴ v^{'} \cdot v^{'} = C^{2} - u_{X}^{2} - u_{j}^{2} - u_{z}^{2} = v \cdot v$ $(c\gamma-\beta\gamma u_x)^2-(-\beta\gamma c+\gamma u_x)^2=c^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2u_x^2+\beta^2\gamma^2c^2+\gamma^2u_x^2 =c^2\gamma^2(1+\beta^2)-u_x^2\gamma^2(1+\beta^2)=c^2-u_x^2 \\ \therefore \mathbf{v'}\cdot\mathbf{v'}=c^2-u_x^2-u_y^2-u_z^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$

Deshalb, $\mathbf{v}$ Lorentz-invariant ist. Warum lehnen wir ihn dann als Geschwindigkeits-4-Vektor ab?

Sie zeigen eigentlich nur, dass die Lorentz-Transformation das Pseudoskalarprodukt erhält. Das zeigst du nicht $\mathbf{v}$ Lorentz-invariant ist.

Angenommen, es folgt ein Teilchen $\mathbf{x} = (ct, 0, 0, 0).$ Dann erhalten Sie in diesem Rahmen $\frac{d}{dt}\mathbf{x} = (c, 0, 0, 0).$ Im grundierten Rahmen haben Sie $\mathbf{x}' = (ct', -vt', 0, 0)$ So $\frac{d}{dt'}\mathbf{x}' = (c, -v, 0, 0).$ Aber das ist nicht die Lorentz-Transformation von $\mathbf{x}$ welches ist $(\gamma c, -\gamma v, 0, 0):$

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} C \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ C \\ - γ β C \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ C \\ - γ v \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma c \\ -\gamma\beta c \\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma c \\ -\gamma v \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Zukunftsforscher · Answer 4

Sie vergessen, dass Sie diesen vierdimensionalen Geschwindigkeitsvektor als Ableitung der Weltlinie in Bezug auf die Koordinate erhalten haben $t$ . Wenn Sie also das Kkorfinatsystem ändern, müssen Sie auch die Parameter ändern $t$ Sie differenzieren in Bezug auf. Das wird die Probleme verursachen, die die Lorentz-Invarianz stören.

Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Pfannkuchen_Senpai

Antworten (4)

Chirale Anomalie

Pfannkuchen_Senpai

Chirale Anomalie

ZeroTheHero

Pfannkuchen_Senpai

ZeroTheHero

md2perpe

Zukunftsforscher

Reiner Lorentz-Boost; transponieren ≠≠\neq invers?

Wie leitet man das Raumzeitintervall aus der Lorentz-Transformation ab?

Ein Problem bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus Homogenität und Isotropie der Raumzeit und dem Relativitätsprinzip

Intuitive Erklärung für die Lorentz-Transformation für die Zeit

Allgemeine Matrix-Lorentz-Transformation

Gilt die Lorentz-Transformation nur für entsprechende Beobachter?

Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

Invarianz des Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie: Linearität

Warum ist es notwendig, dass sich verschiedene Beobachter auf den Wert des Raumzeitintervalls ds2ds2ds^2 einigen?

Relativistische Transformation von c2/vc2/vc^2/v