Invarianz des Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie: Linearität

Ich versuche zu verstehen, welche Annahmen notwendig sind, um die Invarianz des Raumzeitintervalls zu beweisen

Δ S 2 = C 2 Δ T 2 − Δ X 2
in der speziellen Relativitätstheorie. Die Postulate der speziellen Relativitätstheorie sind:

  • Prinzip der Relativität

  • Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Bezugssystem konstant

Aus dem zweiten Postulat geht das hervor

D S ' 2 = 0 ⟺ D S 2 = 0.
Dann können wir aus der Antwort Invarianz des Raumzeitintervalls direkt vom Postulat sehen, wie dies und die Tatsache, dass die beiden Infinitesimalwerte von derselben Größenordnung sind, dazu führt
D S ' 2 = A D S 2 .
In einigen anderen Antworten (z. B. Beweis der Invarianz von D S 2 aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ) wird darauf hingewiesen D S ' 2 = A D S 2 ergibt sich daraus, dass meine Koordinatentransformation linear ist.

Meine Frage ist: Was ist die Annahme, die ich verwende, um zu beweisen D S ' 2 = A D S 2 ? Brauche ich Linearität und wenn ja, wo setze ich sie ein? Und was ist mit dem Relativitätsprinzip?

Sie benötigen Linearität der Koordinatentransformationen, da ein sich in der Raumzeit bewegendes freies Teilchen in jedem Trägheitssystem einer geraden Linie folgen sollte (die Relativitätstheorie sollte mit dem Trägheitsprinzip kompatibel sein). Sie benötigen auch Homogenität der Raumzeit und Isotropie an jedem Punkt der Raumzeit (was Homogenität impliziert).
Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich weiß, dass ich Linearität brauche, damit "eine nicht beschleunigte Bewegung einer anderen nicht beschleunigten Bewegung zugeordnet wird". Aber ich sehe nicht, wie Linearität eine Rolle in der spezifischen Frage der Invarianz des Raumzeitintervalls zwischen zwei Inertialsystemen spielt.
Wenn die Metrik in einem bestimmten Trägheitssystem eine bestimmte Form (Minkowski) annimmt, sollte sie offensichtlich in allen anderen Trägheitssystemen dieselbe Form haben, da diese Systeme alle äquivalent sind. Sie können die Frames nicht anhand ihrer Metrik unterscheiden.
Für meine persönlichen Anmerkungen zur Relativitätstheorie habe ich vor langer Zeit 4 Seiten zu diesem Problem geschrieben. Wenn Sie Französisch lesen können, könnte ich sie Ihnen per E-Mail zusenden. Es ist im Wesentlichen die gleiche Demonstration wie in dem alten Buch von Landau/Lifchitz. Sie können auch das Buch von Ohanian lesen: Gravitation und Raumzeit . Ich denke, da ist eine nette Demonstration drin.

Antworten (1)

Ich denke, es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu argumentieren:

  1. über das Relativitätsprinzip: Die Metrik sollte also in allen Inertialsystemen gleich sein D S 2 = D S ' 2 sofort. (Es ist jedoch nicht sofort, dass die Metrik Minkowski sein sollte)

  2. über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: D S 2 = 0 dann und nur dann, wenn D S ' 2 = 0 , dann mit Linearität wie in Valter Morettis verknüpfter Antwort, die wir haben müssen D S ' 2 = A D S 2 . Das kann man dann argumentieren A = 1 .

Beachten Sie, dass im zweiten Pfad die Linearität der Lorentz-Transformationen erforderlich ist. Man kann zeigen , dass Homogenität impliziert, dass Lorentz-Transformationen affin sind. In diesem Fall ist dies für die Linearität ausreichend, da wir uns nur um Unterschiede kümmern Δ X , die gegenüber einer hinzugefügten Konstante unempfindlich sind.

Zur Frage: Wo verwende ich Linearität? Die Antwort ist in Valter Morettis Beweis für das oben verlinkte Theorem enthalten.

Korrigieren Sie mich also, wenn ich falsch liege: Die Tatsache, dass die beiden Infinitesimale von derselben Größenordnung sind, plus die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, lassen mich das sagen D S ' 2 = A D S 2 . Mittels Homogenität des Raumes (also Linearität) kann ich einstellen A = 1 . In diesem Beweis sind meine Annahmen also: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und Homogenität des Raums (dh Linearität), ich muss das Relativitätsprinzip nicht anwenden. Habe ich recht?
Konstante der Lichtgeschwindigkeit plus Linearität (oder Infinitesimale derselben Größenordnung) ergibt D S ' 2 = A D S 2 . Der Grund, warum Sie festlegen können A = 1 hat dagegen nichts mit Linearität zu tun, sondern eher mit Homogenität und Isotropie. Dies wird von Landau auf den ersten Seiten von The Classical Theory of Fields erklärt.
Invarianz des Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie: Linearität
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v