Hyperbolische Rotation der Raumzeit und Lorentz-Transformation

Es ist. Die Quantität$ds^2=-cdt^2 +dx^2+dy^2+dz^2$muss ebenso wie der Radius für alle Beobachter konstant sein$r^2=x^2+y^2+z^2$muss für jeden klassischen Beobachter gleich sein (euklidische Transformationen).

Das entgegengesetzte Vorzeichen der Zeitkoordinate macht die kreisförmige Rotationsinvarianz zu einer hyperbolischen Invarianz.

Sie können Lorentz-Transformationen leicht aufschreiben in Bezug auf$\beta$(relative Geschwindigkeit in$c$Einheiten) und$\gamma$(der relativistische Koeffizient), aber die Zusammensetzung ist nicht trivial (Geschwindigkeiten setzen sich in der Relativitätstheorie nicht mehr linear zusammen, wie sie es stattdessen in Galilei-Transformationen tun).

Stattdessen kann man die Schnelligkeit definieren$w$so dass$\cosh w = \gamma$und Sie finden wieder die lineare Kompositionsregel.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rapidity

Versuchen Sie, Lorentz-Matrizen in den beiden Formen zu multiplizieren (in Bezug auf$\beta(v)$-$\gamma(v)$und in Bezug auf$w$und sich selbst finden).

PS: Versuchen Sie dies der Einfachheit halber in der 2D-Raumzeit (1-dimensionaler physikalischer Raum und die Zeit, wie z$t-x$): Es ist ganz allgemein dasselbe, denn wenn Sie eine solche Transformation mit den Drehungen zusammenstellen, können Sie alle anderen erhalten.

Da die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialbezugssystem gleich sein muss, kann man schreiben:

$$c=\frac{dx}{dt}=\frac{dx’}{dt’}$$ Damit können wir das Raum-Zeit-Intervall definieren: $$ds^2=c^2dt^2-dx^2= c^2dt’^2-dx’^2=ds’^2$$ Was in jedem Trägheitsbezugssystem unveränderlich ist. In der (+ - - -) metrischen Signaturkonvention. $$ds^2= \begin{cases} < 0 & space-like \\[2ex] = 0 & light-like \\[2ex] > 0 & time-like \end{cases}$$ In der (- + + +) metrischen Signaturkonvention. $$ds^2= \begin{cases} < 0 & time-like \\[2ex] = 0 & light-like \\[2ex] > 0 & space-like \end{cases}$$ In der (- + + +) metrischen Signaturkonvention kann man schreiben $dx^2-c^2{dt}^2$als $dx^2+(icdt)^2$. So sieht es aus $dx^2+dy^2$Dies ist im Grunde die Länge eines Vektors im kartesischen Koordinatensystem. Stellen Sie sich nun vor, Sie drehen die $(x,y)$Koordinatensystem um einen Winkel $\theta$. Die Drehung ändert die Länge des Vektors nicht. Die Hauptidee ist also, dass das Raum-Zeit-Intervall unter Lorentz-Transformationen invariant ist, genauso wie die Länge dieses Vektors unter Drehungen des Koordinatensystems invariant ist. Das Skalarprodukt jedes Vierervektors ist Lorentz-invariant, genau wie das Skalarprodukt jedes Vektors mit sich selbst im euklidischen Raum dasselbe ist, unabhängig davon, ob Sie das Koordinatensystem drehen.

Da sich die anderen Antworten bisher hauptsächlich mit der Frage befassen, warum die hyperbolischen Rotationen die Lorentz-Transformationen richtig darstellen, möchte ich ein paar Zeilen darüber schreiben, warum sie möglicherweise eine bessere Intuition als die übliche Darstellung in Bezug auf die Geschwindigkeit vermitteln.

Die Analogie zu gewöhnlichen Rotationen gibt eine sehr schöne Intuition für Effekte wie Zeitdilatation und Längenkontraktion. Wenn wir einen beliebigen Vektor im zweidimensionalen euklidischen Raum betrachten, verhalten sich seine Komponenten bei Drehungen wie folgt: Eine Komponente wird kleiner, die andere größer. Genau das passiert mit Längen und Zeitintervallen in SR.

So erhalten Zeitdilatation und Längenkontraktion, für Anfänger rätselhafte Effekte, eine sehr intuitiv zugängliche Analogie zu entsprechenden Effekten, die wir von Rotationen kennen, die wir in unserem täglichen Leben beobachten.