Wie leitet man das Raumzeitintervall aus der Lorentz-Transformation ab?

Ich weiß nicht, welche Ableitung des forminvarianten Raumzeitintervalls$\Rightarrow$Sie haben die Lorentz-Transformation im Sinn, aber die einfachsten Ableitungen machen alle Schlussfolgerungen, die "wenn und nur wenn" Schlussfolgerungen sind, dh die Argumentations- und Schlussfolgerungskette kann in beide Richtungen ausgeführt werden .

Zum Beispiel die Lorentz-Transformation als General zu schreiben$4\times4$reelle Elementmatrix$\Lambda$Einwirken auf$4\times1$Realelementspalten, die 4-Vektoren darstellen$X\in \mathbb{R}^{1+3}$, dann lautet die Behauptung der Invarianz des Raumzeitintervalls:

$$X^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,X\, = X^T\,\eta\,X;\quad\forall X\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{1}$$

wo natürlich$\eta=\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,-1)$. Wählen Sie nun zwei im Allgemeinen anders aus$X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}$und schreibe (1) für die Summe auf$X+Y$: das ist$(X+Y)^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,(X+Y)\, = (X+Y)^T\,\eta\,(X+Y)$, erweitern Sie dieses kleine Biest und wenden Sie dann (1) erneut an, um zu zeigen, dass (1) impliziert:

$$X^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,Y = X^T\,\eta\,Y;\quad\forall X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{2}$$

Wählen Sie nun die sechzehn verschiedenen Kombinationen der üblichen Basisvektoren für$X$Und$Y$und du zeigst so (das bezeugend$\eta$ist nichtsingulär, definiert also eine nicht entartete bilineare Form):

$$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda = \eta\quad\tag{3}$$

(3) impliziert trivialerweise (1), also sind (3) und die Behauptung des Raumzeitintervalls logisch äquivalent. Sie implizieren einander und werden durch einander impliziert.

Nun würde ich, und ich glaube, viele Leute, an (3) als die Definition der Lorentz-Transformation denken: Ihre Verwendung in einer Satzerstellungs-Notation gibt uns eine vollständige Charakterisierung der Lorentz-Gruppe. Aber vielleicht möchten Sie mit anderen Charakterisierungen der Lorentz-Gruppe oder der speziellen Lorentz-Gruppe (richtige, orthochrone) arbeiten. Sie können trivial überprüfen, dass ein Schub in der$x$Richtung erfüllt (3), lässt also nach unserer logischen Äquivalenz das Raumzeitintervall invariant. Machen Sie dasselbe für eine Drehung$R$, für die (3) äquivalent ist zu$R^T\,R=\mathrm{id}$. Wenn Sie also die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe als die kleinste Gruppe definieren, die die enthält$x$Boost und die Rotationen, also als Gruppe aller endlichen Produkte der Form$U_{1}\,R_{1}\,U_2\,R_2\,\cdots$bei dem die$U_i$Und$R_i$sind alle$x$-Boosts bzw. Rotationen und wenden (3) induktiv auf eine solche Kette an, kann man zeigen, dass diese Gruppe das Raumzeitintervall erhält. Beachten Sie, dass natürlich eine Erhöhung in jede Richtung in das Formular geschrieben werden kann$R\,U\,R^T$, Wo$U$ist ein$x$-Boost und$R$eine Drehung.

Ok, wir gehen davon aus, dass wir wissen, dass die Transformationen zwischen den Frames, die wir durchlaufen dürfen, die Lorentz-Transformation sind. Die knappste und inhaltsreichste Definition der Lorentz-Transformationen wäre die folgende:

$$\Lambda ^{T}\eta\Lambda=\eta$$ Oder, in der Indexschreibweise, $$\Lambda^{\alpha'}_{\mu}\Lambda^{\beta'}_{\nu}\eta_{\alpha'\beta'}=\eta_{\mu\nu}$$ Nun stellen Sie sicher, dass Sie zu schätzen wissen, dass wir die Matrix behandeln $\eta$(egal ob in einfacher Matrizenform oder in Indexschreibweise geschrieben) einfach als Matrix. Wir geben nicht vor, a priori zu wissen, dass es sich um die Metrik handelt. Stattdessen werden wir jetzt motivieren, warum es klug wäre, es als Metrik zu verwenden und (daher) das Intervall als zu definieren $\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$.

Der erste Schritt besteht darin, zu bemerken, dass die Matrix$\eta$(einfach definiert als Diagonalmatrix mit Einträgen$1,-1,-1,-1$) ist wirklich ein Tensor unter den Lorentz-Transformationen. Dies kann direkt an der eigentlichen Definition der Lorentz-Transformationen abgelesen werden, wenn die Definition in der oben ausgedrückten Indexnotation ausgedrückt wird.

Jetzt, wo wir das erkannt haben$\eta$ist wirklich ein$(0,2)$Tensor unter Verwendung der Definition von a$(0,2)$Tensor, sollten wir verstehen, dass es genau diese Abbildung ist, die ein Paar von Vektoren zu einer reellen Zahl (oder mit anderen Worten zu einem Skalar – einer rahmeninvarianten Größe) führt. Dies ist die natürlichste Art, aus einem Verschiebungsvektor eine rahmeninvariante Größe zu konstruieren$\vec{dx}$wäre, diesen Vektor in beide Schlitze des Tensors einzuspeisen$\eta$und das Ergebnis als Raumzeitintervall zu definieren. Das heißt zu definieren

$$I=\eta(\vec{dx},\vec{dx})=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$ als Raumzeitintervall.

Wenn man darauf besteht, kann man natürlich argumentieren, dass dies alles nur eine Motivation ist, das Raumzeitintervall zu definieren$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$und nichts weiter. Und das ist wahr. Denn schließlich definieren wir etwas und es gibt kein Wort Gottes darüber, wie wir etwas definieren sollten! Es ist nur so, dass wir, wenn wir eine sehr nützliche Eigenschaft in einer Sache sehen, ihr einen Namen geben. Dasselbe gilt für das Raumzeitintervall. Die Beobachtung, dass$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$invariant ist, ist wichtig und deshalb nennen wir es das Raumzeitintervall. Das ist die Quintessenz. Was ich hier zu demonstrieren versucht habe, ist, wie man sehr leicht auf diese Beobachtung stoßen kann, wenn man bereits im Kopf hat, dass sie nach einer unveränderlichen Größe sucht.