Ableitung der Lorentz-Transformation

Ich werde die Transformation nicht herleiten (das wurde in unzähligen Büchern und Artikeln gemacht, ich bin sicher, Sie können sie selbst finden), sondern werde stattdessen versuchen zu erklären, warum die von Ihnen vorgeschlagene Formel nicht korrekt sein kann.

Beachten Sie das für den Anfang, da Sie nicht berühren$y$und$z$, könnten wir genauso gut in 1+1-Dimensionen arbeiten. Auch lassen$c=1$damit wir nicht durch unwichtige Konstanten gestört werden (Sie können es am Ende wiederherstellen, indem Sie fordern, dass Formeln die richtigen Einheiten haben). Dann ist es sinnvoll, die Transformation wie folgt neu zu parametrisieren

$$x' = \gamma(x - vt) = \cosh \eta x - \sinh \eta t$$ $$t' = \gamma(t - vx) = -\sinh \eta x + \cosh \eta t$$ wo wir Schnelligkeit eingeführt haben $\eta$von $\tanh \eta = v$und dies impliziert standardmäßig (hyperbolische) trigonometrische Identitäten $\cosh \eta = \gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2}}$und $v \gamma = \sinh \eta$, so dass diese Umparametrierung tatsächlich korrekt ist.

Nun, hoffentlich erinnert Sie das ein wenig an etwas. In der zweidimensionalen euklidischen Ebene haben wir, dass Drehungen um den Ursprung die Form haben

$$x' = \cos \phi x + \sin \phi y$$ $$y' = -\sin \phi y + \cos \phi x$$ und das ist in der Tat kein Zufall. Drehungen bewahren eine Länge des Vektors in der euklidischen Ebene $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$und in ähnlicher Weise bewahren Lorentz-Transformationen das Raumzeitintervall (das ein Notian der Länge in der Minkowski-Raumzeit ist). $x'^2 - t'^2 = x^2 - t^2.$Sie können selbst nachprüfen, dass nur die angegebene Transformation mit hyperbolischen Sinus und Cosinus sie erhalten kann und folglich die von Ihnen eingeführte Änderung diese wichtige Eigenschaft verdirbt. Wenn Sie mit Phänomenen wie der Relativität der Gleichzeitigkeit vertraut sind, könnte man auch aus physikalischen Gründen argumentieren, dass Ihre vorgeschlagene Änderung nicht zu physikalischen Ergebnissen führen kann.

Übrigens wurde kürzlich eine ähnliche Frage wie Ihre gestellt, nämlich wie man herleitet, dass die Transformation rein wegen der Beibehaltung des Raum-Zeit-Intervalls linear ist . Vielleicht möchten Sie es auch überprüfen.

Diese Antwort sollten Sie sich anschauen, denn daraus leitet sich der gesuchte Begriff sofort ab. Einsteins Postulate$\leftrightarrow$Minkowski-Raum für einen Laien

Der Grund dafür$t'=(t-vx)/\sqrt{1-v^2}$und nicht$t'=t/\sqrt{1-v^2}$(Sie müssen c = 1 setzen, um irgendetwas in der Relativitätstheorie zu verfolgen) ist einfach - es ist ein Versagen der Gleichzeitigkeit auf Distanz. Die Koordinatenlinien t=constant können in einem Raum-Zeit-Diagramm nicht horizontal bleiben, sondern müssen um den gleichen Betrag nach oben geneigt werden, wie die Zeitachse nach rechts geneigt ist. Die verbleibenden Faktoren können durch Reproduzieren von Zeitdilatations- und Längenkontraktionsargumenten verstanden werden, aber das Scheitern der Gleichzeitigkeit ist der wichtigste nicht-intuitive Effekt und aus diesem Grund der erste, der von Einstein in seiner Arbeit diskutiert wird.

Die Form der Lorentz-Transformation ist der Form einer Drehung der x- und y-Koordinaten gegenüberzustellen, sodass die x-Koordinate eine Steigung von m erhält:

$$x' = { x+my \over\sqrt{1+m^2}}$$ $$y' = { y-mx \over\sqrt{1+m^2}}$$

oder wenn Sie unterschiedliche Einheiten für x und y verwenden, sagen wir x in Zoll und y in Zentimetern,

$$x' = { x + my \over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$ $$y' = {y - {mx\over c^2}\over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$

Wobei c eine universelle Naturkonstante ist: die gleichschenklige Rechtssteigung, die die Steigung eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln entlang der x- und y-Achse ist. Seine Größe beträgt 2,54 cm/Zoll.

Auch ich kämpfe seit einiger Zeit mit diesem Problem. Also, hier ist die Antwort völlig intuitiv. Es hängt offensichtlich mit der Relativität der Gleichzeitigkeit zusammen. Nun, in dem sich bewegenden Rahmen, wenn zwei Ereignisse für die sich bewegende Person simultan sind, machen Sie es nicht simultan für Sie. Wenn Sie die Berechnungen durchführen, werden Sie sehen, dass es einen Zeitunterschied von gibt$(vx/c^2)\gamma$, wobei das Ereignis weiter in der Bewegungsrichtung um diesen Zeitunterschied im Ruheframe später eintritt. Also addieren Sie diesen Faktor zur Zeit der Uhr des Beobachters für den Fall, dass sich die Person entlang der positiven Seite Ihres Ursprungs der Raumzeit bewegt

Nun, warum das negative Vorzeichen in der Rücktransformation, nun, es stellt sich heraus, dass dies ein Zusammenspiel aus der Wahl eines rechtshändigen Koordinatensystems oder der Aussage ist, dass alle Beobachter, auch diejenigen, die sich in die entgegengesetzte Richtung bewegen, dieselbe Ursprungsseite als positiv zuweisen müssen in ihren Koordinatensystemen. Dies wurde implizit sogar in gallileischen Tagen getan, als Sie einfache kinematische Probleme lösten.

Was nun im Fall der negativen Geschwindigkeit passiert, wenn Sie Ereignissen Koordinaten zuweisen, wird dasjenige, das weiter in Ihrer Bewegungsrichtung liegt, jetzt auch negativ sein. Daher ist die 'x'-Koordinate negativ, und die Geschwindigkeit ist ebenfalls negativ, und zwei Negative ergeben ein Positives. Dies führt also wiederum zu einer zusätzlichen Zeit für das Ereignis, da die Uhr früher getickt wurde als das Ereignis, das Sie aufgezeichnet haben.

All dies kann neu abgeleitet werden, wenn Sie sorgfältig über zwei simultane Ereignisse in einem sich bewegenden Rahmen nachdenken. Ich hoffe, das klärt es auf.

Das Ableiten der Lorentz-Transformationsgleichungen kann natürlich über den Ansatz von Mathematik zu Mathematik erfolgen, aber das Verständnis kann daher immer noch für Sie erreichbar sein, da Mathematik ein externes Werkzeug ist, das außerhalb des Verstandes liegt.

Eine logische Analyse der Bewegung erzeugt bald eine geometrische Darstellung der Bewegung, die dann bald den vollständigen Satz von Gleichungen in Bezug auf SR erzeugt. Dazu gehören natürlich die Lorentz-Transformationsgleichungen und ein vollständiges Verständnis davon.

http://www.youtube.com/watch?v=KKAwpEetJ-Q&list=PL3zkZRUI2IyBFAowlUivFbeBh-Mq7HdoQ

Wenn Sie Zeit haben, sich die obige Playlist anzusehen ( 9 kurze Videos, insgesamt ca. 1 1/2 Stunden ), werden Sie Einsteins Spezielle Relativitätstheorie nie wieder so sehen. Die Playlist mit 9 Videos ist auch auf YouTube über die Suche „KSP Special Relativity“ zu finden.

Sie sagten: „Ich konnte alles klären, außer$-(v/c^2)x$in dem$t^{\prime}$Gleichung.". Dieser Teil der Gleichung wird in den Videos kristallklar gemacht. Kurz gesagt, wenn ein Raumschiff in absoluter Ruhe im Weltraum wäre, würde es sich nur über den Raum erstrecken, aber es ist in Bewegung über die Dimension der Zeit in der Lichtgeschwindigkeit. Während er sich also in der 4-dimensionalen Umgebung befindet, die als Raumzeit bekannt ist, ist seine gegenwärtige Bewegungsrichtung nur quer durch die Zeit.

Wenn das Raumschiff nun jedoch seine Bewegungsrichtung innerhalb der Raumzeit ändert, tritt eine Rotation auf, es findet eine Bewegung über den Raum statt und es findet eine geringere Bewegung über die Zeitdimension statt. Daher verlangsamt sich die Zeit, und aufgrund der Rotation beginnt sich das Raumschiff weniger über den Raum auszudehnen, jetzt wo es beginnt, sich teilweise auch über die Dimension der Zeit auszudehnen.

So begegnen wir räumlicher Kontraktion und Zeitdilatation.

Zu beachten ist aber, dass sich das Raumschiff nun teilweise über die Zeitdimension erstreckt, somit ist eine Uhr am hinteren Ende des Raumschiffs nicht mehr synchron mit einer Uhr am vorderen Ende des Raumschiffs, da beide nicht mehr vorhanden sind zum gleichen Zeitpunkt. Diese Taktverschiebungen sind somit in der Gesamtänderung unserer Messgeräte enthalten.

Somit ziehen sich die Lineale in der Länge zusammen, beide Uhren sind langsamer geworden und die beiden Uhren sind nicht synchron.

Und so kam es dass der$-(v/c^2)x$in dem$t^{\prime}$Die Gleichung betrifft die Taktverschiebungen, die aufgrund der Drehung auftreten.