Ein Problem bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus Homogenität und Isotropie der Raumzeit und dem Relativitätsprinzip

Question

Ein Problem bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus Homogenität und Isotropie der Raumzeit und dem Relativitätsprinzip

Quanten_Alpaka

Ich versuche, einen Schritt in einer Ableitung der Lorentz-Transformation zu verstehen, die mein Professor im Unterricht gegeben hat. Wir beginnen mit der Annahme der Homogenität und der Isotropie der 4-dimensionalen Raumzeit und betrachten dann zwei Inertialbezugssysteme $S$ Und $S'$ , mit $S'$ mit Geschwindigkeit bewegen $v$ entlang der $x$ -Achse von $S$ . Davon gehen wir auch aus $S$ Und $S'$ haben parallele Achsen und ihre Ursprünge fallen zeitlich zusammen $t=0$ In $S$ . Also eine allgemeine Transformation zwischen den Koordinaten von $S$ Und $S'$ bzw. ist,

\begin{aligned} T & \to T^{'} = T (T, X, j, z, v) \\ X & \to X^{'} = X (T, X, j, z, v) \\ j & \to j^{'} = Y (T, X, j, z, v) \\ z & \to z^{'} = Z (T, X, j, z, v) . \end{aligned}

$\begin{align} t\qquad &\to\qquad t'=T(t,x,y,z,v)\\ x\qquad &\to\qquad x'=X(t,x,y,z,v)\\ y\qquad &\to\qquad y'=Y(t,x,y,z,v)\\ z\qquad &\to\qquad z'=Z(t,x,y,z,v) \ . \end{align}$ Dann finden wir unter Anwendung von Homogenität, dass die Transformation linear sein muss, also

(\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \\ j^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = A (v) (\begin{matrix} T \\ X \\ j \\ z \end{matrix}),

$\begin{equation} \begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=A(v)\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix} \ , \end{equation}$ Wo

A (v)

$A(v)$ ist ein

4 \times 4

$4\times4$ Matrix. Unter Verwendung des Relativitätsprinzips stellen wir fest, dass sich Richtungen senkrecht zur Bewegung nicht ändern, also

A (v) = (\begin{matrix} A_{1} (v) & A_{2} (v) \\ 0 & 1 \end{matrix}),

$\begin{equation} A(v)=\begin{pmatrix}A_1(v)&A_2(v)\\\mathbf{0}&\mathbf{1}\end{pmatrix} \ , \end{equation}$ Wo

A_{1} (v)

$A_1(v)$ Und

A_{2} (v)

$A_2(v)$ Sind

2 \times 2

$2\times 2$ Matrizen und

0 = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ ,

1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe, da steht:

Aus der Isotropie des Raumes folgt das $A_2(v)=\mathbf{0}$

Kann mir bitte jemand helfen zu verstehen, wie die Isotropie des Raums diese Implikation hat?

Cinaed Simson

A (v)

$A(v)$ ist ein Schub in der

x

$x$ Richtung.

Antworten (1)

Ein Problem bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus Homogenität und Isotropie der Raumzeit und dem Relativitätsprinzip

Philipp · Answer 1

Ich habe das Gefühl, dass es einen physikalischen Grund dafür geben sollte, dass die Elemente außerhalb der Diagonale beide Null sein müssen, aber mir fällt kein spontaner ein. Hier ist jedoch eine andere Möglichkeit, es zu zeigen:

Betrachten Sie zum Beispiel ein Punktteilchen, dessen Ruhesystem ist $S^\prime$ . Für Sie, den sitzenden Beobachter $S$ , dieses Teilchen würde sich entlang Ihres wegbewegen $x$ Achse. Nun, was ist mit der $y$ Und $z$ Achsen? Nun, sie sollten hier nicht wichtig sein, da diese Richtungen orthogonal zur Bewegung des Teilchens sind. Mit anderen Worten, sobald Sie Ihre gewählt haben $x$ Achse entlang der Bewegungsrichtung des Teilchens liegen, haben Sie eine unendliche Anzahl von $y$ Und $z$ Achsen, die gewählt werden können -- alle durch einfache Drehungen um die verbunden $x$ -axis -- die alle dasselbe ergeben müssen $A(v)$ Matrix. Dies ist eine der Annahmen der Isotropie.

Angenommen, anstelle der $(t,x,y,z)$ Sie verwendeten $(t,x,Y,Z)$ , Wo $Y$ Und $Z$ sind zwei verschiedene zueinander senkrechte Richtungen, die auch senkrecht zueinander stehen $x$ . Da der Raum isotrop ist, ist Ihre Definition von $y$ Und $z$ sollte Ihre Transformationsmatrix nicht beeinflussen, und so

(\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \end{matrix}) = A_{1} (v) (\begin{matrix} T \\ X \end{matrix}) + A_{2} (v) (\begin{matrix} j \\ z \end{matrix})

$\begin{pmatrix}t^\prime\\x^\prime\end{pmatrix} = A_1(v) \begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix} + A_2(v) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}$

(\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \end{matrix}) = A_{1} (v) (\begin{matrix} T \\ X \end{matrix}) + A_{2} (v) (\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix})

$\begin{pmatrix}t^\prime\\x^\prime\end{pmatrix} = A_1(v)\begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix} + A_2(v) \begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix}$

Oder

A_{2} (v) (\begin{matrix} j \\ z \end{matrix}) = A_{2} (v) (\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix})

$A_2(v) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix} = A_2(v) \begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix}$

Da sollte es intuitiv klar sein $Y$ Und $Z$ könnte jede mögliche orthogonale Menge sein (auch orthogonal zu $x$ ), das muss das bedeuten $A_2(v)=\mathbf{0}$ , aber wenn Sie etwas strenger sein möchten, diese neuen $Y,Z$ Achsen sind erhältlich bei $y,z$ durch Drehung um einen Winkel $\theta$ um die $x$ Achse und so

(\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix}) = R (θ) (\begin{matrix} j \\ z \end{matrix}),

$\begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix} = R(\theta) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix},$ Wo

R (θ)

$R(\theta)$ ist die übliche Rotationsmatrix. Die obige Gleichheit bedeutet dann, dass für jeden beliebigen Wert von

θ

$\theta$ ,

A_{2} (v) (1 - R (θ)) = 0 .

$A_2(v) \left(\mathbf{1} - R(\theta) \right) = \mathbf{0}.$

Seit $\theta$ Und $v$ sind beides willkürlich, so muss es sein $A_2(v) = \mathbf{0}$ .

Also wenn die $A(v)$ ist ein Schub in eine allgemeine Richtung, der Raum ist nicht mehr isotrop?
Ich verstehe nicht ganz, die Lorentz-Transformationen unterscheiden zwischen der Richtung parallel zum Boost und denen senkrecht dazu. Wenn der Boost in einer allgemeinen Richtung wäre, könnte man sein Koordinatensystem immer so drehen, dass es in diese Richtung verläuft, und es nennen $x$ , und das gleiche Argument, das ich vorgebracht habe, würde gelten. Ich denke, das genaue Argument könnte auch für eine allgemeine Transformation angeführt werden, indem man eine Richtung definiert $\hat{n}$ und zwei orthogonale Basisvektoren $Y,Z$ die senkrecht dazu stehen $\hat{n}$ ...
$A (v) = [\begin{matrix} γ & - β_{X} γ & - β_{j} γ & - β_{z} γ \\ - β_{X} γ & 1 + \frac{β_{X}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{j} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} \\ - β_{j} γ & \frac{β_{X} β_{j} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{j}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{j} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} \\ - β_{z} γ & \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{j} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{z}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} \end{matrix}]$ $A(v)=\begin{bmatrix} \gamma & -\beta_x\gamma & -\beta_y\gamma & -\beta_z\gamma\\ -\beta_x\gamma & 1+\frac{\beta_{x}^{2}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \\ -\beta_y\gamma & \frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & 1+\frac{\beta_{y}^{2}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}}& \\ -\beta_z\gamma &\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}}& \frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{z}^2(\gamma-1)}{\beta^{2}} \\ \end{bmatrix}$
Einstellung $\beta_{y}=\beta_{z}=0$ In $A(v)$ oben wird die OPs generieren $A_{1}(v)$ Und $A_{2}(v)$ .
Ja, die Lorentz-Transformationen unterscheiden zwischen der Richtung parallel zum Schub und denen senkrecht dazu. Aber da sind $2$ Vektoren - nämlich $\vec \beta$ Und $\vec r$ - und es gibt keinen Grund, warum die Vektoren kolinear sein müssen - außer aus pädagogischen Gründen.
Ich stimme zu, aber ich fürchte, ich verstehe den Punkt nicht ganz: Im Beitrag des OP war die Annahme nicht die allgemeinste, aber eine, in der $\beta$ war nur dabei $x$ . Ist an meiner Antwort etwas falsch oder irreführend?
@Philip: Sie müssen nur vorsichtig sein, wenn Sie mehr als einen Boost in Betracht ziehen, da zwei Boosts eine Rotation erzeugen. Und ich glaube nicht, dass das OP mathematisch beweisen kann, dass der Raum isotrop ist. Lokal kann aus der Erhaltung von Impuls und Drehimpuls geschlossen werden. Aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es nicht so einfach - Homogenität und die Isotropie des Raums werden typischerweise angenommen und die Erhaltung von Linear- und Drehimpuls demonstriert.
@Philip - eigentlich ist mir gerade aufgefallen, dass ich den Beitrag falsch gelesen habe - das OP geht von der Isotropie des Raums aus - mein Fehler. In diesem Fall nehme ich an, dass das OP einfach nicht erkannt hat, wann der Boost in ist $x$ Richtung, die Schubebene ist $t-x$ - und es enthält nicht die anderen Koordinaten. Du hattest Recht.

Ein Problem bei der Ableitung der Lorentz-Transformation aus Homogenität und Isotropie der Raumzeit und dem Relativitätsprinzip

Quanten_Alpaka

Cinaed Simson

Antworten (1)

Philipp

Cinaed Simson

Philipp

Cinaed Simson

Cinaed Simson

Cinaed Simson

Philipp

Quanten_Alpaka

Cinaed Simson

Cinaed Simson

Reiner Lorentz-Boost; transponieren ≠≠\neq invers?

Wie leitet man das Raumzeitintervall aus der Lorentz-Transformation ab?

Intuitive Erklärung für die Lorentz-Transformation für die Zeit

Invarianz des Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie: Linearität

Beweis für die Eindeutigkeit der Transformation zwischen relativistischen Rahmen

Die Homogenität des Raums impliziert die Linearität der Lorentz-Transformationen

Warum differenzieren wir einen 4-Vektor in Bezug auf die Eigenzeit, um die 4-Geschwindigkeit zu erhalten?

Sind Lorentztransformationen lineare Transformationen? [Duplikat]

Ableitung der Lorentz-Transformation

Hyperbolische Rotation der Raumzeit und Lorentz-Transformation