Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

Question

Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

Doryan Miller

Bevor ich anfange, verspreche ich, dass dies kein Duplikat ist. Ich habe alle beantworteten verwandten Fragen durchgelesen, und keine davon hat die Einsicht, nach der ich suche. Unten habe ich ein Raum-Zeit-Diagramm mit ein paar beschrifteten Ereignissen angehängt, sowie mit dem, was ich für ihre Lorentz-transformierten Projektionen im anderen Rahmen vermute. Ich nehme an, dass das primäre Bild das sich bewegende ist und das nicht vorbereitete Bild in Ruhe ist.

Bisher habe ich Probleme ganz gut mit diesen Diagrammen gelöst, gepaart mit den expliziten Berechnungen, aber ich scheine an eine intuitive Wand gestoßen zu sein, als ich anfing, einige seltsame Fragen zu stellen.

Meine erste Frage betrifft bzgl $E_1$ . Dieses Ereignis tritt bei t'=0 auf, aber bei einem x' ungleich Null, und wenn $c t=\gamma(c t'+\beta x')$ , dann haben wir natürlich $ct \neq 0$ . Ich bin mir jedoch nicht sicher, was die Koordinaten dieses Ereignisses in R sein werden. Ich glaube, ich habe die räumlichen Koordinaten in Ordnung, nur weil ich parallel zu projiziert habe $ct'$ Achse, und sehen, wo diese Linie die schneidet $x$ Achse. Mir ist auch nicht klar, was die Zeitkoordinate sein sollte. Meine Intuition, basierend auf dem, was ich mit der letzten Koordinate gemacht habe, sagt mir, dass ich eine Linie durchziehen soll $E_1$ parallel zur $x'$ Achse, aber das führt mich zu $t=0$ , was falsch ist. Die Schätzung der blauen Linie für eine Projektion führt mich zu einem negativen Wert, im Gegensatz zu dem, was ich aufgrund der Mathematik sehen sollte, und dies lässt mich mit der braunen Linie zurück, die parallel zu ist $x$ Achse.

Meine Verwirrung ergibt sich aus der Tatsache, dass für Ereignisse, die an derselben Stelle in R auftreten, die beteiligten Koordinaten transformiert werden, parallel zu projizieren $ct'$ Und $x'$ . Ich würde denken, dass, um von R 'zu R zu gehen, stattdessen parallel zu den Achsen von R projiziert werden müsste, aber dies scheint bei anderen Problemen nicht zu funktionieren.

Ich denke, meine Hauptfrage ist, wann projiziere ich parallel zu den grundierten Achsen und wann projiziere ich parallel zu den nicht grundierten Achsen? Was würde dieser roten Projektionslinie entsprechen? Ich dachte, ich hätte das verstanden und habe Probleme gelöst, aber leider bin ich ratlos, jetzt, wo ich das im Kopf habe.

Antworten (2)

Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

kluonk · Answer 1

Ich denke, Sie haben es tatsächlich richtig gemacht, ohne zu wissen, welches welches ist. (Ich lasse den Faktor c der Einfachheit halber weg)

Nur zur Verdeutlichung: R bezeichnet das ungestrichene Koordinatensystem, R' das gestrichene. Zuerst werde ich die Technik allgemein erklären, bevor ich Ihre spezifischen Koordinaten verwende.

Einlesen der Koordinaten in R

Die Koordinaten von

E_{1} = (T_{1}, X_{1})

$E_1 = (t_1, x_1)$ kann wie in jedem anderen kartesischen Koordinatensystem aus dem Diagramm abgelesen werden. Zum Ablesen der Zeitkomponente können Sie einfach nach links gehen, parallel zur

x

$x$ -Achse, bis Sie die überqueren

t

$t$ -Achse. Dies entspricht der braunen Linie, die Sie in Ihrem Diagramm gezeichnet haben.

Zum Ablesen der räumlichen Komponente $x_1$ Sie können nach unten gehen, parallel zum $t$ -Achse, bis Sie die überqueren $x$ -Achse. Der Kreuzungspunkt ist Ihre Koordinate $x_1$ , die Projektion der roten Linie.

Ablesen der Koordinaten in R'

Um die Koordinaten im gestrichenen System abzulesen,

E_{1}^{'} = (T_{1}^{'}, X_{1}^{'}),

$E_1' = (t_1', x_1'),$ Die Technik ist fast die gleiche, aber da deine Achsen nicht mehr horizontal und vertikal sind, kannst du nicht einfach nach links bzw. geh nicht mehr runter.

Zum Ablesen der räumlichen Komponente $x_1'$ Du ziehst eine Linie durch das Ereignis $E_1$ die parallel zu der ist $t'$ -Achse. Die Zeitkomponente $t'$ kann abgelesen werden, indem eine Linie parallel zu gezogen wird $x'$ Achse.

Grob gesagt ist das Wichtigste, wenn Sie die Koordinaten in einem System ablesen, ist Ihnen die Achse im anderen System egal.

Auf das Beispiel angewendet

Also die Veranstaltung $E_1$ im grundierten System $R'$ Ist

E_{1}^{'} = (0, X_{1}^{'})

$E_1' = (0, x_1')$ Wie Sie die Transformation zum System erwähnt haben

R

$R$ wird von gegeben

E_{1} = (β γ X_{1}^{'}, γ X_{1}^{'})

$E_1= (\beta \gamma x_1', \gamma x_1')$ Die Zeitkomponente in

R

$R$ Ist

t_{1} = β γ x_{1}^{'}

$t_1= \beta \gamma x_1'$ . Dies ist die Koordinate, die Sie ablesen, indem Sie der braunen Linie folgen. Die räumliche Komponente ist

x_{1} = γ x_{1}^{'}

$x_1= \gamma x_1'$ . Dies entspricht der Überquerung der

x

$x$ -Achse mit der roten Linie.

Für das zweite Ereignis wollen wir das Ereignis im System beschreiben $R$ zuerst und lesen Sie dann seine Koordinaten im System ab $R'$ . Das Ereignis im ungestrichenen System ist

E_{2} = (T_{2}, 0) .

$E_2 = (t_2, 0).$ Da wandeln wir uns jetzt in die andere Richtung um, d.h

R \to R^{'}

$R \to R'$ anstatt

R^{'} \to R

$R' \to R$ , hat die Lorentz-Transformation ein negatives Vorzeichen für die Geschwindigkeit

β

$\beta$ .

E_{2}^{'} = (γ T_{2}, - β γ T_{2}) = (X_{2}^{'}, T_{2}^{'})

$E_2' = (\gamma t_2, -\beta \gamma t_2) = (x_2', t_2')$ Nun erfolgt die Ablesung mit parallelen Strichen zur Achse

x^{'}

$x'$ bzw.

t^{'}

$t'$ . Dies entspricht den von Ihnen gezeichneten blauen Linien. Sie können direkt das negative Vorzeichen von sehen

x_{2}^{'}

$x_2'$ an der Kreuzung der linken blauen Linie mit der

x^{'}

$x'$ -Achse.

Die grünen Projektionen

Angenommen, Sie haben eine Veranstaltung auf dem Grün $x_1$ . Dies nicht die $x_1$ der Veranstaltung $E_1$ . Nehmen wir also an, Sie haben an dieser Stelle ein Ereignis, das im System ausgedrückt wird $R$ ,

E_{3} = (X_{3}, 0),

$E_3= (x_3, 0),$ Wo

x_{3}

$x_3$ befindet sich an der von Ihnen markierten Stelle

x_{1}

$x_1$ in deinem Diagramm. Dann, um die räumliche Komponente im System abzulesen

R^{'}

$R'$ Sie können die grüne Projektion parallel zu t' verwenden . Beachten Sie, dass

x_{3}^{'}

$x_3'$ gleich der räumlichen Komponente von sein

E_{1}^{'}

$E_1'$ ,

X_{3}^{'} = X_{1}^{'}

$x_3'= x_1'$ aber die Zeitkomponente ist anders. Sie können es finden, indem Sie eine Linie parallel zu ziehen

x^{'}

$x'$ -Achse, die das Ereignis durchläuft. Dann werden Sie sehen, dass es die Zeitachse bei einer negativen Zeitkomponente kreuzt, nicht bei

t^{'} = 0

$t'=0$ .

Eher gründlich! Danke schön! Ich komme gerade aus dieser Klasse und ich glaube, ich bin vorher etwas verwirrter. Also sagen wir das Grün $x_1$ Punkt ist das Ende eines Bahnhofs in R (anderes Ende am Ursprung), und ein Zug, der in R' ruht, hat dieselbe Länge in R. Das Projizieren der Wortleitung des Endes des Bahnhofs führt zu einer geraden Linie nach oben Von dem oben genannten Punkt aus ist dieser Schnitt die Achse mit einer Länge in R 'von dem, was ich verstehe $\frac{L}{\gamma}$ .
Wenn wir jedoch die Wortlinie des Zuges von seiner räumlichen Projektion in R ziehen, zeichnen wir die Linie parallel zu der $ct'$ Achse, und erhalten Sie den Zug, um eine Länge zu sein $\gamma L$ im R'-Rahmen. Soweit ich weiß, werden Wortleitungen stationärer Ereignisse in R, die in R 'projiziert werden, parallel zu sein $ct$ und fangen einen Faktor von inversem Gamma ein, wohingegen Wortleitungen von R', die in R projiziert werden, einen Faktor von einfangen werden $\gamma$ . Scheint das richtig zu sein?

Benutzer139175 · Answer 2

Das Ereignis ist ein Punkt in der Raumzeit; dann können Sie einen Referenzrahmen hinzufügen. Um die Koordinaten eines Ereignisses zu finden, müssen Sie ein „Gitter“ aus Koordinaten für einen bestimmten Bezugsrahmen erstellen. Dieses Gitter wird unter Berücksichtigung eines beliebigen Punktes einer Achse und Zeichnen von Linien parallel zur anderen Achse konstruiert. Dies entspricht physikalisch der Bewegung anderer Beobachter mit der gleichen Geschwindigkeit (dies ergibt das Gitter parallel zu $t$ , also konstant $x$ ) und dann Linien konstanter Eigenzeit dieser Beobachter nehmen (Gitter parallel zu $x$ , also konstant $t$ ).

Geben Sie daher einen Punkt in der Raumzeit an, wenn Sie dessen Koordinaten finden möchten $R$ frame, zeichnest du einfach das übliche kartesische Gitter:

Und für $R'$ Sie zeichnen das Gitter parallel zu seinen Achsen:

Dinge zusammenfassen:

Minkowski-Diagramme: Wann parallel zu welchen Achsen projizieren

Doryan Miller

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kluonk

Einlesen der Koordinaten in R

Ablesen der Koordinaten in R'

Auf das Beispiel angewendet

Die grünen Projektionen

Doryan Miller

Doryan Miller

Doryan Miller

Benutzer139175

jaromrax

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