Keine räumliche Ordnung in der 1+1D flachen Minkowski-Raumzeit?

Beginnen wir mit einigen grundlegenden

• Ein Paar unterschiedlicher Ereignisse$P$Und$Q$können raumartig getrennt werden$(\Delta \vec{x})^2 > (c \Delta t)^2$, zeitartig getrennt$(\Delta \vec{x})^2 < (c \Delta t)^2$, oder lichtartig getrennt$(\Delta \vec{x})^2 = (c \Delta t)^2$(und es gibt viele Variantennamen für diese Bedingungen, einschließlich "null getrennt"). Und diese Kategorien sind unveränderlich: Sie sind für alle Trägheitsbeobachter gleich.

• Ereignisse, die räumlich getrennt sind, haben keine garantierte zeitliche Ordnung, aber eine garantierte räumliche Ordnung. Sie haben auch in keinem Rahmen eine räumliche Trennung von Null, aber in einem Rahmen eine zeitliche Trennung von Null.

• Zeitlich getrennte Ereignisse haben eine garantierte zeitliche Ordnung, aber keine garantierte räumliche Ordnung. Sie haben auch in einigen Frames eine räumliche Trennung von Null, aber in keinem Frame eine zeitliche Trennung von Null.

• Bei Ereignissen, die lichtartig getrennt sind, sind beide Ordnungen garantiert, und sie haben in allen Frames eine räumliche und zeitliche Trennung ungleich Null.

Lassen Sie uns dieses Verständnis nun auf Ihre Situation anwenden. Sie haben angenommen, dass es einen einzigen Zeitpunkt (in ihrem gemeinsamen Bezugssystem) gibt, in dem die Objekte eine bestimmte räumliche Ordnung haben.

Nennen wir die Ereignisse, die die Position der Objekte in diesem Moment markieren (im ausgewählten Frame)$A_1$,$B_1$Und$C_1$. Da dies zu einem gemeinsamen Zeitpunkt in einem bestimmten Rahmen geschieht, sind sie notwendigerweise räumlich getrennt. Sie haben also eine feste räumliche Ordnung.

Und das gleiche gilt für jede Gruppe von Ereignissen, die im ausgewählten Rahmen oder im Rahmen des Objekts gleichzeitig stattfinden$A$nachdem es beschleunigt hat.

Um einige Ereignisse zu finden, die möglicherweise keine eindeutige räumliche Reihenfolge haben, ziehen Sie event in Betracht$A_2$die eine nicht triviale Zeit nach dem Objekt auftritt$A$beschleunigt. Wenn wir lange genug warten, wird es zumindest raumartig vom Ereignis getrennt sein$B_1$und vielleicht Ereignis$C_1$sowie.

Ein Raum-Zeit-Diagramm könnte hier hilfreich sein.
Ich habe es auf gedrehtem Millimeterpapier gezeichnet, damit wir die Ticks entlang verschiedener zeitartiger und raumartiger Segmente visualisieren können.

Anstelle von 0,97 c habe ich verwendet$v_{Af}=\displaystyle\frac{OC_0}{C_0Z}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}=0.8c$zur Bequemlichkeit. So,$\displaystyle\gamma=\frac{OZ}{C_0Z}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$.

Beachten Sie, dass [von den schwarzen Segmenten, die gleichzeitig mit Beobachter-A sind, nachdem sich Beobachter-A bewegt hat] die räumliche Ordnung beibehalten wird, bis die Weltlinie von A auf die Weltlinie von B trifft. In der gestellten Frage gibt es also wahrscheinlich einen Missbrauch der "Längenkontraktion" (wobei es wirklich um die räumliche Trennung zwischen zwei parallelen Weltlinien geht, z. B. eine Linie parallel zur Weltlinie von A, nachdem sich A bewegt hat).

Nein, nur die erste Lorentzkontraktion ist korrekt. Wenn A plötzlich zu beschleunigt$.97~c$, seine Position ändert sich nicht plötzlich im Rahmen von B und C. Es ist immer noch 4 Einheiten links von B und 8 links von C.

Lorentz-Transformationen setzen Messungen in Beziehung, wie sie in verschiedenen Frames gemacht wurden . B und C haben die Frames nicht geändert, daher ist es für sie nicht angebracht, eine Lorentz-Transformation zu verwenden. A hat Frames geändert, daher ist eine Lorentz-Transformation angemessen.

Sie verwenden eine Lorentz-Transformation nicht immer dann, wenn ein Objekt beschleunigt – Sie verwenden eine Lorentz-Transformation, wenn ein Beobachter beschleunigt, oder um die Messungen zweier Beobachter in verschiedenen Frames in Beziehung zu setzen.

Zwei Beobachter können sich in bestimmten Fällen im Allgemeinen über die räumliche Ordnung nicht einig sein. Aber B und C befinden sich im selben Rahmen und teilen sich daher ein Koordinatensystem. In diesem Fall können sie sich sicherlich nicht über die räumliche Ordnung einigen.

Wenn A den Rahmen wechselt, schaut es jetzt von diesem neuen Rahmen aus auf AB und BC, und sie ziehen sich zusammen, wenn sie in den neuen Rahmen von A umgewandelt werden. B und C bleiben in ihrem ursprünglichen Rahmen, also gibt es keine Transformation, daher bleiben AB und BC für sie gleich.

Ihre Frage wirft einige Leute ab, weil Sie die Wörter Punktmasse und Beschleunigung verwendet haben. In Wirklichkeit betrachten Sie zwei unterschiedliche Punktmassen, deren Anfangszustände sich nur in ihren Geschwindigkeiten unterscheiden. Die an den Partikeln angebrachten Trägheitsreferenzrahmen sollen durch einen Boost in Beziehung stehen. Es ist praktisch, von abstrakten Trägheitsbeobachtern statt von konkreten Punktteilchen zu sprechen, die sich am Ursprung von Trägheitsbezugssystemen befinden. Es vereinfacht die Sprache und macht deutlich, dass wir nur an den Eigenschaften der Raumzeit selbst interessiert sind.

Ihre Argumentation ist stichhaltig. Das Akzeptieren der Raumkontraktion aufgrund der Lorentz-Transformation zwingt uns zu dem Schluss, dass die räumliche Ordnung relativ ist. Ich mag den Aufbau und die Notation, die Sie verwendet haben, um dies zu demonstrieren, wirklich. Die Art und Weise, wie Sie die spezielle Relativitätstheorie anwenden, ist jedoch etwas schlampig. Ich komme später darauf zurück, aber als allgemeinen Ratschlag würde ich Ihnen raten, immer in Bezug auf Ereignisse zu argumentieren. Events sind schön, weil bei mehreren Beobachtern immer klar ist, was gemessen wird: das Event. Die Beobachter können dem Ereignis einfach eine Raum-Zeit-Koordinate zuordnen, die wir dann vergleichen können. Wenn wir mehrere Beobachter fragen, wie groß der Abstand zwischen zwei gegebenen Beobachtern ist, ist überhaupt nicht klar, was wir von den Beobachtern verlangen.

Antworten

Der Standardansatz zur Lösung des Paradoxons besteht darin, sich daran zu erinnern, dass Gleichzeitigkeit relativ ist, ein Raum-Zeit-Diagramm zu zeichnen und zu zeigen, dass alles gut und gut ist. Ich langweile mich schon selbst, also versuchen wir etwas anderes.

Eines der zentralen Themen der speziellen Relativitätstheorie ist, dass Raum und Zeit gleichberechtigt sind. Zu jedem räumlichen Konzept gibt es ein entsprechendes zeitliches Konzept. Wir haben Raumkontraktion und Zeitdilatation, Energie und Impuls, Dichte und Fluss und so weiter. Sie haben ein räumliches Paradoxon geschaffen. Was ist das entsprechende zeitliche Paradoxon? Ich würde gerne Ihre Notation verwenden, aber ich werde Ihre Argumentation ein wenig verfeinern.

Betrachten Sie drei Trägheitsbeobachter,$A,B$Und$C$. Beobachter$B$Und$C$zueinander in Ruhe sind und$A$ist nicht.$A$beobachtet das$B$Und$C$bewegen sich auf ihn zu und er misst das$B$passiert ihn (ein Ereignis), nachdem eine Zeiteinheit auf seiner Uhr verstrichen ist und nachdem er relativ zu einer Entfernungseinheit zurückgelegt hat$B$. Er geht vorbei$C$nach zwei Zeiteinheiten und zwei Wegeinheiten. In Ihrer Notation, leicht angepasst, sind die Raumdiagramme

Der vertikale Balken repräsentiert eine unendliche Anzahl von Strichen. Aus$B$s Perspektive, zum Beispiel die Entfernung, die er zurücklegt, bevor er sich trifft$C$ist unendlich, weil sie sich nie wirklich treffen. Ich bin gezwungen umzudrehen$A$Und$B$im dritten Diagramm, weil es unmöglich ist, eine unendliche Entfernung ($B\ |\ C$) in endlicher Entfernung ($A--C$). Beobachter$B$Und$C$verschiedener Meinung sein. Entsprechend$B$, am Anfang des Szenarios$A$ist links davon$B$.$C$sagt$A$beginnt rechts von$B$. Dies ist Ihr räumliches Paradoxon, leicht umformuliert.

Die entsprechenden Zeitdiagramme sind genau die gleichen wie die Raumdiagramme. Die Striche stellen nun die Zeitintervalle dar, die von den Beobachtern aufgezeichnet werden.$B$Und$C$sagen mal wieder etwas ganz anderes. Entsprechend$B$, es wird sich treffen$A$in der Zukunft.$C$sagt$B$hat sich schon getroffen$A$. Das ist das temporale Paradoxon.

Zusammenfassend beginnt das Szenario wie folgt. Entsprechend$B$,$A$ist auf der linken Seite$B$und wird vergehen$B$in der Zukunft. Entsprechend$C$,$A$ist rechts von$B$und ist bestanden$B$in der Vergangenheit. Diese beiden Aussagen widersprechen sich überhaupt nicht. Wir sehen, dass das räumliche Paradoxon einen zeitlichen Zwilling hat und dass sie sich gegenseitig auflösen.

Wäre es nicht schön, wenn andere Paradoxien in der speziellen Relativitätstheorie so funktionieren würden?