Aus Abbildung 01:
Lorentztransformation ausS. ≡{xy_η, η= c t }
ZuS1≡ {X1j1η1,η1= cT1}
⎡⎣⎢X1j1η1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−coschζ0− Sündeζ010− Sündeζ0−coschζ⎤⎦⎥⎡⎣⎢Xjη⎤⎦⎥,Tanhζ=uC(01)
oder
X1=L1X,L1=⎡⎣⎢−coschζ0− Sündeζ010− Sündeζ0−coschζ⎤⎦⎥(01")
Aus Abbildung 02:
Lorentztransformation ausS1≡ {X1j1η1,η1= cT1}
ZuS2≡ {X2j2η2,η2= cT2}
⎡⎣⎢X2j2η2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1000−coschξ− Sündeξ0− Sündeξ−coschξ⎤⎦⎥⎡⎣⎢X1j1η1⎤⎦⎥,Tanhξ=wC(02)
oder
X2=L2X1,L2=⎡⎣⎢1000−coschξ− Sündeξ0− Sündeξ−coschξ⎤⎦⎥(02")
Beachten Sie, dass aufgrund der Standardkonfigurationen die Matrizen
L1,L2
sind reell symmetrisch.
Aus den Gleichungen (01) und (02) haben wir
X2=L2X1=L2L1X⟹ _X2= ΛX _(03)
Wo
Λ
die Zusammensetzung der beiden Lorentz-Transformationen
L1,L2
Λ =L2L1=⎡⎣⎢1000−coschξ− Sündeξ0− Sündeξ−coschξ⎤⎦⎥⎡⎣⎢−coschζ0− Sündeζ010− Sündeζ0−coschζ⎤⎦⎥(04)
das ist
Λ =⎡⎣⎢−coschζ−SündeζSündeξ− Sündeζcoschξ0−coschξ− Sündeξ− Sündeζ− coschζSündeξ−coschζcoschξ⎤⎦⎥(04")
Die Lorentz-TransformationsmatrixΛ
ist nicht symmetrisch, also die SystemeS ,S2
sind nicht in der Standardkonfiguration. Aber man könnte es so schreiben
Λ = R ⋅ L(05)
Wo
L
ist die symmetrische Lorentz-Transformationsmatrix aus
S
zu einem Zwischensystem
S'2
in Standardkonfiguration dazu und mitbewegen
S2
, während
R
geht eine rein räumliche Transformation aus
S'2
Zu
S2
.
Jetzt liegt es an Ihnen, die Lorentz-Transformationsmatrix zu findenL
erst und dann um das zu beweisenR
Ist
R =⎡⎣⎢cosϕSündeϕ0− Sündeϕ−cosϕ0001⎤⎦⎥,Wobräunenϕ =SündeζSündeξcoschζ+ coschξ,ϕ ∈ ( −π2, +π2)11111(06)
die eine Ebenendrehung aus darstellt
S'2
Zu
S2
, siehe Bild 03.
BEARBEITEN
Die Lorentz-TransformationsmatrixL
, ausS
zum ZwischensystemS'2
in der Standardkonfiguration dazu ist:
L ( υ ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+(γυ−1 )N2X(γυ−1 )NjNX−γυυXC(γυ−1 )NXNj1+(γυ−1 )N2j−γυυjC−γυυXC−γυυjCγυ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(07)
Im (07)
υNγυ= (υX,υj)= (NX,Nj) =υ∥ υ ∥=υυ=(1−υ2C2)−12=11−υ2C2−−−−−√(08.1)(08.2)(08.3)
Wo
υ
ist der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs
Ö'2( ≡Ö2)
gegenüber
S
,
N
den Einheitsvektor entlang
υ
Und
γυ
die entsprechende
γ−
Faktor.
Der Geschwindigkeitsvektorυ
könnte in Form von Schnelligkeiten ausgedrückt werdenζ, ξ
und so könnten wir die Matrix ausdrückenL
als Funktion von ihnen. Zunächst stellen wir fest, dass der Geschwindigkeitsvektorυ
ist die relativistische Summe zweier orthogonaler Geschwindigkeitsvektorenu = ( u, 0 ) , w = ( 0, w )
υ = u +wγu=⎡⎣u,(1−u2C2)12w⎤⎦,γu=(1−u2C2)−12(09)
nicht zu verwechseln mit der relativistischen Summe zweier kollinearer Geschwindigkeitsvektoren, die in die gleiche Richtung zeigen
υ ≠u+w1 +du wC2(10)
Von (09) haben wir
υXCυjC(υC)2γυ=uC= tanhζ=wγuC=Tanhξcoschζ=(υXC)2+(υjC)2= 1 −(1coschζcoschξ)2=γ2υ−1γ2υ=(1−υ2C2)−12= coschζcoschξ(11.1)(11.2)(11.3)(11.4)
Und
γυυXCγυυjC1+(γυ−1 )N2X1+(γυ−1 )N2j(γυ−1 )NXNj= Sündeζcoschξ= Sündeξ= 1+(γυ−1 )(υXC)2(υC)2= 1+γ2υ1+γυTanh2ζ= 1+Sünde2ζcosch2ξ1+coschζcoschξ= 1+(γυ−1 )(υjC)2(υC)2= 1+γ2υ1+γυTanh2ξcosch2ζ= 1+Sünde2ξ1+coschζcoschξ= (γυ−1 )(υXC)(υjC)(υC)2=γ2υ1+γυTanhζTanhξcoschζ=SündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξ(12.1)(12.2)(12.3)(12.4)(12.5)
Also die Matrix
L ( υ )
von Gleichung (07) als Funktion der Schnelligkeiten
ζ, ξ
Ist
L ( υ ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+Sünde2ζcosch2ξ1+coschζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξ− SündeζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξ1+Sünde2ξ1+coschζcoschξ− Sündeξ− Sündeζcoschξ− Sündeξcoschζcoschξ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(13)
Nun, um die räumliche Transformation zu bestimmen
R
wir haben von (05)
R =Λ⋅L− 1(14)
Für
L− 1
Gleichung (07) ergibt
L− 1= L (−υ ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+(γυ−1 )N2X(γυ−1 )NjNXγυυXC(γυ−1 )NXNj1+(γυ−1 )N2jγυυjCγυυXCγυυjCγυ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(15)
und ab (13)
L− 1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+Sünde2ζcosch2ξ1+coschζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξSündeζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξ1+Sünde2ξ1+coschζcoschξSündeξSündeζcoschξSündeξcoschζcoschξ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(16)
So
R =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−coschζ−SündeζSündeξ− Sündeζcoschξ0−coschξ− Sündeξ− Sündeζ− coschζSündeξ−coschζcoschξ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+Sünde2ζcosch2ξ1+coschζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξSündeζcoschξSündeζSündeξcoschξ1+coschζcoschξ1+Sünde2ξ1+coschζcoschξSündeξSündeζcoschξSündeξcoschζcoschξ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(17)
Die obige Matrixmultiplikation endet mit dem folgenden Ausdruck
R =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢coschζ+coschξ1+coschζcoschξSündeζSündeξ1+coschζcoschξ0−SündeζSündeξ1+coschζcoschξ−coschζ+coschξ1+coschζcoschξ0−0−0−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(18)
Aber
(coschζ+coschξ1+coschζcoschξ)2+(SündeζSündeξ1+coschζcoschξ)2= 1(19)
damit wir definieren können
cosϕ≡De fcoschζ+coschξ1+coschζcoschξ,Sündeϕ =SündeζSündeξ1+coschζcoschξ,ϕ ∈ ( −π2, +π2)(20)
und schlussendlich
R =⎡⎣⎢cosϕSündeϕ0− Sündeϕ−cosϕ0001⎤⎦⎥(21)
das beweisen
R
ist eine Rotation, siehe Bild 03.
Bill N
Frobenius
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