Ist jede Lorentz-Transformation ein reiner Boost plus etwas Rotation?

Question

Ist jede Lorentz-Transformation ein reiner Boost plus etwas Rotation?

Atom

Ich studiere Friedman und Susskinds spezielle Relativitätstheorie und klassische Feldtheorie im Selbststudium .
Sie definieren eine allgemeine Lorentz-Transformation (die den Ursprung festhält) als Lorentz-Boost-in $x$ -Richtung mit einigen räumlichen Rotation(en) zusammengesetzt. Ich habe selbst bewiesen, dass eine solche allgemeine Lorentz-Transformation $L$ (wobei der Ursprung unverändert bleibt) entsprechend der Geschwindigkeit $\mathbf v = (v_x, v_y, v_z)$ (unter Verwendung $c=1$ ) ist gegeben durch

L = (\begin{matrix} γ & - γ v_{X} & - γ v_{j} & - γ v_{z} \\ - γ v_{X} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{X}^{2}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{j}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{z}}{v^{2}} \\ - γ v_{j} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{j}}{v^{2}} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{j}^{2}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{j} v_{z}}{v^{2}} \\ - γ v_{z} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{X}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{j} v_{z}}{v^{2}} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{z}^{2}}{v^{2}} \end{matrix}),

$L = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y & -\gamma v_z\\ -\gamma v_x & 1+(\gamma -1){v_x^2\over v^2} & (\gamma-1){v_xv_y\over v^2} & (\gamma-1){v_xv_z\over v^2}\\ -\gamma v_y & (\gamma-1){v_xv_y\over v^2} & 1+(\gamma-1){v_y^2\over v^2} & (\gamma-1){v_yv_z\over v^2}\\ -\gamma v_z & (\gamma-1){v_xv_x\over v^2} & (\gamma-1){v_yv_z\over v^2} & 1+(\gamma-1){v_z^2\over v^2}\\ \end{pmatrix},$

so dass für jeden 4-Vektor $x$ , derselbe Vektor, wie er vom sich bewegenden Beobachter beobachtet wird, ist gegeben durch $Lx$ . ( $\gamma = 1/\sqrt{1-\mathbf v^2}$ .)

Nun definieren viele Ressourcen (wie die akzeptierte Antwort in diesem ehemaligen SE-Beitrag von mir) eine Lorentz-Transformationsmatrix (immer noch mit festem Ursprung) als beliebige Matrix $\Lambda$ , befriedigend $\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$ , für die Minkowski-Metrik $\eta$ . Ich habe bewiesen, dass dies eine notwendige und hinreichende Bedingung ist, um die inneren Produkte invariant zu lassen.

Aber entsprechend einer solchen $\Lambda$ , gibt es eine $L$ des Formulars oben?

Antworten (2)

Ist jede Lorentz-Transformation ein reiner Boost plus etwas Rotation?

Benutzer1379857 · Answer 1

Nein, die Lorentz-Gruppe enthält alle Rotationen, Boosts und Kompositionen aus Rotationen und Boosts. Was Sie geschrieben haben, ist die allgemeinste Form für einen Boost. Allerdings kann eine reine Rotation, d.h

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & 0 & Sünde θ \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - Sünde θ & 0 & \cos θ \end{matrix})

$\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \end{equation}$ kann in dieser Form nicht geschrieben werden.

Bearbeiten: Ich habe noch nie die allgemeinste Form einer geschriebenen Lorentz-Transformation gesehen. Ich würde mir vorstellen, dass es wahrscheinlich ein chaotischer Ausdruck ist, der von drei Euler-Winkeln (für Rotationen) und drei Geschwindigkeitskomponenten (für Boosts) abhängt. Es wäre stark davon abhängig, wie Sie es parametrisieren möchten, und ich bin mir nicht sicher, ob ein solcher Ausdruck für die meisten Anwendungen nützlich wäre (außer vielleicht, um eine intellektuelle Neugier zu befriedigen, und das zählt für etwas).

Ich werde jedoch sagen, dass eine gute Möglichkeit, Gruppen im Allgemeinen zu "parametrisieren", darin besteht, die "Generatoren" der Gruppe zu verwenden und sie zu potenzieren (unter Verwendung der Matrix Exponential ).

Beispielsweise wird die Lorentz-Gruppe von den sechs Matrizen "erzeugt". $K_x, K_y, K_z, L_x, L_y, L_z$ , entsprechend infinitesimalen Boosts und Rotationen,

K_{X} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{X} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

K_{j} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{j} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

K_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

Zum Beispiel eine Drehung um die $y$ Achse um einen winzigen Winkel $\theta$ könnte geschrieben werden als

ICH + θ L_{j} + Ö (θ^{2})

$\begin{equation} I + \theta L_y + \mathcal{O} (\theta^2) \end{equation}$ deshalb sagen wir das

L_{y}

$L_y$ "erzeugt" Drehungen um die y-Achse. Für einen endlichen (nicht infinitesimalen) Winkel könnten wir die Rotation in Bezug auf die Exponentialmatrix schreiben als

e^{θ L_{j}} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & 0 & Sünde θ \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - Sünde θ & 0 & \cos θ \end{matrix}) .

$\begin{equation} e^{\theta L_y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}. \end{equation}$

Boosts können auf die gleiche Weise geschrieben werden, indem die Schnelligkeit des Boosts verwendet wird, die ich nennen werde $\phi$ . Beispielsweise kann eine Erhöhung entlang der z-Richtung geschrieben werden als

e^{ϕ K_{z}} = (\begin{matrix} cosch ϕ & 0 & 0 & Sünde ϕ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ Sünde ϕ & 0 & 0 & cosch ϕ \end{matrix}) .

$\begin{equation} e^{\phi K_z} = \begin{pmatrix} \cosh \phi & 0 & 0 & \sinh \phi \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh \phi & 0 & 0 & \cosh \phi \end{pmatrix}. \end{equation}$

Jetzt werde ich endlich erklären, wie man die Lorentz-Gruppe "parametrisiert". Jede Lorentz-Transformation kann geschrieben werden als

Λ = e^{θ (\hat{N} \cdot \vec{L}) + ϕ (\hat{M} \cdot \vec{K})}

$\begin{equation} \Lambda = e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) + \phi (\hat m \cdot \vec{K})} \end{equation}$ Wo

\hat{n}

$\hat n$ Und

\hat{m}

$\hat m$ sind beide Einheitsvektoren (

| \hat{n} | = | \hat{m} | = 1

$|\hat n| = |\hat m| = 1$ ) Und

\vec{L}

$\vec L$ Und

\vec{K}

$\vec K$ ist nur eine Notation, die ich für einen "Vektor von Matrizen" verwende, also zum Beispiel

\vec{L} = (L_{x}, L_{y}, L_{z})

$\vec L = (L_x, L_y, L_z)$ Und

\hat{n} \cdot \vec{L} = n_{x} L_{x} + n_{y} L_{y} + n_{z} L_{z}

$\hat n \cdot \vec L = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z$ . Diese Parametrisierung kann man sich als eine Art "kontinuierliches" Durchführen einer Rotation vorstellen

θ

$\theta$ während auch durch die Schnelligkeit "geboostet" wird

ϕ

$\phi$ gleichzeitig. Es zerfällt jedoch nicht gut in eine Komposition aus Boost und Rotation, da die Rotations- und Boost-Generatoren nicht pendeln.

e^{θ (\hat{N} \cdot \vec{L}) + ϕ (\hat{M} \cdot \vec{K})} \neq e^{θ (\hat{N} \cdot \vec{L})} e^{ϕ (\hat{M} \cdot \vec{K})}

$\begin{equation} e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) + \phi (\hat m \cdot \vec{K})} \neq e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) }e^{\phi (\hat m \cdot \vec{K})} \end{equation}$

Nur noch eine Frage: Können Sie die allgemeinste Form einer Lorentz-Transformation schreiben (oder skizzieren, wenn das zu kompliziert ist, um sie aufzuschreiben)?
@Atom Die allgemeinste richtige Lorentz-Transformation ist Ihre allgemeine Boost-Matrix mit drei Parametern, die mit einer allgemeinen Rotationsmatrix mit drei Parametern vor- oder nachmultipliziert wird. Es gibt auch ungeeignete Transformationen, die räumliche Inversion und Zeitumkehr beinhalten.
Bisher beschreibt diese Antwort nur echte Lorentz-Transformationen, die nur ein Viertel der gesamten Lorentz-Gruppe umfassen.
Ja, Sie können auch mit Zeitumkehr, Parität oder beidem multiplizieren, um die Lorentz-Transformationen zu erhalten, die nicht kontinuierlich mit der Identität verbunden sind. Es gibt tatsächlich 4 zusammenhängende Komponenten der Lorentz-Gruppe.
Vielen Dank @user1379857 für deine Bearbeitung. Allerdings kenne ich mich mit solchen Gruppen und Matrixexponenten im Moment nicht aus. Ich werde auf jeden Fall in Zukunft darauf zurückkommen, wenn ich mich damit vertraut gemacht habe.
@G.Smith Sollte es nicht sechzehn verbundene Gruppen geben , anstatt nur vier? Wir scheinen zu haben $2^4$ Kombinationen zum Wechseln der Vorzeichen an den vier Stellen eines 4er-Tupels.
Nehmen wir an, Sie vertauschen das Vorzeichen der x- und y-Richtung. Dieser Flip kann rückgängig gemacht werden durch a $180^\circ$ Drehung um die z-Achse. Beliebige zwei „Flips“ der Raumrichtung führen immer zurück zur ursprünglich angeschlossenen Komponente.
@Atom Es gibt vier verbundene Komponenten der vollständigen Lorentz-Gruppe. Nur einer von ihnen kann eine Gruppe für sich sein, weil die Identitätstransformation nur in einer Komponente lebt.
@Atom Es gibt nur vier , nicht 16. Sie müssen nur die räumliche Inversion (Negation aller drei räumlichen Koordinaten) und die Zeitinversion berücksichtigen. Es ist nicht richtig, auch Spiegelungen (Negation einer Raumkoordinate) zu berücksichtigen, da diese einer vollständigen Inversion kombiniert mit einer Rotation entsprechen.
@G.Smith Jetzt kann ich es sehen! Ich habe das früher falsch verstanden (aber das lag an meinem Unwissen, der Kommentar von Benutzer1379857 war auch sehr hilfreich!). Danke euch beiden!

Der_Sympathisant · Answer 2

Um der Diskussion hinzuzufügen, was @ user1379857 nicht in Bezug auf "Wie sieht die allgemeinste richtige Lorentz-Transformation aus, wie sie explizit niedergeschrieben aussieht" hinzuzufügen, werde ich dies als Ableitung bereitstellen.

Die drei Rotationsmatrizen (beachten Sie hier, dass ich die Tait-Bryan-Winkel anstelle der "physikalischeren" Euler-Winkel bevorzuge, weil ich sie intuitiver finde, da Sie sich vorstellen können, ein spitzes Fahrzeug zu zielen) für ein Objekt im 3D-Raum zunächst zeigt entlang der $z$ -Achse, wo die $y$ -Achse ist vertikal, die $x$ -Achse ist horizontal, und die $z$ -Achse zeigt in den Bildschirm, sieht aus wie

R_{R} (θ_{R}) := [\begin{matrix} \cos (θ_{R}) & - Sünde (θ_{R}) & 0 \\ Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{R}) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_R(\theta_R) := \begin{bmatrix} \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_R) && 0 \\ \sin(\theta_R) && \cos(\theta_R) && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

für Rolle und

R_{P} (θ_{P}) := [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ_{P}) & - Sünde (θ_{P}) \\ 0 & Sünde (θ_{P}) & \cos (θ_{P}) \end{matrix}]

$R_P(\theta_P) := \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && \cos(\theta_P) && -\sin(\theta_P) \\ 0 && \sin(\theta_P) && \cos(\theta_P) \end{bmatrix}$

für Tonhöhe und schließlich

R_{Y} (θ_{Y}) := [\begin{matrix} \cos (θ_{Y}) & 0 & - Sünde (θ_{Y}) \\ 0 & 1 & 0 \\ Sünde (θ_{Y}) & 0 & \cos (θ_{Y}) \end{matrix}]

$R_Y(\theta_Y) := \begin{bmatrix} \cos(\theta_Y) && 0 && -\sin(\theta_Y) \\ 0 && 1 && 0 \\ \sin(\theta_Y) && 0 && \cos(\theta_Y) \end{bmatrix}$

für gieren . Die relevante Reihenfolge der Anwendung ist, Ihr Fahrzeug zuerst von Seite zu Seite zu rollen (zu kippen), dann nach oben oder unten zu neigen und schließlich nach links oder rechts zu gieren :

R_{R P Y} (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y}) := R_{Y} (θ_{Y}) R_{P} (θ_{P}) R_{R} (θ_{R})

$R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) := R_Y(\theta_Y) R_P(\theta_P) R_R(\theta_R)$

ist die Gesamtrotation im 3D-Raum. Wenn Sie diese Matrixmultiplikationen durchführen, idealerweise mit Hilfe eines Computers (!), erhalten Sie dieses schreckliche Durcheinander:

R_{R P Y} (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y}) = [\begin{matrix} \cos (θ_{Y}) \cos (θ_{R}) - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) \cos (θ_{R}) - \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{R}) & - Sünde (θ_{Y}) \cos (θ_{P}) \\ \cos (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{P}) \cos (θ_{R}) & - Sünde (θ_{P}) \\ Sünde (θ_{Y}) \cos (θ_{R}) + \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) \cos (θ_{R}) - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{Y}) \cos (θ_{P}) \end{matrix}]

$R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) = \begin{bmatrix} \cos(\theta_Y) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \cos(\theta_Y) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \cos(\theta_P) \\ \cos(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_P) \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_P) \\ \sin(\theta_Y) \cos(\theta_R) + \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_P)\end{bmatrix}$

Wenn wir zur Raumzeit gehen, müssen wir die zeitliche Koordinate hinzufügen, nämlich

^{(4)} R_{R P Y} (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y}) := [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ_{Y}) \cos (θ_{R}) - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) \cos (θ_{R}) - \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{R}) & - Sünde (θ_{Y}) \cos (θ_{P}) \\ 0 & \cos (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{P}) \cos (θ_{R}) & - Sünde (θ_{P}) \\ 0 & Sünde (θ_{Y}) \cos (θ_{R}) + \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{Y}) Sünde (θ_{P}) \cos (θ_{R}) - Sünde (θ_{Y}) Sünde (θ_{R}) & \cos (θ_{Y}) \cos (θ_{P}) \end{matrix}]

$^{(4)}R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) := \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \cos(\theta_Y) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \cos(\theta_P) \\ 0 && \cos(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_P) \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_P) \\ 0 && \sin(\theta_Y) \cos(\theta_R) + \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_P)\end{bmatrix}$

Aber wie Sie bemerkt haben, brauchen wir jetzt eigentlich keine willkürliche Boost-Matrix, um eine allgemeine Lorentz-Transformation zu erhalten - wir brauchen nur eine, und hier wird die "handwerkliche" Intuition aus der Tait-Bryan-Perspektive noch hilfreicher. Stellen Sie sich vor, Sie fliegen ein relativistisches Raumschiff, das zunächst "in Ruhe" in einem Bodenrahmen startet und entlang dessen zeigt $z$ -Achse. Wenn Sie irgendwohin wollen, würden Sie Ihr Schiff zuerst nach einer bestimmten Positionierung ausrichten $(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$ , und dann würden Sie Ihre Schubdüsen einschalten und Ihre Schnelligkeit auf einiges steigern $\phi$ für die Kreuzfahrt. Aus Ihrer Sicht zeigt die Nase Ihres Schiffes immer nach unten $z$ -Achse, also müssen wir nur die betrachten $z$ -Schub:

^{(4)} B_{z} (ϕ_{z}) := [\begin{matrix} cosch (ϕ_{z}) & 0 & 0 & Sünde (ϕ_{z}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ Sünde (ϕ_{z}) & 0 & 0 & cosch (ϕ_{z}) \end{matrix}]

$^{(4)}B_z(\phi_z) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_z) && 0 && 0 && \sinh(\phi_z) \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ \sinh(\phi_z) && 0 && 0 && \cosh(\phi_z) \end{bmatrix}$

Da wir uns nun vorstellen, dass dies aus der Sicht des Piloten geschieht , wir aber die Rotationsmatrizen aus unserer Sicht von außen erzeugt haben, sollten wir uns durch die Rotationsmatrix zurückziehen, also hir Lorentz Frame Shifts via:

^{(4)} L (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y}, ϕ) :=^{(4)} B_{z} (ϕ)^{(4)} R_{R P Y}^{- 1} (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y})

$^{(4)} L(\theta_R, \theta_P, \theta_Y, \phi) :=\ ^{(4)} B_z(\phi)\ ^{(4)} R^{-1}_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$

entsprechend der Orientierungsänderung des Fahrzeugs, gefolgt von der Triebwerkseinschaltung.

Jetzt könnten wir das auch aufschreiben, aber Sie können irgendwie verstehen, wohin das führen wird, wenn man bedenkt, was ich oben für die angegeben habe $^{(4)}R_\mathrm{RPY}$ Matrix und ... ja.

Aber ja, dann ist es ein Schub plus eine Drehung für die richtige Gruppe - der Rest der Lorentz-Gruppe wird auch eine weitere Reflexion sowohl in Raum als auch in Zeit beinhalten , was 4 mögliche Kombinationen ergibt (räumliche Orientierung umgekehrt/nicht umgekehrt + zeitlich Orientierung umgekehrt/nicht umgekehrt), also 4 weitere "Blätter" von Transformationen (vgl. Lie-Gruppe).

ADD: Wie in den Kommentaren erwähnt, benötigen Sie tatsächlich die beiden verbleibenden Boost-Matrizen - wenn Susskinds Buch vorschlug, können Sie damit durchkommen $x$ -Achse (hier $z$ -Achse) allein steigern, war falsch! Um mit der obigen Illustration fortzufahren, stellen Sie sich vor, dass das Schiff nach dem Zünden seiner Motoren entweder von links oder rechts oder von oben oder unten durch eine gewisse Kraft "geschoben" wird, wodurch es mit zusätzlicher Geschwindigkeit getroffen wird $\phi_x$ Und $\phi_y$ . Wir brauchen dann

^{(4)} B_{X} (ϕ_{X}) := [\begin{matrix} cosch (ϕ_{X}) & Sünde (ϕ_{X}) & 0 & 0 \\ Sünde (ϕ_{X}) & cosch (ϕ_{X}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$^{(4)}B_x(\phi_x) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_x) && \sinh(\phi_x) && 0 && 0 \\ \sinh(\phi_x) && \cosh(\phi_x) && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

^{(4)} B_{j} (ϕ_{j}) := [\begin{matrix} cosch (ϕ_{j}) & 0 & Sünde (ϕ_{j}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ Sünde (ϕ_{j}) & 0 & cosch (ϕ_{j}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$^{(4)}B_y(\phi_y) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_y) && 0 && \sinh(\phi_y) && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ \sinh(\phi_y) && 0 && \cosh(\phi_y) && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

und jetzt haben wir die vollständige Lorentz-Boost-Matrix (beachten Sie, dass sie sich unterscheidet, wenn Sie eine andere Sequenz verwenden, aber ich stelle mir vor, dass der Stoß von links / rechts zuerst kommt, gefolgt von dem von oben / unten):

^{(4)} B_{X j z} (ϕ_{X}, ϕ_{j}, ϕ_{z}) :=^{(4)} B_{j} (ϕ_{j})^{(4)} B_{X} (ϕ_{X})^{(4)} B_{z} (ϕ_{z})

$^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z) :=\ ^{(4)} B_y(\phi_y)\ ^{(4)} B_x(\phi_x)\ ^{(4)} B_z(\phi_z)$

was, wieder mit unserem Computer, ist

^{(4)} B_{X j z} (ϕ_{X}, ϕ_{j}, ϕ_{z}) = [\begin{matrix} cosch (ϕ_{j}) cosch (ϕ_{X}) cosch (ϕ_{z}) & cosch (ϕ_{j}) Sünde (ϕ_{X}) & Sünde (ϕ_{j}) & cosch (ϕ_{j}) cosch (ϕ_{X}) Sünde (ϕ_{z}) \\ Sünde (ϕ_{X}) cosch (ϕ_{z}) & cosch (ϕ_{X}) & 0 & Sünde (ϕ_{X}) Sünde (ϕ_{z}) \\ Sünde (ϕ_{j}) cosch (ϕ_{X}) cosch (ϕ_{z}) & Sünde (ϕ_{j}) Sünde (ϕ_{X}) & cosch (ϕ_{j}) & Sünde (ϕ_{j}) cosch (ϕ_{X}) Sünde (ϕ_{z}) \\ Sünde (ϕ_{z}) & 0 & 0 & cosch (ϕ_{z}) \end{matrix}]

$^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z) = \begin{bmatrix} \cosh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \cosh(\phi_y) \sinh(\phi_x) && \sinh(\phi_y) && \cosh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \sinh(\phi_z) \\ \sinh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \cosh(\phi_x) && 0 && \sinh(\phi_x) \sinh(\phi_z) \\ \sinh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \sinh(\phi_y) \sinh(\phi_x) && \cosh(\phi_y) && \sinh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \sinh(\phi_z)\\ \sinh(\phi_z) && 0 && 0 && \cosh(\phi_z)\end{bmatrix}$

und dann ist die wahre "volle" Lorentz-Viertelgruppe

^{(4)} L (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y}, ϕ_{X}, ϕ_{j}, ϕ_{z}) :=^{(4)} B_{X j z} (ϕ_{X}, ϕ_{j}, ϕ_{z})^{(4)} R_{R P Y}^{- 1} (θ_{R}, θ_{P}, θ_{Y})

$^{(4)} L(\theta_R, \theta_P, \theta_Y, \phi_x, \phi_y, \phi_z) :=\ ^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z)\ ^{(4)} R^{-1}_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$

wo der Pilot sich zuerst orientiert, dann auf die Triebwerke trifft, einen linken Tritt bekommt und dann einen unteren Tritt, was wirklich schrecklich zu schreiben sein wird ! Aber Sie können es tun, und dann haben Sie fast (bis auf einige Überlegungen) das allgemeinste Lorentz-Gruppenelement.

Wenn Sie behaupten, dass eine allgemeine richtige Lorentz-Transformation nur vier Parameter hat, ist das falsch. Es hat sechs .
@G. Schmidt: Du hast recht. Ich wurde von OP geworfen: "Sie definieren eine allgemeine Lorentz-Transformation (die den Ursprung festhält) als Lorentz-Boost in x-Richtung, der mit einigen räumlichen Rotationen zusammengesetzt ist."
Um die verbleibenden 2 hinzuzufügen, stellen Sie sich vor, dass das Fahrzeug zusätzlich zu den Motoren einen "Schub" von links/rechts oder oben/unten bekommt, also brauchen Sie a $^{(4)} B_x(\phi_x)$ Und $^{(4)} B_y(\phi_y)$ Matrix.

Ist jede Lorentz-Transformation ein reiner Boost plus etwas Rotation?

Atom

Antworten (2)

Benutzer1379857

Atom

Atom

G. Smith

Benutzer1379857

G. Smith

Benutzer1379857

Atom

Atom

Benutzer1379857

G. Smith

G. Smith

Atom

Der_Sympathisant

G. Smith

Der_Sympathisant

Der_Sympathisant

Integrieren von Elementen einer Lie-Gruppe bezüglich Parametern der entsprechenden Lie-Algebra

Wenn Sie einen allgemeinen Lorentz-Boost unter Verwendung eines xxx-Achsen-Boosts konstruieren, wie ist die zweite Rotation im Verhältnis zur ersten Rotation?

Was ist die physikalische Interpretation von Lorentz-Boosts, die nicht pendeln?

Zerlegung der eingeschränkten Lorentz-Transformationsmatrix

Jede Galilei-Transformation kann als Zusammensetzung aus Rotation, Translation und gleichförmiger Bewegung geschrieben werden

Lorentz-Boost-Transformationen bilden eine Gruppe?

Wie leitet man die Addition von Geschwindigkeiten ohne die Lorentz-Transformation ab?

Können wir einen allgemeinen Lorentz-Boost in eine Rotation zerlegen, gefolgt von drei Boosts entlang der Koordinatenachsen?

Geschwindigkeitsadditionsformel in Goldstein: Boosts in zwei verschiedene Richtungen

Geometrische Ableitung von Lorentz-Boosts