Geschwindigkeitsadditionsformel in Goldstein: Boosts in zwei verschiedene Richtungen

Goldstein leitet die Geschwindigkeitsadditionsformel zwischen drei Trägheitsrahmen ab S 1 , S 2 , S 3 in Abschnitt 7.3 wie

(1) β ' ' = β + β ' 1 + β β '
indem das Produkt zweier Lorentz-Boosts dazwischen angenommen wird S 1 , S 2 Und S 2 , S 3 in eine bestimmte Richtung (z. X -Achse) entspricht einem weiteren Lorentz-Boost.

  1. Das Produkt zweier Lorentz-Boosts in zwei verschiedene Richtungen entspricht jedoch nicht einfach einem dritten Boost. Wie wird in diesem Fall die Geschwindigkeitsadditionsformel (1) abgeleitet?

  2. Ich denke, dass es sich nicht ändern sollte. Aber wie sieht die Beziehung (1) aus, wenn sie in Form der Vektoren ausgedrückt wird? β , β ' Und β ' ' ?

Warum sagen Sie, dass das Produkt von zwei Boosts kein dritter Boost ist?
@probably_someone Boosts in zwei verschiedene Richtungen entsprechen einem Boost und einer Rotation. Diese Tatsache hängt mit dem Effekt zusammen, der als Thomas-Präzession bezeichnet wird. Dies geschieht, weil die Boost-Generatoren der Lorentz-Gruppe keine geschlossene Algebra bilden.
Was hindert Sie daran, für solche Boosts einfach die jeweiligen Lorentz-Matrizen zu nehmen, sie miteinander zu multiplizieren und dann einfach das Ergebnis darauf zu untersuchen, welche Geschwindigkeit ihre Boost-Komponente hat? Gibt es hier ein konzeptionelles Problem oder möchten Sie sich einfach nicht die Mühe machen, diese Berechnung durchzuführen?

Antworten (1)

Es ändert sich - Sie erhalten einen zusätzlichen Begriff. Ich habe das in Echtzeit ausgearbeitet, also gab es wahrscheinlich einen eleganteren Weg, dies zu tun, und es kann gut sein, dass sich ein oder zwei Tippfehler eingeschlichen haben. Korrekturen erwünscht. Ich habe auch den Begriff "Lorentz-Vektor" verwendet, um auf das zu verweisen, was wir einen 4-Vektor in (3+1)-Dimensionen nennen würden, und den Begriff "räumlicher Vektor", um auf das zu verweisen, was wir einen 3-Vektor nennen würden.

Wir bleiben bei (2+1)-Dimensionen, sodass der allgemeine Lorentz-Boost (der auf einen Lorentz-Vektor wirkt) durch die folgende Matrix dargestellt werden kann:

Λ = ( γ − γ β N X − γ β N j − γ β N X 1 + ( γ − 1 ) N X 2 ( γ − 1 ) N X N j − γ β N j ( γ − 1 ) N X N j 1 + ( γ − 1 ) N j 2 )

wo die Geschwindigkeit des zweiten Rahmens in Bezug auf den ersten ist β → = β ( N X , N j ) .

Lassen Sie uns ohne Einschränkung der Allgemeinheit unsere x-Richtung mit dem ersten Boost ausrichten, sodass die erste Lorentz-Transformation dargestellt werden kann durch

Λ 1 = ( γ 1 − γ 1 β 1 0 − γ 1 β 1 γ 1 0 0 0 1 )

So wäre die Zusammensetzung der Boosts

Λ 21 = Λ 2 ⋅ Λ 1 = ( γ 2 − γ 2 β 2 N X − γ 2 β 2 N j − γ 2 β 2 N X 1 + ( γ 2 − 1 ) N X 2 ( γ 2 − 1 ) N X N j − γ 2 β 2 N j ( γ 2 − 1 ) N X N j 1 + ( γ 2 − 1 ) N j 2 ) ⋅ ( γ 1 − γ 1 β 1 0 − γ 1 β 1 γ 1 0 0 0 1 )

= ( γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 N X ) − γ 2 γ 1 ( β 2 N X + β 1 ) − γ 2 β 2 N j − γ 2 γ 1 N X ( β 2 + N X β 1 ) + γ 1 β 1 ( N X 2 − 1 ) γ 2 γ 1 N X ( β 2 β 1 + N X ) + γ 1 ( 1 − N X 2 ) ( γ 2 − 1 ) N X N j − γ 2 γ 1 N j ( β 2 + N X β 1 ) + γ 1 β 1 N X N j γ 2 γ 1 N j ( β 2 β 1 + N X ) − γ 1 N X N j 1 + ( γ 2 − 1 ) N j 2 )

Wenn N X = 1 Und N j = 0 , dies reduziert sich auf

Λ 21 = ( γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 ) − γ 2 γ 1 ( β 2 + β 1 ) 0 − γ 2 γ 1 ( β 2 + β 1 ) γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 ) 0 0 0 1 )

Sie können das sehen, wenn wir definieren γ 21 = γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 ) Und β 21 = β 2 + β 1 1 + β 2 β 1 dann haben wir nur noch einen Schub:

Λ 21 = ( γ 21 − γ 21 β 21 0 − γ 21 β 21 γ 21 0 0 0 1 )

Ein im ursprünglichen Rahmen ruhendes Objekt würde also mit Lorentz-Geschwindigkeit gesehen

u = ( γ 21 − γ 21 β 21 0 − γ 21 β 21 γ 21 0 0 0 1 ) ⋅ ( 1 0 0 ) = ( γ 21 − γ 21 β 21 0 )

und Raumgeschwindigkeit − β → 21 nach den beiden Rahmenwechseln.

Im Allgemeinen sind die Dinge leider komplizierter. Das hätten wir

u = ( γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 N X ) − γ 2 γ 1 N X ( β 2 + N X β 1 ) − γ 2 β 1 N j 2 − γ 2 γ 1 N j ( β 2 + N X β 1 ) + γ 1 β 1 N X N j )
wo wir das verwendet haben N X 2 − 1 = − N j 2 .

Wir können ein bisschen mehr neu anordnen, um zu bekommen

u = ( γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 N X ) − γ 2 γ 1 ( N X β 2 + β 1 ) + N j 2 γ 1 β 1 ( γ 2 − 1 ) − γ 2 γ 1 N j β 2 − N X N j γ 1 β 1 ( γ 2 − 1 ) )

Rückt näher. Erinnere dich daran γ 2 − 1 = β 2 γ 2 , So γ − 1 = β 2 γ 2 γ + 1 , und wir können sagen

u = ( γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 N X ) − γ 2 γ 1 ( N X β 2 + β 1 ) + N j 2 γ 2 2 γ 1 β 1 β 2 2 γ 2 + 1 − γ 2 γ 1 N j β 2 − N X N j γ 2 2 γ 1 β 2 2 β 1 γ 2 + 1 )

Vermietung γ 21 = γ 2 γ 1 ( 1 + β 2 β 1 N X ) = γ 2 γ 1 ( 1 + β → 2 ⋅ β → 1 ) und es ausrechnen,

u = γ 21 ( 1 − N X β 2 + β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 + γ 2 γ 2 + 1 N j 2 β 2 2 β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 − N j β 2 1 + β → 2 ⋅ β → 1 − γ 2 γ 2 + 1 N X N j β 2 2 β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 )

Lassen Sie uns definieren β → A = β → 2 + β → 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 Und β → B = γ 2 γ 2 + 1 β 2 × ( β 2 × β 1 ) 1 + β → 2 ⋅ β → 1 = γ 2 γ 2 + 1 β → 2 ( N X β 2 β 1 ) − β → 1 ( β 2 2 ) 1 + β → 2 ⋅ β → 1 . Beachten Sie, dass

X ^ ⋅ β → A = N X β 2 + β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1
j ^ ⋅ β → A = N j β 2 1 + β → 2 ⋅ β → 1
X ^ ⋅ β → B = γ 2 γ 2 + 1 N X 2 β 2 2 β 1 − β 2 2 β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 = γ 2 γ 2 + 1 − N j 2 β 2 2 β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1
Und
j ^ ⋅ β → B = γ 2 γ 2 + 1 N X N j β 2 2 β 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1

Endlich können wir unsere Geschwindigkeitsadditionsformel definieren. Es wird beobachtet, dass ein Objekt, das im ursprünglichen Rahmen ruht, Lorentz-Geschwindigkeit hat

u = ( γ 21 − γ 21 β → 21 )

und Raumgeschwindigkeit

− β → 21 = − ( β → A + β → B ) = − ( β → 2 + β → 1 1 + β → 2 ⋅ β → 1 + γ 2 γ 2 + 1 [ β → 2 × ( β → 2 × β → 1 ) 1 + β → 2 ⋅ β → 1 ] )

Wo γ 21 = γ 2 γ 1 ( 1 + β → 2 ⋅ β → 1 ) .

Pfui. Grob. Aber da hast du es. Wenn die Geschwindigkeiten kolinear sind, verschwindet der zweite Term natürlich, aber im Allgemeinen ändert er sowohl die Größe als auch die Richtung der resultierenden Geschwindigkeit. Beachten Sie auch, dass die Reihenfolge wichtig ist - das Umkehren der Reihenfolge der Boosts ändert den zweiten Term auf nicht triviale Weise (nicht nur ein Vorzeichenwechsel).

Geschwindigkeitsadditionsformel in Goldstein: Boosts in zwei verschiedene Richtungen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v