Geometrische Ableitung von Lorentz-Boosts

In zwei Dimensionen erhält man eine sehr schöne Parametrisierung der Rotationsgruppe durch die folgende Argumentationslinie:

1. Die Rotationsgruppe ist zusammenhängend und kompakt. Daher ist die Exponentialfunktion surjektiv.
2. Für jeden Nichtnullvektor$v$Es gibt einen eindeutigen Vektor$\star v$so dass$(v,\star v)$ist eine positiv orientierte orthogonale Basis und$\|\star v\|=\|v\|$. Dann$\star v$hat die einfache Interpretation, dass es sich um die Drehung gegen den Uhrzeigersinn handelt$90^\circ$von$v$. Man identifiziert sich sofort$\star$als Hodge-Stern-Operator und beweist, dass es ein Element der Lie-Algebra ist.
3. Durch eine einfache Rechnung$e^{\varphi\star}v=\cos(\varphi)v+\sin(\varphi)\star v$für jeden$\varphi\in\mathbb{R}$.

Ein ähnlicher Weg kann für die dreidimensionale Rotationsgruppe durch das Element ihrer Lie-Algebra beschritten werden$\varphi\cdot J$definiert von$\varphi\cdot Jv=\varphi\times v:=\star(\varphi\wedge v)$für alle Vektoren v. Die Idee ist ähnlich die$(\varphi, \varphi\times v, \varphi\times(\varphi\times v))$ist eine orientierte Basis. Dies führt zur Formel von Rodrigues.

Ich würde gerne wissen, ob jemand eine so einfache Charakterisierung für die (eigentlich orthochrone) Lorentz-Gruppe kennt? Da jedes Element der Lorentzgruppe mit dem Produkt aus Rotation und Boost geschrieben werden kann, interessiere ich mich besonders für die Boosts. Ich wünsche mir insbesondere eine geometrische und basisfreie Beschreibung. Ich scheine solche Beschreibungen viel besser behalten zu können. Ich stelle mir vor, dass die Problemstellung so etwas wäre

Betrachten Sie einen zeitähnlichen Einheitsvektor$t$(der die 4-Geschwindigkeit des Beobachters angibt) und einem räumlichen Einheitsvektor$n$(zeigt die bevorzugte Richtung im Raum an). Betrachten Sie eine Lorentz-Transformation$L$was invariant bleibt$\text{span}\{t,n\}^\bot$. Man sollte dann mit einem geometrisch inspirierten Lie-Algebra-Element (ich verstehe den geometrischen Inhalt des Üblichen nicht) eine Beziehung wie die Formel von Rodrigues (siehe Wikipedia ) erhalten$K$'S). Die Parameter, die dieses Lie-Algebra-Element multiplizieren, sollten dann eindeutig mit der Schnelligkeit oder einem verwandten Parameter identifizierbar sein.