Zerlegung der eingeschränkten Lorentz-Transformationsmatrix

Wenn ich Ihre Frage verstanden habe, sollten Sie die Lorentz-Transformation schreiben$\Lambda$als Exponential einer Matrix$e^{\mathbb{L}}$, ebenso wie die Form der Transformation einer Lie-Gruppe und aus der generischen Bedingung aller Lorentz-Transformationen$\Lambda^T\mathbb{G}\Lambda=\mathbb{G}$Sie sollten kommen, um das zu beweisen$(\mathbb{G}\mathbb{L})^T=-\mathbb{G}\mathbb{L}$, Wo$\mathbb{G}\doteq(G_{\alpha\beta})$ist der metrische Tensor (während$\mathbb{L}$Matrix hat Komponenten der Form${{\mathbb{L}}^\alpha}_\beta$). Sie sollten schlussfolgern, dass die Matrix diese Form hat

$$\mathbb{L} = \begin{pmatrix} 0&{\mathbb{L}^0}_1&{\mathbb{L}^0}_2&{\mathbb{L}^0}_3 \\ {\mathbb{L}^0}_1&0&{\mathbb{L}^1}_2&{\mathbb{L}^1}_3 \\ {\mathbb{L}^0}_2&-{\mathbb{L}^1}_2&0&{\mathbb{L}^2}_3 \\ {\mathbb{L}^0}_3&-{\mathbb{L}^1}_3&-{\mathbb{L}^2}_3&0 \end{pmatrix}$$ und das ist es. Die zugehörigen Matrizen${\mathbb{L}^0}_1,{\mathbb{L}^0}_2,{\mathbb{L}^0}_3$Parameter sind die Generatoren der Boosts, die anderen repräsentieren die Generatoren der Drehungen.

Bearbeiten:

$$\begin{gather*} \boldsymbol{\beta} \doteq \left( {\mathbb{L}^0}_1, {\mathbb{L}^0}_2, {\mathbb{L}^0}_3 \right), \, \boldsymbol{\alpha} \doteq \left( -{\mathbb{L}^1}_2, {\mathbb{L}^1}_3, -{\mathbb{L}^2}_3 \right) \\ \mathbb{K}_1 \doteq \begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}, \, \mathbb{K}_2 \doteq \begin{pmatrix} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}, \, \mathbb{K}_3 \doteq \begin{pmatrix} 0&0&0&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} \\ \mathbb{J}_1 \doteq \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}, \, \mathbb{J}_2 \doteq \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}, \, \mathbb{J}_3 \doteq \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} %\end{drcases} \\ \mathbb{L} \equiv \beta^i\mathbb{K}_i +\alpha^i\mathbb{J}_i \end{gather*}$$ Wie du sehen kannst$\boldsymbol{\alpha}$sind die Rotationsparameter,$\boldsymbol{\beta}$von Auftrieb. Es gelten die folgenden Vertauschungsbeziehungen $$\begin{gather*} \begin{cases} \left[ \mathbb{K}_i, \mathbb{K}_j \right] = -{\epsilon_{ij}}^k \mathbb{J}_k \\ \left[ \mathbb{J}_i, \mathbb{J}_j \right] = {\epsilon_{ij}}^k \mathbb{J}_k \\ \left[ \mathbb{J}_i, \mathbb{K}_j \right] = {\epsilon_{ij}}^k \mathbb{K}_k \end{cases} \end{gather*}$$