Jede Galilei-Transformation kann als Zusammensetzung aus Rotation, Translation und gleichförmiger Bewegung geschrieben werden

Question

Jede Galilei-Transformation kann als Zusammensetzung aus Rotation, Translation und gleichförmiger Bewegung geschrieben werden

Danke, verstanden

Nachdem ich viel Gutes über Arnolds Mathematische Methoden der klassischen Mechanik gehört hatte, nahm ich es zur Hand und fing an, es durchzugehen. Obwohl ich denke, dass ich alle Definitionen verstehe, die er macht, sind die Probleme (zumindest am Anfang) sehr mathematisch und meine Beweisfähigkeiten sind nicht so gut. Kann mir jemand zeigen, wie ich das zum Beispiel beweisen kann?

Problem: Zeigen Sie, dass jede galiläische Transformation des Raumes $\Bbb R \times \Bbb R^3$ kann auf einzigartige Weise als Zusammensetzung einer Rotation, einer Translation und einer gleichförmigen Bewegung geschrieben werden (also ist die Dimension der Galileischen Gruppe gleich $3+4+3=10$ ).

Hier sind einige der relevanten Definitionen:

Definition: Galileischer Raum : Ein affiner Raum $A^4$ ausgestattet mit einer galiläischen Raum-Zeit-Struktur.

Definition: Galileische Struktur : Die folgenden Eigenschaften:

Parallelverschiebungen von $A^4$ bilden einen Vektorraum $\Bbb R^4$ .
Die lineare Abbildung $t:\Bbb R^4 \to \Bbb R$ aus dem Vektorraum paralleler Verschiebungen von $A^4$ zur reellen Achse ist gegeben durch $t(b-a)$ für $a,b \in A^4$ und wird als Zeitintervall bezeichnet . Wenn $t(b-a)=0$ dann die Ereignisse $a$ Und $b$ heißen simultan.
Der Abstand zwischen gleichzeitigen Ereignissen $\begin{matrix} (a,b \in A^3) & D (A, B) = “ A - B “ = \sqrt{(A - B, A - B)} \end{matrix}$ $d(a,b) = \|a-b\| = \sqrt{(a-b,a-b)} \tag{a,b \in A^3}$ ist durch ein Skalarprodukt auf dem Raum gegeben $\Bbb R^3$ . Diese Distanz macht jeden Raum gleichzeitiger Ereignisse zu einem $3$ d Euklidischer Raum.

Definition: Galileische Gruppe : Die Gruppe aller Transformationen eines galiläischen Raums, die seine Struktur bewahren (erhält Zeitintervalle und Distanzen zwischen gleichzeitigen Ereignissen).

Definition: Galileische Transformation : Ein Element der Galileischen Gruppe.

Zwei zusätzliche Fragen für andere, die Arnolds Buch gelesen haben: $1)$ sollte ich versuchen, etwas abstraktere Mathematik (wie vielleicht abstrakte Algebra) zu lernen, bevor ich versuche, dieses Buch zu lesen? Ich habe bereits alle mathematischen Anforderungen erfüllt, die ich als Student habe – multivariable Kalküle, ODEs, PDEs, lineare Algebra und einen Kurs für mathematische Methoden. $2)$ Gibt es zu diesem Buch ein Lösungshandbuch?

Antworten (1)

Jede Galilei-Transformation kann als Zusammensetzung aus Rotation, Translation und gleichförmiger Bewegung geschrieben werden

Ryan Unger · Answer 1

Lassen $\phi:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ sei eine galiläische Transformation. Lassen $R\in\mathrm{O}(3)$ , $\tau\in\mathbb{R}$ Und $\mathbf{v},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3$ . Dies zu zeigen, ist das Ziel dieser Übung

\begin{matrix} (1) & ϕ : (\begin{matrix} X \\ T \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} R & v \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ T \end{matrix}) + (\begin{matrix} j \\ τ \end{matrix}) \end{matrix}

$\phi: \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ t \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} R & \mathbf{v} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ t \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \mathbf{y} \\ \tau \end{pmatrix} \tag1$ und dass dies einzigartig ist. Wir stellen zunächst fest, dass die Rotationsgruppe in

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ ist dreidimensional. Wir haben dann den Schub und die räumliche Übersetzung, die es gibt

2 \cdot 3 = 6

$2\cdot 3=6$ . Plus die Zeitübersetzung finden wir, dass die galiläische Gruppe ist

10

$10$ -dimensional.

Das allgemeinste $\mathbb{R}$ -affine Karte ist

ϕ (X, T) = A (X, T) + (j, τ)

$\phi(\mathbf{x},t)=A(\mathbf{x},t)+(\mathbf{y},\tau)$ Lassen Sie uns das in "Komponenten" schreiben:

A (X, T) = (A_{11} X + A_{12} T, A_{21} X + A_{22} T)

$A(\mathbf{x},t)=(A_{11}\mathbf{x}+A_{12}t,A_{21}\mathbf{x}+A_{22}t)$ Damit Längen erhalten bleiben, benötigen wir

A_{11}

$A_{11}$ sei eine orthogonale Matrix. Unterschiede zwischen den Zeitpunkten von Ereignissen sollten ebenfalls erhalten bleiben. Angenommen, wir haben zwei Ereignisse

x_{1}

$x_1$ Und

x_{2}

$x_2$ . Diese Bedingung bedeutet das

A_{22} (T_{2} - T_{1}) + A_{21} (X_{2} - X_{1}) = T_{2} - T_{1}

$A_{22}(t_2-t_1)+A_{21}(\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)=t_2-t_1$ Damit das überhaupt hält

x_{1}

$\mathbf{x}_1$ Und

x_{2}

$\mathbf{x}_2$ , benötigen wir

A_{21} = 0

$A_{21}=0$ was impliziert

A_{22} = 1

$A_{22}=1$ . Wir identifizieren die verbleibende Komponente von

A

$A$ als lineare Abbildung

R \to R^{3}

$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$ , das ist die Geschwindigkeit.

Damit haben wir gezeigt, dass die allgemeinste galiläische Transformation von der Form ist $(1)$ .

Weitere Informationen und detailliertere Herleitungen finden Sie auf dieser Website und in diesem Vorlesungsskript .

Vielen Dank für eine ausführliche Antwort! Es ist für mich jedoch nicht offensichtlich, dass jede Transformation, die die galiläische Struktur im Raum bewahrt, vorhanden ist $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{3}$ ist affin. Entschuldigung, wenn es trivial ist, ich bin Physiker.
@MKM Die galiläische Struktur erweitert per Definition die affine Struktur des Raums, daher sollten alle Transformationen, die die galiläische Struktur beibehalten, auch die affine Struktur beibehalten.
Leider sind sowohl power-quant.com/?q=node/81 als auch mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math439/pdf/chapter1.pdf erreichbar. Hat jemand diesen Inhalt?

Jede Galilei-Transformation kann als Zusammensetzung aus Rotation, Translation und gleichförmiger Bewegung geschrieben werden

Danke, verstanden

Antworten (1)

Ryan Unger

MKM

Al.G.

Massimiliano Rizzato

Die Galileische Relativitätstheorie ist bereits in den Newtonschen Gesetzen enthalten?

Die Absolutheit von Zeitintervallen in der Newtonschen Mechanik: Wie wird diese Eingabe verwendet?

Ist bei der Ableitung von Transformationsgleichungen die Annahme erforderlich, dass die beiden Referenzsysteme inertial sind?

Wie unterscheidet sich Newtons erstes Bewegungsgesetz von Galileis Trägheitsgesetz? Wenn beide gleich sind, warum ist dann das erste Gesetz nach Newton benannt?

Hängt die Kraftdefinition vom Bezugsrahmen ab?

Sind Inertialsysteme relativ?

Ist es möglich, beim Fahrradfahren auf einem rollenden Bürgersteig aufzubleiben, ohne sich tatsächlich zu bewegen?

Trägheitsrahmen wie in Landau & Lifshhitz Mechanik 1. Kapitel

Verwirrung über den Impuls in einem Trägheitsbezugssystem?

Stein fiel von einem fahrenden Zug