Verwirrung über die mathematische Natur des elektromagnetischen Tensorendes der E-, B-Felder

Tolle Frage! Ich hatte viele der gleichen Verwirrungen, als ich zum ersten Mal SR lernte.

Erstens,$\vec{E}$Und$\vec{B}$transformieren Sie als gewöhnliche 3-Vektoren unter Rotationen und Translationen. Mathematisch,$\vec{E}$Und$\vec{B}$sind Anordnungen von Komponenten des antisymmetrischen Tensors$F^{\mu\nu}$. Der Grund, warum Professoren immer noch berechtigt sind, Anfängern in Elektrodynamik zu sagen, dass sie "Vektoren" sind, liegt darin, dass sie, als eigenständige Mengen von Objekten betrachtet, sich wie ein Vektor transformieren. Wenn Sie mehr Details wünschen, sollten Sie sich mit der Gruppentheorie hinter Tensoren befassen (ein Favorit von mir ist Zee). Ich kann Ihnen einen kurzen Überblick geben (ich weiß nicht, wie viel Gruppentheorie Sie kennen, also nehme ich keine an. Verzeihen Sie mir, wenn es anders ist): Eine Gruppe ist eine Menge von Objekten, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. In der Physik sind die Sätze von Transformationen, die Bewegungsgleichungen (oder besser gesagt Aktionen) bewahren, Gruppen. Eine Möglichkeit, dreidimensionale Vektoren zu definieren, sind Objekte, die sich auf eine bestimmte Weise in eine Darstellung (eine Art, die abstrakte Gruppenaktion mit Matrizen darzustellen, die einen Vektorraum transformieren) der Gruppe transformieren$SO(3)$, orientierungserhaltende Rotationen in drei Dimensionen (um vollständig zu sein, sollten wir andere Transformationen einbeziehen, die den euklidischen Abstand beibehalten, aber Rotationen sind für den Moment gut genug). Wenn Sie diese verschiedenen Darstellungen in der Gruppentheorie studieren, werden Sie feststellen, dass einige von ihnen isomorph sind, was nur eine hochkarätige Art ist, effektiv äquivalent zu sagen. Für$SO(3)$, die Transformation eines antisymmetrischen 2-Tensors (im Kontext von E&M der räumliche Teil von$F^{\mu\nu}$) entpuppt sich als äquivalent zu einem Vektor ($SO(3)$ist in der Lorentz-Gruppe enthalten, also relevant für Betrachtungen in der speziellen Relativitätstheorie). So können Sie die richtige Anordnung der Komponenten erkennen$F^{ij}$als Vektor nichts anderes als$\vec{B}$. Was 4-Vektoren betrifft, können wir davonkommen, ihre räumlichen Komponenten 3-Vektoren zu nennen, weil sie sich unter Drehungen auf die gleiche Weise transformieren. Auch bei räumlichen Transformationen spielen Indizes nach oben/unten keine Rolle, da die räumliche Metrik in allen ihren Komponenten das gleiche Vorzeichen hat.

Die Punkt- und Kreuzoperationen sind wirklich nur eine schlechte Notation. Es bedeutet, was Sie gesagt haben, nämlich Multiplizieren und Addieren/Subtrahieren auf eine bestimmte Weise. Auch hier gehen diese Operationen zurück$SO(3)$und sich gut unter Rotationen transformieren (das Skalarprodukt transformiert sich als Skalar, das Kreuz als Vektor). Das Problem, sie in relativistische Gleichungen zu schreiben, besteht darin, dass sie die manifeste Lorentz-Invarianz brechen. Die Gleichungen sind nämlich immer noch Lorentz-invariant (genauer gesagt kovariant, aber wen interessiert das), aber das wird durch die schlechte Notation verdeckt. Sie müssten die Transformationen unter Boosts von Hand ausarbeiten, um sicherzustellen, dass alles richtig funktioniert. Hier sind Minkowski-4-Vektoren gut, denn wenn Sie dieselben Gleichungen in Form von 4-Vektoren schreiben, müssen Sie nur sicherstellen, dass die Lorentz-Indizes übereinstimmen. Das Dilemma 3 versus 4 Vektoren ist also eine Sache der Notation; 4-Vektoren machen die Lorentz-Invarianz offensichtlich, 3-Vektoren verdecken sie.

Ich sollte noch eine Anmerkung hinzufügen: Es gibt eine sehr tiefe differenzialgeometrische Interpretation von all dem, die Differenzialformen und Koordinatenunabhängigkeit beinhaltet, aber ich denke, dass sie für Ihre unmittelbare Frage nicht so relevant ist. Der Vorteil davon ist, dass es keinen Hinweis auf Transformationsgesetze gibt. Wenn Sie also mit "ein Vektor transformiert sich wie ein Vektor" usw. nicht zufrieden sind, kann dies etwas Klarheit schaffen. (Siehe Frankel )

Hoffe das hat geholfen!

Beide$\vec E$Und$\vec B$als gewöhnliche 3-Vektoren unter Drehungen transformieren. Es wird unterstrichen , dass sie sich nicht wie die räumlichen Teile von Vektoren transformieren, sondern beides 3-Vektoren sind , wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie nicht berücksichtigen, sondern nur die klassische Rotationssymmetrie.

Wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie betrachten,$\vec E$Und$\vec B$sind keine guten Größen mehr, gerade weil sie sich bei Lorentz-Transformationen nicht gut verhalten. Aber zusammen als Bestandteile der 2er-Form$F$, die sich unter Lorentz-Transformationen als echter (0,2)-Tensor transformiert, sind sie wieder "nette" Objekte.

Wie ich in dieser Antwort von mir erkläre, ist das Magnetfeld, das als Vektor betrachtet werden kann, ein glücklicher Zufall von 3 Dimensionen, und es sollte besser als eine räumliche 2-Form selbst in einem allgemeinen Rahmen betrachtet werden.

Um den Vier-Kräfte-Ausdruck der Lorentz-Kraft mit der „üblichen“ Lorentz-Kraft in Einklang zu bringen, dh Ihre Gl. (1) mit Gl. (3), beachten Sie, dass sie in dem Rahmen, in dem das Teilchen ruht, eindeutig übereinstimmen, dh$u = (c,0,0,0)$und zeigen Sie dann, dass die Anwendung einer Lorentz-Transformation auf alle beteiligten Objekte beide Gleichungen reproduziert.

Hier geht nichts über diese Beziehungen hinaus - ich denke, was Sie verwirrt, ist, dass Sie versuchen, Relativitätstheorie mit offensichtlich nicht kovarianten Objekten zu machen, dh$\vec E, \vec B$. Das ist nicht überraschend – die Stärke von kovarianten und invarianten Objekten liegt genau darin, dass sie nicht zu solch unordentlichen Gleichungen führen wie nicht-kovariante Objekte. Sie sollten nicht erwarten, einer nicht-kovarianten Gleichung wie Gl. (5).