Das innere Produkt von Klein-Gordon: wie man es wahr macht

Auf dem Weg zum Aufbau eines inneren Produkts stößt man auf folgende Gleichung:

$$\begin{equation} \partial_i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))=\partial_i(\varphi_2^*(x)\partial^i\varphi_1(x) - \varphi_1(x)\partial^i\varphi_2^*(x))=0 \end{equation}$$ An diesem Punkt definierte der Professor den 4-Strom $J^i=i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))$so das Erhaltungsgesetz zu haben $$\begin{equation} \partial_iJ^i=0 \end{equation}$$ Er erklärte, dass es notwendig sei, die imaginäre Einheit hinzuzufügen $i$auf den Strom, so dass es auch dann real ist $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$. Ich kann diese letzte Klarstellung nicht verstehen: sollte es nicht sein $J^i=0$Wenn $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$? Warum muss man die imaginäre Einheit multiplizieren?