Einfache Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem elektromagnetischen Tensor

Question

Einfache Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem elektromagnetischen Tensor

Noumeno

Beginnen wir mit der Betrachtung des elektromagnetischen Tensors $F^{\mu \nu}$ :

F^{μ v} = [\begin{matrix} 0 & - E_{X} / C & - E_{j} / C & - E_{z} / C \\ E_{X} / C & 0 & - B_{z} & B_{j} \\ E_{j} / C & B_{z} & 0 & - B_{X} \\ E_{z} / C & - B_{j} & B_{X} & 0 \end{matrix}]

$F^{\mu \nu}=\begin{bmatrix}0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0\end{bmatrix}$ Betrachten Sie nun die Maxwell-Gleichung:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}

$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _0}$

\nabla \cdot \vec{B} = 0

$\nabla \cdot \vec{B}=0$

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial T}

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

\nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{J} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial T}

$\nabla \times \vec{B}=\mu _0 \vec{j}+\mu _0 \varepsilon _0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ Die Behauptung ist , dass die erste und die vierte Gleichung der folgenden Tensorgleichung entsprechen:

\partial_{μ} F^{μ v} = μ_{0} J^{v}

$\partial _{\mu}F^{\mu \nu}=\mu _0 j^{\nu}$ (Wo:

j^{ν} = (c ρ, \vec{j})

$j^{\nu}=(c\rho , \vec{j})$ ) und dass die zweite und die dritte Gleichung auch äquivalent sind zu:

D F = 0

$dF=0$ bei dem die

d F

$dF$ ist einfach eine Abkürzung zum Schreiben:

\partial_{λ} F_{μ v} + \partial_{v} F_{λ v} + \partial_{μ} F_{v λ}

$\partial _{\lambda}F_{\mu \nu}+\partial _{\nu}F_{\lambda \nu}+\partial _\mu F_{\nu \lambda}$ Mein Ziel ist es , mithilfe von Tensoralgebra zu beweisen, dass diese Aussage tatsächlich richtig ist: Fangen wir an, der erste Teil der Aussage ist einfach; Wenn wir an den ersten Term denken:

\partial_{μ} F^{1} = μ_{0} J^{1}

$\partial _{\mu}F^{1}=\mu _0 j^{1}$ wir bekommen:

\frac{1}{C} (\frac{\partial E_{X}}{\partial X} + \frac{\partial E_{j}}{\partial j} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}) = μ_{0} C ρ \Rightarrow \nabla \cdot \vec{E} = μ_{0} C^{2} ρ \Rightarrow \nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}

$\frac{1}{c}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)=\mu_0 c \rho \ \Rightarrow \ \nabla \cdot \vec{E}=\mu _0 c^2 \rho \ \Rightarrow \ \nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _0}$ Wunderbar! Indem wir den gleichen Prozess auf die anderen Terme anwenden, können wir sehen, dass diese Tensorgleichung auch gleich der vierten Maxwell-Gleichung ist.
Lassen Sie uns nun über den zweiten Teil der Aussage nachdenken, den über

d F

$dF$ ; Dieses Mal können wir sehen, dass die linke Seite der Tensorgleichung ein Tensor vom dritten Rang ist, wir können uns das als 3D-Matrix vorstellen. Nun: Alle Terme der Matrix sind gemäß der Gleichung gleich Null, also erhalten wir

4^{3} = 64

$4^3=64$ Skalargleichung, die zusammen den verbleibenden zwei Maxwell-Gleichungen entsprechen sollte. Dies scheint mir jedoch eine gigantische Menge Algebra zu sein.

Frage: Gibt es einen besseren oder schnelleren Weg, um die Richtigkeit der fraglichen Aussage zu beweisen?

Frobenius

Verwandte: Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem Feldtensor-Lagrangian .

G. Smith

Wir erhalten eine Skalargleichung von 4 × 3 = 12. Ich folge Ihrer Logik nicht. Sie meinten wahrscheinlich

4^{3} = 64

$4^3=64$ Gleichungen. Aber

d F = 0

$dF=0$ eigentlich nur vier Gleichungen. Um etwas Nichttriviales zu bekommen, muss man sich entscheiden

λ

$\lambda$ ,

μ

$\mu$ , Und

ν

$\nu$ unterschiedliche Indizes sein , und es gibt nur vier Möglichkeiten, dies zu tun. Schreiben Sie einfach diese vier Gleichungen auf und sehen Sie, dass sie die anderen Maxwell-Gleichungen sind. Überzeugen Sie sich davon, dass, wenn überhaupt, wenn die Indizes gleich sind,

d F = 0

$dF=0$ reduziert zu

0 = 0

$0=0$ .

Noumeno

Du hast völlig recht, ich habe meine Frage bereits bearbeitet.

Antworten (3)

Einfache Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem elektromagnetischen Tensor

Verwandte: Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem Feldtensor-Lagrangian .
Wir erhalten eine Skalargleichung von 4 × 3 = 12. Ich folge Ihrer Logik nicht. Sie meinten wahrscheinlich $4^3=64$ Gleichungen. Aber $dF=0$ eigentlich nur vier Gleichungen. Um etwas Nichttriviales zu bekommen, muss man sich entscheiden $\lambda$ , $\mu$ , Und $\nu$ unterschiedliche Indizes sein , und es gibt nur vier Möglichkeiten, dies zu tun. Schreiben Sie einfach diese vier Gleichungen auf und sehen Sie, dass sie die anderen Maxwell-Gleichungen sind. Überzeugen Sie sich davon, dass, wenn überhaupt, wenn die Indizes gleich sind, $dF=0$ reduziert zu $0=0$ .
Du hast völlig recht, ich habe meine Frage bereits bearbeitet.

Phönix87 · Answer 1

Der schnellste Weg ist vielleicht die Verwendung äußerer Algebra: Beginnen Sie damit, den Faradayschen Tensor als zu schreiben

F = E_{X} D T \land D X + E_{j} D T \land D j + E_{z} D T \land D z + B_{X} D j \land D z + B_{j} D z \land D X + B_{z} D X \land D j

$F = E_x\ \text dt\wedge\text dx + E_y\ \text dt\wedge\text dy + E_z\ \text dt\wedge\text dz + B_x\ \text dy\wedge\text dz + B_y\ \text dz\wedge\text dx + B_z\ \text dx\wedge\text dy$

und nehmen Sie dann die äußere Ableitung $\text dF$ erhalten

D F = \frac{\partial E_{X}}{\partial j} D T \land D X \land D j + \dots + \frac{\partial B_{X}}{\partial T} D T \land D j \land D z + \frac{\partial B_{X}}{\partial X} D X \land D j \land D z + \dots

$\text dF = \frac{\partial E_x}{\partial y}\ \text dt\wedge\text dx\wedge dy + \cdots + \frac{\partial B_x}{\partial t}\ \text dt\wedge\text dy\wedge\text dz + \frac{\partial B_x}{\partial x}\ \text dx\wedge\text dy\wedge\text dz + \cdots$

und durch Gleichsetzung $\text dF$ bis 0, sehen Sie das, Term für Term, das gibt Ihnen

\nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial T} = 0 \land \nabla \cdot B = 0,

$\nabla\times\mathbf E + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = 0\qquad\wedge\qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,$

Um die anderen beiden Gleichungen zu erhalten, machen Sie dasselbe mit $\text d\star F+J=0$ , Wo $\star$ bezeichnet das Hodge-Dual (das heißt, wenn Sie festlegen $G=\star F$ , Dann $G$ hat die Komponenten von $\mathbf B$ wo die von $\mathbf E$ waren und die Komponenten von $-\mathbf E$ wo die von $\mathbf B$ waren, oder entgegengesetzte Zeichen, kann mich nicht erinnern).

Sie können davon abstrahieren und beispielsweise eine 2-Form in Bezug auf ihre polaren und axialen Teile darstellen $F=(\mathbf E,\mathbf B)$ . Dann gibt Ihnen die äußere Ableitung eine Dichte-3-Form, die dual zum 1-Vektor ist $(\nabla\cdot\mathbf B,\nabla\times\mathbf E + \frac{\partial \mathbf B}{\partial t})$ . Mit dem Tausch $(\mathbf E,\mathbf B)\mapsto(\mathbf B,-\mathbf E)$ Sie erhalten dann die 3-Form $\text dG$ mit dualem 1-Vektor $(-\nabla\cdot\mathbf E, \nabla\times\mathbf B - \frac{\partial\mathbf E}{\partial t})$ .

Andreas Steane · Answer 2

Grundsätzlich haben Sie recht: Der Ausdruck enthält viele Redundanzen, und was passiert, ist, dass er zu vielen Kopien der homogenen Maxwell-Gleichungen führt. Aber die Indexnotation kann Ihnen helfen. Wenn Sie die Indizes so allgemein wie möglich halten, müssen Sie nicht alle wiederholten Versionen einzeln abrufen. Sie erhalten alle auf einmal.

Ich würde empfehlen, zunächst einen bestimmten Wert für zwei der Indizes auszuwählen, sagen wir pick $\lambda = 0$ , Und $\mu = 1$ , und sehen Sie, was Sie bekommen. Wechseln Sie danach nicht einfach zu einem anderen Wertepaar. Setzen Sie sich lieber hin und denken Sie nach. Argumentieren Sie, dass die zyklische Symmetrie zwischen $\lambda, \mu, \nu$ generiert sofort einige weitere Ergebnisse, ohne dass eine Berechnung erforderlich ist. Auch, wenn Sie beispielsweise einen räumlichen Wert für einen Index auswählen $\mu = 1$ , dann garantiert die Tatsache, dass Sie es mit einem Tensorausdruck zu tun haben, dass die Ergebnisse für $2$ Und $3$ wird ein Ergebnis haben, dass der Vektorcharakter der Felder beibehalten wird.

Ich denke, dass Sie durch diesen Ansatz mehr lernen werden, als wenn Sie sich auf ausgefallene mathematische Konzepte berufen, die Sie noch nicht gelernt haben.

Pangloss · Answer 3

Die Frage wird linearer, wenn wir die Genese des elektromagnetischen Tensors betrachten. Homogene Maxwell-Gleichungen (hier im Gauß-System geschrieben)

\nabla \cdot B = 0 \nabla \times E + \frac{1}{C} \frac{\partial B}{\partial T} = 0

$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \qquad \qquad \nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=0$

ermöglichen die Definition von elektromagnetischen Potentialen (sofern keine Eichtransformation)

B = \nabla \times A E = - \nabla Φ - \frac{1}{C} \frac{\partial A}{\partial T}

$\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \qquad \qquad \boldsymbol{E} = - \nabla \Phi - \frac{1}{c}\,\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}$

Mit diesen Größen lässt sich der elektromagnetische Potential-Quadrivektor bilden

A_{μ} = (Φ, - A)

$A_\mu = (\Phi,\boldsymbol{-A})$

Per Definition ist der elektromagnetische Tensor die Kräuselung des elektromagnetischen Potentials $A_\mu$

F_{a β} = \partial_{a} A_{β} - \partial_{β} A_{a}

$F_{\alpha\beta} = \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha$

Hinsichtlich der Komponenten nimmt es die wohlbekannte Matrixform an

F_{a β} = (\begin{matrix} 0 & + E_{X} & + E_{j} & + E_{z} \\ - E_{X} & 0 & - B_{z} & + B_{j} \\ - E_{j} & + B_{z} & 0 & - B_{X} \\ - E_{z} & - B_{j} & + B_{X} & 0 \end{matrix})

$F_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & +E_x & +E_y & +E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & +B_y \\ -E_y & +B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & +B_x & 0 \end{pmatrix}$

Deshalb kannst du das schreiben

$\partial_\gamma F_{\alpha\beta} = \partial_\gamma\partial_\alpha A_\beta - \partial_\gamma\partial_\beta A_\alpha \\ \partial_\beta F_{\gamma\alpha} = \partial_\beta\partial_\gamma A_\alpha - \partial_\beta\partial_\alpha A_\gamma \\ \partial_\alpha F_{\beta\gamma} = \partial_\alpha\partial_\beta A_\gamma - \partial_\alpha\partial_\gamma A_\beta$

Durch Addition der drei Relationen und Berücksichtigung der Invertierbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen erhält man die benötigte Tensorbeziehung

\partial_{a} F_{β γ} + \partial_{β} F_{γ a} + \partial_{γ} F_{a β} = 0

$\partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

Angenommen, wir haben A, und wir können beweisen, dass A B impliziert. Das ist gut zu wissen. Aber hier stellt sich die Frage, ist die Beziehung eins zu eins? Ist B sowohl eine hinreichende als auch eine notwendige Bedingung? Mit anderen Worten, impliziert B A? Um eine solche Frage zu beantworten, reicht es nicht aus, nur zu zeigen, dass A B impliziert.
Sie haben Recht, aber mein Ziel war es nur, die Frage unten zu beantworten: "Gibt es einen besseren oder schnelleren Weg, um die Richtigkeit der fraglichen Aussage zu beweisen?"

Einfache Ableitung der Maxwell-Gleichungen aus dem elektromagnetischen Tensor

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Andreas Steane

Pangloss

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Pangloss

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