Ableitung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Änderung des elektromagnetischen Feldes aus den Maxwellschen Gleichungen

Obwohl dies eine Standardableitung ist, sieht man sie häufig nicht in einführenden Elektromagnetismuskursen, vielleicht weil diese Kurse den starken Gebrauch der Vektorrechnung scheuen. Hier ist die übliche Vorgehensweise. Wir finden eine Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen.

Beginnen mit

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$.

Nimm eine partielle Ableitung beider Seiten nach der Zeit. Der Curl-Operator hat keinen Teil in Bezug auf die Zeit, also wird dies

$\nabla \times \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = -\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$.

Es gibt eine andere von Maxwells Gleichungen, die uns davon erzählt$\partial\vec{E}/\partial t$.

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Löse das für$\partial\vec{E}/\partial t$und in den vorherigen Ausdruck stecken, um zu erhalten

$\nabla \times \frac{(\nabla \times \vec{B})}{\mu_0\epsilon_0} = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

die Curl-of-Curl-Identität lässt uns dies umschreiben als

$\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\left(\nabla(\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2\vec{B}\right) = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Aber die Divergenz des Magnetfelds ist Null, also töte diesen Term und ordne neu an

$\frac{-1}{\mu_0 \epsilon_0}\nabla^2\vec{B} + \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

Das ist die gesuchte Wellengleichung. Eine Lösung ist

$\vec{B} = B_0 e^{i (\vec{x}\cdot\vec{k} - \omega t) }$.

Dies stellt eine ebene Welle dar, die sich in Richtung des Vektors ausbreitet$\vec{k}$mit Frequenz$\omega$und Phasengeschwindigkeit$v = \omega/|\vec{k}|$. Um eine Lösung zu sein, muss diese Gleichung haben

$\frac{\omega^2}{k^2} = \frac{1}{\mu_0\epsilon_0}$.

Oder Einstellung$v = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

$\frac{\omega}{k} = v$

Dies wird als Dispersionsrelation bezeichnet . Die Geschwindigkeit, mit der sich elektromagnetische Signale ausbreiten, wird durch die Gruppengeschwindigkeit angegeben

$\frac{d\omega}{d k} = v$

Elektromagnetische Signale breiten sich also im Vakuum mit hoher Geschwindigkeit aus$c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$.

Bearbeiten Sie können die gleichen Schritte ausführen, um die Wellengleichung für abzuleiten$\vec{E}$, aber Sie müssen davon ausgehen, dass Sie sich im freien Raum befinden, dh$\rho = 0$.

Bearbeiten Die Locke der Curl-Identität war falsch, da ist eine negative Zahl drin

Marks Antwort ist richtig, aber sie ist viel zu lang und verbirgt die Pointe. Lassen Sie mich also eine kürzere Ableitung mit fortgeschrittenerer Mathematik zeigen. Nicht zu weit fortgeschritten, nur Tensorformalismus in der Minkowski-Raumzeit für die spezielle Relativitätstheorie und Differentialformen . Sie werden all dies früher oder später brauchen, daher sollte es nützlich sein, bereits (zumindest ein wenig) darüber zu lernen. Diese Antwort wäre nur ein paar Zeilen lang, wenn Sie den Formalismus bereits kennen würden, aber sie wird etwas länger sein, weil ich versuchen werde, Ihnen auch den Formalismus beizubringen.

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Sie wissen wahrscheinlich, dass sich Lorentz-Transformationen mischen$\mathbf E$und$\mathbf B$. Sie sind also nicht wirklich unabhängig und es stellt sich heraus, dass sie nur ein Teil des antisymmetrischen 4-dimensionalen Tensors auf Rang 2 sind (das bedeutet wirklich$4 \times 4$antisymmetrische Matrix)$\mathbf F$. Nun sollte zumindest dimensionsmäßig klar sein, dass eine solche Matrix 6 unabhängige Komponenten hat, was genau mit 3+3 Freiheitsgraden zusammenfällt$\mathbf E$und$\mathbf B$.

Das sollten Sie wahrscheinlich auch wissen$\mathbf E$und$\mathbf B$kann in Potentialen ausgedrückt werden. In unserem Formalismus übersetzt es in${\mathbf F} = {\rm d} {\mathbf A}$wo${\rm d}$ist die äußere Ableitung $\mathbf A$ist das Viererpotential, das Skalar kombiniert$\phi$und Drei-Vektor$\mathbf A$Potenziale, die Sie bereits kennen und lieben sollten.

Nun stellt sich heraus, dass Maxwell-Gleichungen im Vakuum in diesem Formalismus eine wirklich einfache Form haben

$${\rm d}{\mathbf F} = 0$$ $${\rm \delta}{\mathbf F} = 0$$ mit $\delta$ist das Kodifferential , das dual zu ist $\rm d$. Die erste Gleichung sagt uns eigentlich, dass ein Viererpotential existiert (weil ${\rm d}^2 = 0)$und die zweite ist die eigentliche Evolutionsgleichung, die Vierstrom enthalten würde $\mathbf j$wenn wir nicht im Vakuum wären. Wann immer wir nun eine Lösung für diese Gleichungen haben, werden sie auch gelöst $$\square {\mathbf F} = ({\rm d\delta + \delta d}) {\mathbf F} = 0$$ Aber dieses $\square$ist genau der d'Alembert-Wellenoperator und so in der Tat $\mathbf F$breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.

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Referenz: Wikipedia-Artikel über den kovarianten oder Vier-Vektor-Formalismus

Beginnen Sie, indem Sie die Locke von Maxwells dritter Gleichung (für Vakuum) nehmen und ersetzen$\vec{B}=\mu_0\vec{H}$man kann erhalten,

$$\nabla^2.\vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E}$$

In ähnlicher Weise, indem man Curl von Maxwells vierter Gleichung nimmt und ersetzt

$$\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H}$$

man erhalten kann

$$\nabla^2.\vec{H} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{H}$$

Die Lösung der beiden Gleichungen sind von Form

$$E = E_o e^{\iota(\omega t + \beta z)}\ \ \ \ ;\ \ \ \ H = H_oe^{\iota(\omega t+\beta z)}$$

Eine doppelte zeitliche Ableitung dieser Ergebnisse ergibt

$$\frac{\partial}{\partial t} = \iota\omega\ \ \ \ ;\ \ \ \ \frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\omega^2$$

Wenn wir diese Ergebnisse in unsere einfügen$\nabla^2$Gleichungen erhalten wir die Helmholtz-Gleichung für$\vec{E}$und$\vec{H}$wie

$$(\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{E} = 0 = (\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{H}$$

Hier der Ausdruck$\omega^2 \mu_0 \epsilon_0 = \beta^2$das ist die Wellenzahl. Wenn wir diesen Ausdruck lösen, können wir die oben erwähnte Gleichung erhalten.

$$\frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

Ebenfalls,$\omega = 2\pi f$und$\beta = 2\pi/\lambda$was uns zu der gewünschten Gleichung bringt,

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o \epsilon_0}}$$

Seit,$mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$H/m und$\epsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12}$F/m ergibt diese Gleichung$c = 299 792 458$Frau