Ableitung von Maxwell-Gleichungen in ihrer kovarianten Form

Question

Ableitung von Maxwell-Gleichungen in ihrer kovarianten Form

Yolbeiker

Mawell-Gleichungen in einem bestimmten Einheitensystem sind:

\begin{array}{rcl} \nabla \cdot \vec{E} & = & ρ & (1) \\ \nabla \times \vec{B} & = & \frac{\partial \vec{E}}{\partial T} + \vec{J} & (2) \\ \nabla \cdot \vec{B} & = & 0 & (3) \\ \nabla \times \vec{E} & = & - \frac{\partial \vec{B}}{\partial T} & (4) \end{array}

$\begin{eqnarray} \nabla \cdot \vec{E} &=& \rho &(1)\\ \nabla \times \vec{B} &=& \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{J}&(2)\\ \nabla \cdot \vec{B} &=& 0&(3)\\ \nabla \times \vec{E} &=& -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}&(4)\\ \end{eqnarray}$

Wenn wir die Matrix einführen

F^{a β} = (\begin{array}{cccc} 0 & E_{X} & E_{j} & E_{z} \\ - E_{X} & 0 & B_{z} & - B_{j} \\ - E_{j} & - B_{z} & 0 & B_{X} \\ - E_{z} & B_{j} & - B_{X} & 0 \end{array}) (5)

$F^{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z & B_y & -B_x & 0\\ \end{array}\right)~(5)$

Ich habe das abgeleitet, die Maxwell-Gleichungen (1) und (2) sind vereinfacht $\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = -J^\beta$ . Aber S. Weinberg sagt auch, dass die Maxwell-Gleichungen (3) und (4) in der Form vereinfacht sind

ϵ^{a β γ δ} \partial_{β} F_{γ δ} = 0

$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\beta F_{\gamma\delta} = 0$

Wie kann ich diese letzte Gleichung herleiten?

OK dann

Tipp: Wählen Sie aus

α = 0

$\alpha = 0$ In

ϵ^{α β γ δ}

$\epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}$ und überprüfen Sie, ob diese Gleichung ist

\nabla . B = 0

$\nabla . B = 0$ . Wählen Sie auf die gleiche Weise

α = i

$\alpha = i$ für

i = 1, 2, 3

$i=1,2,3$ und zeigen, dass Sie bekommen

\nabla \times E = \dot{B}

$\nabla \times E = \dot{B}$ .

QMechaniker

Entsprechende Lagrange-Geschichte: physical.stackexchange.com/q/71611/2451

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Ableitung von Maxwell-Gleichungen in ihrer kovarianten Form

Tipp: Wählen Sie aus $\alpha = 0$ In $\epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}$ und überprüfen Sie, ob diese Gleichung ist $\nabla . B = 0$ . Wählen Sie auf die gleiche Weise $\alpha = i$ für $i=1,2,3$ und zeigen, dass Sie bekommen $\nabla \times E = \dot{B}$ .
Entsprechende Lagrange-Geschichte: physical.stackexchange.com/q/71611/2451

fgoudra · Answer 1

Diese Gleichung wird auf die gleiche Weise wie die erste hergeleitet, berücksichtigt jedoch stattdessen den dualen elektromagnetischen Tensor :

$G^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$

Wo $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ ist der total antisymmetrische Tensor.

Ableitung von Maxwell-Gleichungen in ihrer kovarianten Form

Yolbeiker

OK dann

QMechaniker

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fgoudra

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