Kovariante Maxwell-Gleichungen, die unter Paritätstransformation invariant sind

Sie wenden die Transformationen nicht richtig an. Ihre Verwandlung,$P$, ist eine lineare Abbildung, die einen Vektor in einen anderen Vektor umwandelt. Also,$F^{\mu\nu}$ist ein Tensor vom Rang (2,0), kein Vektor (Tensor vom Rang (1,0)). Dies alles wird viel klarer, wenn Sie die Indexnotation verwenden, anstatt Matrizen zu schreiben. Ich werde auf kartesischer Basis arbeiten.

Lassen Sie uns also Ihre bezeichnen$P$mit einem Rang(1,1)-Tensor,$P^\mu_\nu$, so dass für einen Vektor$V^\mu=\left(V^0, V^1, V^2, V^3\right)^\mu$, der Effekt von$P$wäre:

$V^\mu\to\bar{V}^\mu = P^\mu_\nu V^\nu = (V^0, -V^1, -V^2, -V^3)$

Nun wäre die Transformation für den elektromagnetischen Tensor dann:

$F^{\mu\nu}\to\bar{F}^{\mu\nu}=P^\mu_\eta P^\nu_\sigma F^{\eta\sigma}$

Da Ihre Transformation einfach ist, können Sie dies in diesem Fall als Matrixgleichung umschreiben (im Allgemeinen funktioniert es möglicherweise nicht so fehlerfrei):

$\bar{F}=P\cdot F \cdot P = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right)$

Das elektrische Feld verwandelt sich also in einen polaren Vektor, während das magnetische Feld axial ist. Wie allgemein bekannt ist. Sie müssen auch transform anwenden$J^\mu\to\bar{J}^\mu=P^\mu_\nu J^{\nu}$, Und$\partial_\mu \to \bar{\partial}_\mu = \left(P^{-1}\right)^\nu_\mu \partial_\nu$(dh Sie müssen inverse Transformationen auf kovariante Tensoren anwenden). Wenn Sie das tun, werden Sie sehen, dass die Gleichung für die neuen Größen dieselbe ist wie für die alten, dh$\bar{\partial}_\mu \bar{F}^{\mu\nu}={4\pi}{c}\bar{J}^{\nu}$, also ändert sich die Gleichung nicht (Vektoren & Tensoren tun es)

Extra nach dem Kommentar.

Ich rate wirklich von der Matrixnotation in diesen Berechnungen ab, also werde ich sie nicht mehr verwenden. So trainieren Sie$\bar{F}^{\mu\nu}$:

$F^{0\{1,2,3\}}=\{-E_x, -E_y, -E_z\}$

$F^{12}=-B_z,\, F^{13}=B_y,\, F^{23}=-B_x$

Also verwenden$P^0_0=1, P^1_1=P^2_2=P^3_3=-1$, und sonst null:

$\bar{F}^{0i}=P^0_0 P^i_j F^{0j} = (1)(-1)F^{0i}$, also erhält das elektrische Feld ein Minus

$\bar{F}^{ij}=P^i_s P^j_k F^{sk}=(-1)^2 F^{ij}$, also bleibt das Magnetfeld unverändert

In Bezug auf die Gleichung lautet der Begriff auf LHS wie$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}\to\left(P^{-1}\right)^{\kappa}_\mu\partial_{\kappa}P^\mu_\sigma P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=\delta^\kappa_\sigma\partial_{\kappa} P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=P^\nu_\rho \partial_{\mu} F^{\mu\rho}$. Sie werden feststellen, dass die RHS auf die gleiche Weise transformiert wird, sodass der Effekt der Transformation darin besteht, die gesamte Gleichung mit einem invertierbaren Operator zu multiplizieren$P$. Somit ändert sich die Gleichung nicht.

Da Strom ein Vektor ist, ist er unter Parität nicht unveränderlich. Daher gilt das Ampèresche Gesetz auch nicht.