Lorentztransformation des dualen Tensors

Daran erinnern, dass die Lorentz-Gruppe$O(1,3)$besteht aus allem$4\times 4$Matrizen$\Lambda$befriedigend$\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$. Dies gibt insbesondere$\det(\Lambda)=\pm1$. Die Untergruppe$SO(1,3)$besteht aus allen Transformationen mit Determinante$+1$.

$\vec{E}\cdot\vec{B}$ist unveränderlich unter$SO(1,3)$aber nicht unter allen$O(1,3)$- Es ist ein Pseudoskalar. Dies liegt daran, dass es sich um ein Produkt des Vektors handelt$\vec{E}$und der Pseudovektor$\vec{B}$. Hier ist eine einfache Möglichkeit, das zu sehen$\vec{B}$transformiert als Pseudovektor:

Betrachten Sie das Lorentzkraftgesetz$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$. Wenden Sie nun eine Reflexion an:

Aber die Geschwindigkeit transformiert sich wie$\vec{v}\mapsto-\vec{v}$Wir haben also die Transformation von$\vec{B}$unter$R$:

Wenn Physiker von Lorentz-Symmetrie sprechen, wird darunter normalerweise nur die "richtige" Lorentz-Symmetrie verstanden. Schließlich würde niemand behaupten, dass das Standardmodell die Lorentz-Symmetrie verletzt, obwohl es keine Paritätssymmetrie hat. Um Verwirrung zu vermeiden, breche ich die Koordinatentransformationen des vollständigen$O(1,3)$(was Sie wohl mit "Lorentz-Transformationen im Allgemeinen " meinen) in richtige Lorentz-Transformationen, Paritätstransformationen und Zeitumkehrtransformationen. Durch diese Aufteilung wird es auch einfacher, den Wert in verschiedenen Koordinatensystemen zu diskutieren.

Sie fragen hier mehrere Dinge, aber bei all den Ansätzen klingt es so, als ob das Hauptproblem darin besteht, festzustellen, ob so etwas wie$G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$gegenüber Lorentz-Transformationen und räumlichen oder zeitlichen Reflexionen invariant ist und auch, wie man ihren Wert herausfindet.

Erstens, obwohl es sich um eine langweilige Tautologie handelt, können Sie die Transformationen nicht aufschreiben, wenn Sie nicht wissen, wie sich die Objekte transformieren.$F_{\mu\nu}$ist ein Tensor und, wie Sie bereits erwähnt haben, das Levi-Civita-Symbol $\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}$ist eigentlich ein Pseudo-Tensor. Ein Pseudo-Tensor transformiert sich wie ein Tensor, mit Ausnahme von Transformationen, die Paritätsänderungen ("Händigkeits"-Änderungen) und Zeitsprünge (Umkehrung der Zeitkoordinate) enthalten, wobei in diesem Fall ein Vorzeichenwechsel entsprechend erfolgt$det(\Lambda^\mu{}_\nu)$.

Da dies das einzige ist, was die Transformation dieser Objekte von Tensoren unterscheidet, brauchen wir uns nicht auf Lorentz-Transformationen zu beschränken. Wir können allgemeine Transformationen betrachten und sie in vier Klassen einteilen, je nachdem, ob es eine räumliche oder zeitliche Reflexion gibt. Wenn wir uns auf „echte“ Transformationen beschränken, wird sich alles wie ein Tensor transformieren, und dann können wir die Ergebnisse in „uneigentlichen“ Transformationen berechnen, indem wir einfach die Parität der Zeitumkehraktion berücksichtigen.

Das Tolle an der Einstein-Notation ist, dass wir, sobald wir mit Tensoren arbeiten, einfach ablesen können, ob etwas koordinatenunabhängig ist. Alle Indizes sind kontrahiert, so dass dies unabhängig von der Koordinatentransformation ist (innerhalb der eingeschränkten Klasse, die wir im Moment betrachten). Die Transformation eines "oberen" (kontravarianten) Index hebt die Transformation des "unteren" (kovarianten) Index auf und so weiter. Das heisst$G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ist invariant gegenüber allen echten Transformationen. Bei unsachgemäßen Transformationen bleibt der Wert bis auf einen möglichen Vorzeichenwechsel gleich. Händigkeit ändern -> Vorzeichen ändern. Zeitrichtung ändern -> Vorzeichen ändern. Ändern Sie sowohl die Händigkeit als auch die Zeitrichtung -> die beiden Vorzeichenwechsel heben sich auf.

Um was zu sehen$G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$gleich ist, wählen Sie einfach ein passendes Koordinatensystem aus, dann können Sie leicht sehen, wie der Wert in anderen Koordinatensystemen ist. Ich würde also vorschlagen, nur ein Trägheitskoordinatensystem zu verwenden und zu sehen, wie$\mathbf{E}$Und$\mathbf{B}$sind als Komponenten des elektromagnetischen Tensors definiert $F_{\mu\nu}$und dann rechnen$G^{\mu\nu}$(was nur das Permutieren von Komponenten unter Verwendung von Levi-Civita ist, wenn es als Matrix von Komponenten betrachtet wird). Dann rechnen$G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ist einfach und kann als proportional angesehen werden$\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$.

Wenden Sie dann eine Koordinatentransformation mit einer räumlichen Spiegelung oder einer Zeitumkehrung an (also das Vorzeichen von$G^{\mu\nu}$Änderungen), sehen wir das unter diesen "falschen" Transformationen$G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$erhält ein negatives Vorzeichen. Also, ja, dies ist für die üblichen richtigen Lorentz-Transformationen invariant, aber nicht für falsche Lorentz-Transformationen (obwohl der Absolutwert für die Koordinatentransformation völlig invariant wäre).