Maxwellsche Gleichungen invariant unter allen linearen Transformationen?

Maxwells Gleichungen in Tensornotation lauten:

$$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= J^\nu \\ \partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]} &= 0 \end{align}$$

Erwägen Sie eine allgemeine Koordinatentransformation$x^\mu \rightarrow x^{\mu'}$auf der ersten Gleichung. (NB: Alles Folgende gilt auch für die zweite Gleichung.) Wenn wir die Gleichung in Koordinaten mit Strichzeichen schreiben und dann in Koordinaten ohne Strichzeichen erweitern, stellen wir fest, dass sich die Gleichung transformiert zu:

$$\begin{equation} \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}} \frac{\partial^2 x^{\mu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} \frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^\nu} F^{\mu\nu} + \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}} \frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^\mu} \frac{\partial^2 x^{\nu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} F^{\mu\nu} + \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}}\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^{\nu }} \frac{\partial}{\partial x^\lambda} F^{\mu\nu} = \frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^{\nu }} J^{\nu } \end{equation}$$

Eine ausreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung unter dieser Transformation unveränderlich ist, ist, dass die ersten beiden Terme auf der linken Seite verschwinden, und eine ausreichende Bedingung dafür ist, dass:

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 x^{\mu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} = 0 \end{equation}$$

Wenn wir diese Gleichung integrieren, stellen wir fest, dass diese Maxwell-Gleichung unter einer linearen Koordinatentransformation unveränderlich ist :

$$\begin{equation} x^{\mu '} = M{^{\mu'}_{\ \ \mu}} x^\mu + a^{\mu'} \end{equation}$$

Hier,$M{^{\mu'}_{\ \ \mu}}$ist eine konstante Matrix und$a^{\mu'}$ist ein konstanter Vektor.

Formal gilt dies für alle linearen Transformationen, nicht nur für Lorentz-Transformationen. Natürlich kann man sich auf die Existenz eines Minkowski-Metrikfeldes beschränkend berufen$M{^{\mu'}_{\ \ \mu}}$eine Lorentz-Matrix sein. Dies ändert jedoch nichts daran, dass diese Gleichung unter allen linearen Transformationen formal invariant zu sein scheint. Und ich dachte nicht, dass es wahr sein sollte, dass Maxwells Gleichungen unter allen linearen Transformationen unveränderlich sind!

Also: kann mich hier jemand einordnen? Sind die beiden obigen Gleichungen tatsächlich unter allen linearen Transformationen invariant, oder habe ich hier einen Fehler gemacht?