Wie kommt man von der Quantenelektrodynamik zu den Maxwellschen Gleichungen?

Haftungsausschluss : Diese Antwort wird aus mathematisch-physikalischer Sicht gegeben und ist ein wenig technisch. Jeder Kommentar oder jede zusätzliche Antwort von anderen Gesichtspunkten ist willkommen.

Die klassische Grenze von Quantentheorien und Quantenfeldtheorien ist nicht einfach. Es ist jetzt ein sehr aktives Forschungsthema in der mathematischen Physik und Analyse.

Die Idee ist einfach: Die Quantenmechanik soll durch ihre eigene Konstruktion im Grenzfall auf die klassische Mechanik reduziert werden$\hslash\to 0$. Ich glaube nicht, dass es notwendig ist, ins Detail zu gehen, aber für QM ist dieses Verfahren jetzt gut verstanden und streng von einem mathematischen Standpunkt aus.

Bei QFTs wie QED ist die Situation ähnlich, wenn auch komplizierter, und nur in wenigen Situationen mathematisch beherrschbar. Obwohl es noch nicht bewiesen wurde, denke ich, dass es möglich ist, die Konvergenz zur klassischen Dynamik für ein (einfaches) Modell der QED zu beweisen, das starre Ladungen beschreibt, die mit dem quantisierten EM-Feld interagieren.

Der Hilbertraum ist$\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R}^{3})\otimes \Gamma_s(\mathbb{C}^2\otimes L^2(\mathbb{R}^3))$($\Gamma_s$ist der symmetrische Fockraum). Der Hamiltonoperator beschreibt eine ausgedehnte Ladung (mit Ladung/Masse-Verhältnis$1$) gekoppelt mit einem quantisierten EM-Feld in der Coulomb-Eichung:

$$\begin{equation*} \hat{H}=(\hat{p} - c^{-1} \hat{A}(\hat{x}))^2+\sum_{\lambda=1,2}\hslash\int dk\;\omega(k)a^*(k,\lambda)a(k,\lambda)\; , \end{equation*}$$ Wo $\hat{p}=-i\sqrt{\hslash}\nabla$Und $\hat{x}=i\sqrt{\hslash}x$sind die Impuls- und Ortsoperatoren des Teilchens, $a^{\#}(k, \lambda)$sind die Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren des EM-Feldes (in den beiden Polarisationen) und $\hat{A}(x)$ist das quantisierte Vektorpotential $$\begin{equation*} \hat{A}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;c\sqrt{\hslash/2\lvert k\rvert}\;e_\lambda(k)\chi(k)(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}+a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\; ; \end{equation*}$$ mit $e_\lambda(k)$orthonormale Vektoren so dass $k\cdot e_\lambda(k)=0$(sie implementieren das Coulomb-Messgerät) und $\chi$die Fourier-Transformation der Ladungsverteilung des Teilchens ist. Der Magnetfeldoperator ist $\hat{B}(x)=\nabla\times \hat{A}(x)$und das (senkrechte) elektrische Feld ist $$\hat{E}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;\sqrt{\hslash\lvert k\rvert/2}\;e_\lambda(k)\chi(k)i(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}-a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\;$$

$\hat{H}$ist ein selbstadjungierter Operator on$\mathscr{H}$, Wenn$\chi(k)/\sqrt{\lvert k\rvert}\in L^2(\mathbb{R}^3)$, es gibt also eine wohldefinierte Quantendynamik$U(t)=e^{-it\hat{H}/\hslash}$. Betrachten Sie nun die$\hslash$-abhängige kohärente Zustände

$$\begin{equation*} \lvert C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\exp\Bigl(i\hslash^{-1/2}(\pi\cdot x+i\xi \cdot\nabla)\Bigr)\otimes\exp\Bigl(\hslash^{-1/2}\sum_{\lambda=1,2}(a^*_\lambda(\alpha_\lambda)-a_\lambda(\bar{\alpha}_\lambda))\Bigr)\Omega\; , \end{equation*}$$ Wo $\Omega=\Omega_1\otimes\Omega_2$mit $\Omega_1\in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$(oder überhaupt regelmäßig genug, und mit der Norm eins) und $\Omega_2$das Fock-Raum-Vakuum.

Was zumindest beweisbar sein sollte ist, dass ($\alpha_\lambda$ist der klassische Korrespondent von$\sqrt{\hslash}a_\lambda$, und es erscheint darin$E(t,x)$Und$B(t,x)$unter):

$$\begin{gather*} \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{p}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\pi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{x}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\xi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{E}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=E(t,x)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{B}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=B(t,x)\; ; \end{gather*}$$ Wo$(\pi(t),\xi(t),E(t,x),B(t,x))$ist die Lösung der klassischen Bewegungsgleichung einer an das elektromagnetische Feld gekoppelten starren Ladung : $$\begin{equation*} % \left\{ \begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} \partial_t &B + \nabla\times E=0\\ \partial_t &E - \nabla\times B=-j \end{aligned}\right. \mspace{20mu} \left\{\begin{aligned} \nabla\cdot &E=\rho\\ \nabla\cdot &B=0 \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} \dot{\xi}&= 2\pi\\ \dot{\pi}&= \frac{1}{2}[(\check{\chi}*E)(\xi)+2\pi\times(\check{\chi}*B)(\xi)] \end{aligned}\right. \end{aligned} % \right. \end{equation*}$$ mit $j=2\pi\check{\chi}(\xi-x)$, Und $\rho=\check{\chi}(\xi-x)$(Ladungsdichte und Strom).

Zusammenfassend lässt sich sagen: Die Zeit, in der sich die Quantenobservablen im Durchschnitt entwickelt haben$\hslash$-abhängige kohärente Zustände konvergieren im Limes$\hslash\to 0$zu den entsprechenden klassischen Größen, die durch die klassische Dynamik entwickelt wurden .

In der Hoffnung, dass dies nicht zu technisch ist, gibt dieses Bild eine genaue Vorstellung von der Entsprechung zwischen der klassischen und der Quantendynamik für ein EM-Feld, das an eine Ladung mit ausgedehnter Verteilung gekoppelt ist (Punktladungen können mathematisch nicht auf einer völlig strengen Ebene sowohl klassisch als auch quantenmechanisch behandelt werden). ).