Welche Bedeutung hat die Invariante der Maxwell-Gleichungen unter der Lorentz-Transformation?

Es geht nicht wirklich um Symmetriegruppen von Gleichungen. Ein einfaches Modell von Wellen auf Wasser ist$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$, und dies ist unter Lorentz-Transformationen mit Lichtgeschwindigkeit invariant$1$(aus dem gleichen Grunde$dt^2-dx^2$ist invariant unter Lorentz-Transformationen mit Lichtgeschwindigkeit$1$). Die Invarianz der einfachen Wellengleichung hatte für die Physik keine Bedeutung.

Wenn man als Physiker im Jahr 1900 oder früher denkt, ist die Idee, dass entweder die Galileische Invarianz falsch ist oder die Maxwell-Gleichungen falsch sind.

Möglichkeit eins: Es gibt einen privilegierten Referenzrahmen, in dem Maxwells Gleichungen gelten, möglicherweise kompliziert durch einen "leuchtenden Äther", der von der Erde wie eine Flüssigkeit "mitgerissen" werden könnte. Die Grundgesetze würden der Galileischen Invarianz gehorchen, aber die Maxwellschen Gleichungen gelten in dem Rahmen, in dem der "leuchtende Äther" ruht. Niemand ist mit diesem Ansatz jemals irgendwohin gekommen oder hat irgendeine nützliche Physik gemacht.

Möglichkeit zwei: Die Maxwell-Gleichungen gelten in allen Trägheitsbezugssystemen, und die Galileische Relativitätstheorie ist einfach falsch. Dies schien allen außer Einstein unhaltbar, weil es implizierte, dass es keine Vorstellung von Gleichzeitigkeit geben kann, dass die Zeit für verschiedene Trägheitsbeobachter unterschiedlich vergeht, und alle anderen seltsamen speziellen relativistischen Phänomene. Es hat jedoch unzählige experimentell bestätigte Vorhersagen geliefert; So funktioniert die Natur.

Allgemeiner gesagt, warum mögen wir Transformationen, die die physikalischen Gesetze nicht ändern?

Das ist es nicht so sehr, oder zumindest war es das damals nicht.

Das Problem war, dass wir wussten, dass die normale Newtonsche Mechanik über die Galileische Transformation unveränderlich ist. Das bedeutet, dass nicht beschleunigte Frames eine ähnliche Physik haben. In den Maxwell-Gleichungen gab es jedoch kein Analogon dazu.

Wenn Sie einen Ball in einem Trägheitsrahmen von A nach B werfen, sind die Ergebnisse die gleichen, wenn dieser Rahmen ruht oder sich bewegt. Und wir sind damit zufrieden, denn die Person, die den Ball zuwirft, und die Person, die ihn fängt, sind relativ zueinander immer noch in Ruhe, was einfach "Sinn macht" (obwohl sie das natürlich nicht immer dachten). Die Ergebnisse sind nicht die gleichen, wenn ich den Ball zwischen die Frames werfe , weil es dann eine Relativbewegung gibt. In diesem Fall haben wir eine Transformation, die wir anwenden, die relativen Geschwindigkeiten der Frames bewirken, dass zusätzliche Terme erscheinen.

Hier ist also das Problem: Was ist, wenn ich anstelle eines Balls einige Radiowellen werfe? Auf den ersten Blick könnte es so aussehen, als müsste das Gleiche gelten, denn der Sender bewegt sich im selben Koordinatensystem wie der Empfänger, sodass die Wellen an beiden Enden des Experiments natürlich eine Beziehung zueinander haben. Aber in diesem Fall würden wir natürlich auch erwarten, dass Wellen, die sich zwischen Frames bewegen, ihre Beziehung nicht aufrechterhalten würden. Und das ist der Haken...

Wenn dies zutrifft, wäre es sofort sichtbar - die Farbe von Planeten würde sich beispielsweise ändern, wenn sie sich um das Sonnensystem bewegen. So wie es aussieht, konnte niemand so etwas finden. Es schien, dass das Licht der Galiläischen Transformation nicht folgte. Ganz im Gegenteil, jedes Experiment zeigte überhaupt keine Transformation, alles Licht wurde in einem einzigen universellen Rahmen emittiert, der nichts mit Materie zu tun hatte.

Und das ist schlecht. Weil wir auch wussten, dass Licht mit Materialien interagiert – man kann zum Beispiel Licht auf ein Stück Metall strahlen, um es zu erwärmen. Nun, wenn Licht in einem festen Rahmen ist, was passiert dann, wenn ich eine Glühbirne auf einen Wagen neben eine Metallplatte stelle? Würde es nicht schneller oder langsamer aufheizen, je nachdem, in welche Richtung ich es drücke? Und wenn der Treibstoff für das Licht auf dem Wagen liegt, erzeuge ich dann nicht kostenlose Energie, wenn ich ihn in die richtige Richtung schiebe?

Das wäre schlecht. Wie das Universum, das schlecht explodiert.

Es ist also nicht so, dass die Menschen "Transformationen mögen, die die physikalischen Gesetze nicht ändern", sondern dass wir bereits eine Transformation hatten . Entweder hatte das Licht auch eine Art Transformation, die die Dinge wieder zum Laufen brachte, oder wir mussten alles in den Müll werfen und von vorne anfangen.

Und damit Lorentz. Seine Verwandlung lässt auf magische Weise Licht in galiläischen Rahmen wirken, und das ist genau der Grund, warum er es getan hat.

Einstein hätte die Theorie der Speziellen Relativitätstheorie möglicherweise nicht entwickelt, wenn die Maxwell-Gleichungen nicht unveränderlich sind, da sie ihn glauben ließen, dass die Vorstellung von absolutem Raum und absoluter Zeit (alle werden sich überall auf dieselbe Messung einigen) falsch war. Er musste entscheiden, wer Recht hatte, Newton oder Maxwell.

Es ist ein Problem, wenn physikalische Gesetze nicht unveränderlich sind, ein dummes Beispiel wäre, wenn wir eine Raumsonde zum Mars, Pluto oder Alpha Centuri schickten und dann herausfanden, dass die physikalischen Gesetze dort anders waren.

Auch unser Urteil über astronomische Entfernungen, die Leuchtkraft von Sternen und im Grunde die Gültigkeit der Physik als genaue Beschreibung des Universums hängt von der Invarianz physikalischer Gesetze ab. Wir können viel lernen, wenn wir feststellen, dass sich die Gesetze ändern können, aber wir haben dies bisher nicht getan.

Ist es ein Problem, wenn eine Transformation die Gesetze ändert?

Ja, denn die Gesetze müssen unveränderlich sein, damit sie für jede Region der Raumzeit gelten. Wenn Sie SR und GR studieren, werden deshalb die Gleichungen, die physikalische Gesetze beschreiben, in koordinatenfreier Notation geschrieben.

Maxwells Gleichungen und Einsteins Relativitätstheorie sind völlig unabhängig voneinander. Eine gewisse Beziehung bestand, als Maxwells Theorie eine Äthertheorie war und dementsprechend annahm, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle ist (Einsteins zweites Postulat von 1905). Heutzutage ist die Aussage „Maxwellsche Gleichungen sind invariant unter der Lorentz-Transformation“ nicht einmal falsch.