Lorentz-Transformationen im Minkowski-Raum

Question

Lorentz-Transformationen im Minkowski-Raum

SRS

Wenn $\Lambda$ stellt die Lorentz-Transformationsmatrix dar, dann die Transformation der kontravarianten Komponenten $x^\mu$ wird von gegeben

X^{' μ} = Λ^{μ}_{v} X^{v}

$x'^\mu=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu$ und die der kovarianten Komponenten ist gegeben durch

X_{μ}^{'} = Λ_{μ}^{v} X_{v}

$x^\prime_\mu =\Lambda_{\mu}{}^{\nu}x_\nu$ wir verwendeten

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ um die Indizes zu erhöhen und zu senken

Λ

$\Lambda$ . Bei dieser Notation erinnern wir uns, dass der erste Index immer der Zeilenindex und der zweite Index der Spaltenindex ist, unabhängig von seiner Position oben oder unten. Verwenden Sie nun die Beziehung

η_{ρ σ} = η_{μ v} Λ^{μ}_{ρ} Λ^{v}_{σ},

$\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma},$ das kann man zeigen

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = Λ_{ρ}^{σ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$

Nun, hier sind die Fragen.

Wenn wir definieren $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ zu sein $\mu\nu-$ te Komponente der Lorentz-Transformationsmatrix, dann $=\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ ist der $\mu\nu-$ te Komponente von $\Lambda^{-1}$ . Was machen dann die Objekte $\Lambda_{\mu\nu}$ oder $\Lambda^{\mu\nu}$ vertreten?
Wenn wir nehmen wollen, das Matrixelement von $\eta^{-1}\eta=I$ , was soll man schreiben? Sollte es sein: $(\eta^{-1})^{\mu}{}_{\sigma}(\eta)^{\sigma}{}_{\nu}$ oder $(\eta^{-1})^{\mu\sigma}(\eta)^{\sigma\nu}=\delta^{\mu\nu}$ , oder $(\eta^{-1})_{\mu\sigma}(\eta)_{\sigma\nu}=\delta_{\mu\nu}$ oder etwas anderes?
Was ist die Beziehung zwischen $\eta^{\mu\nu}$ Und $\eta_{\mu\nu}$ und wie stellt man diese Beziehung her?

BEARBEITEN: Dies ist eine zusätzliche Frage im Zusammenhang mit der Manipulation von Indizes. Seit $\eta=\Lambda^T\eta\Lambda$ , wir haben $\Lambda^{-1} =\eta^{-1}\Lambda^T \eta$ Wenn wir Matrixelemente auf beiden Seiten nehmen, erhalten wir,

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = (η^{- 1} Λ^{T} η)^{σ}_{ρ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=(\eta^{-1}\Lambda^T \eta)^{\sigma}{}_{\rho}$

= (η^{- 1})^{σ a} Λ^{β}_{a} η_{β ρ}

$=(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}\Lambda^{\beta}{}_{\alpha}\eta_{\beta\rho}$

= ?

$=?$ Wie können wir davon ausgehend zu der Relation gelangen

(Λ^{- 1})^{σ}_{ρ} = Λ_{ρ}^{σ}

$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$ Da kenne ich die Aktion nicht

(η^{- 1})^{σ α}

$(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}$ , ich kann nicht weiter fortfahren (gegebenenfalls

Λ^{- 1} = η^{- 1} Λ^{T} η

$\Lambda^{-1}=\eta^{-1}\Lambda^T\eta$ als Ausgangspunkt).

Antworten (1)

Lorentz-Transformationen im Minkowski-Raum

ACuriousMind · Answer 1

$\Lambda_{\mu\nu} = {\Lambda_\mu}^\sigma\eta_{\sigma\nu}$ . Es "macht" nichts.
$\delta_{\mu\nu}$ Und $\delta^{\mu\nu}$ sind keine Tensoren, wie ich ausführlich in dieser Antwort von mir erkläre . Die Matrixelemente der Identität sind $\delta_\mu^\nu$ , was Sie hätten feststellen können, indem Sie darüber nachgedacht haben, dass die Identität Vektoren senden muss $v^\mu$ zu anderen Vektoren, also braucht es einen unteren Index, der mit dem oberen Vektorindex kontrahiert werden kann, und es braucht einen oberen Index, damit das Ergebnis immer noch ein Vektor sein kann. Schreiben $\eta^{-1}\eta$ ist irgendwie unsinnig, weil die Metrik ein (0,2)-Tensor ist, keine Matrix, die eine Inverse im Sinne der linearen Algebra hat. Jedoch:
$\eta^{\mu\nu}$ Und $\eta_{\mu\nu}$ sind im folgenden Sinne "Inverse" voneinander: $\eta^{\mu\sigma}\eta_{\sigma\nu} = \delta^\mu_\nu$ . Dies folgt aus der Definition von $\eta^{\mu\nu}$ - Es ist das Objekt, das Indizes erhöht, während $\eta_{\mu\nu}$ definiert sinkende Indizes. Zuerst das Senken und dann das Erhöhen eines Index sollte die Identität sein, und genau das ist die Gleichung $\eta^{\mu\sigma}\eta_{\sigma\nu} = \delta^\mu_\nu$ bedeutet.

@ACuriousMind-Wenn du schreibst $\delta^\nu_\mu$ , scheinen Sie nicht zwischen dem ersten oder zweiten Index zu unterscheiden. Warum das? Frage 3 wurde gestellt, weil ich ein Problem beim Schreiben der Gleichung hatte $\Lambda^{-1}=\eta^{-1}\Lambda^T\eta$ (die erhalten wird von $\Lambda^T \eta\Lambda=\eta$ ) in Komponentenform.
@SRS: Ich unterscheide nicht, weil ich faul bin und weil es egal ist - was zählt, ist, welcher Index oben und welcher niedriger ist, der $\delta$ kümmert sich nicht um die Reihenfolge.
Danke schön. Jetzt hat es angefangen, Sinn zu machen. Du hast das gesagt $\delta^{\mu\nu}$ ist kein Tensor, aber wir wissen es $T^{\mu\nu}$ oder $F^{\mu\nu}$ sind Tensoren. Wenn ich es damals richtig verstanden habe $\delta^{\mu\nu}$ transformiere nicht auf die gleiche Weise wie $F^{\mu\nu}$ oder $T^{\mu\nu}$ tut?
@SRS: Ich habe in meiner Antwort einen Beitrag verlinkt, in dem ich erkläre, in welchem Sinne $\delta^{\mu\nu}$ ist kein Tensor, sondern $\delta_\mu^\nu$ ist - bitte lesen Sie es.

Lorentz-Transformationen im Minkowski-Raum

SRS

Antworten (1)

ACuriousMind

SRS

ACuriousMind

SRS

ACuriousMind

Warum ist der räumliche Term für kontravariante 4-Gradienten negativ, während für andere 4-Vektoren der kovariante Teil räumlich negativ ist?

Tensorindex in der speziellen Relativitätstheorie?

Fragen zur speziellen Relativitätstheorie, Index in der Lorentz-Matrix

Kovarianter und kontravarianter 4-Vektor in der speziellen Relativitätstheorie

Warum ist das Skalarprodukt zweier Vierervektoren Lorentz-invariant?

Metrischer Tensor in SRT

Was ist die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation?

Indexnotation und die Minkowski-Metrik

Was genau bedeutet es, dass eine Skalarfunktion Lorentz-invariant ist?

Wenn ΛΛ\Lambda kein Tensor ist, was bedeuten dann Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} und ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} und so weiter?