Was ist die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation?

Question

Was ist die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation?

Physik
Kovarianz
Invarianten
Tensorkalkül
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität

Mikkel Rev

Ich möchte lernen, wie man überprüft, ob ein Skalar ein Lorentz-Skalar ist. Was ist also die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation ? Ist es richtig, das zu sagen $\phi$ ist invariant unter der Lorentz-Transformation genau dann, wenn:

$\phi(x^\nu) = \phi({\Lambda^\nu}_\mu x^\mu)$ für alle $x^\mu \in \mathbb{R}^4$ und Lorentztransformationen $\Lambda$ ?

Oder ist die Definition etwas anders? Eine kurze Antwort, die sehr klar ist , wäre am besten.

Antworten (1)

Was ist die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation?

Ján Lalinský · Answer 1

Im Falle einer Nichtfeldgröße, die einen Wert für das gesamte Inertialsystem hat, wie die elektrische Nettoladung eines Körpers, bedeutet dies, dass ihr Wert in allen Inertialsystemen gleich ist. Zum Beispiel hat das Elektron in allen Inertialsystemen die gleiche Ladung. Daher ist es Lorentz-invariant.

Bei einer Feldgröße wie $E^2 - c^2B^2$ , der Wert hängt von Position und Zeit (Ereignis) ab. In einem Inertialsystem ist der Wert dieser Größe für das Ereignis $x^\mu$ Ist

E^{2} (X^{μ}) - C^{2} B^{2} (X^{μ})

$E^2(x^\mu) - c^2B^2(x^\mu)$

In einem anderen System, in dem dasselbe Ereignis Koordinaten hat $x'^{\mu}$ und die elektrischen und magnetischen Felder sind durch Funktionen gegeben $\mathbf E',\mathbf B'$ , der Wert ist

E^{' 2} (X^{' μ}) - C^{2} B^{' 2} (X^{' μ}) .

$E'^2(x'^\mu) - c^2B'^2(x'^\mu).$

Das lässt sich zeigen

E^{2} (X^{μ}) - C^{2} B^{2} (X^{μ}) = E^{' 2} (X^{' μ}) - C^{2} B^{' 2} (X^{' μ}) .

$E^2(x^\mu) - c^2B^2(x^\mu) = E'^2(x'^\mu) - c^2B'^2(x'^\mu).$

Diese Eigenschaft ist gemeint, wenn man sagt $E^2-c^2B^2$ Lorentz-invariant ist. Im Allgemeinen ein Feld $\phi(x^\mu)$ ist Lorentz-invariant, wenn seine Auswertung in zwei durch Lorentz-Transformation verbundenen Inertialsystemen zum gleichen Wert führt:

ϕ (X^{μ}) = ϕ^{'} (X^{' μ}) .

$\phi(x^\mu) = \phi'(x'^\mu).$

Das habe ich leider nicht verstanden. Bestätigen Sie, dass das, was ich vorgeschlagen habe, die Definition ist?
@ Marius Jonsson Nein, deins ist falsch. Denken Sie an die Temperatur. Wenn ich mich im Raum umdrehe, kann ich an verschiedenen Stellen im Raum unterschiedliche Temperaturen messen (der Raum ist nicht isotrop). Das beschreibt deine Formel. Wenn ich mich umdrehe, aber immer noch den ursprünglichen Punkt von meinem neuen Standpunkt aus messe, messe ich dieselbe Temperatur - das ist ein Skalar. Erweitern Sie sich nun vom 3D-Raum zur 4D-Raumzeit.

Was ist die Definition von Invarianz unter der Lorentz-Transformation?

Mikkel Rev

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Ján Lalinský

Mikkel Rev

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